實數完備性定理相互論證及應用【文獻綜述】

1、畢業(yè)論文文獻綜述畢業(yè)論文文獻綜述數學與應用數學數學與應用數學實數完備性定理相互論證及應用實數完備性定理相互論證及應用牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但是當時分析的基礎還極其不完善，這導致了第二次數學危機，直接的結果就是大量優(yōu)秀的數學家投身到了研究實數基礎的行列中，這其中相當重要的一部分就是實數的完備性公理。一、國內外研究的歷史發(fā)展自從畢達哥拉斯學派在公元前5世紀發(fā)現無理數以來，人們對無理數的認識經歷了難以想象的歷史長河，直到19世紀中葉，人

2、類的全部智慧僅停留在有理數與個別無理數的認識階段.19世紀后半葉，柯西與魏爾斯特拉斯建立極限理論為微積分奠定了基礎，而極限理論卻又是建立在實數連續(xù)性的假設之上的.為使微積分的基礎更牢固，建立系統(tǒng)的實數理論成為數學科學發(fā)展的關鍵.建立實數理論的難點是給無理數下定義.歷史有時真巧合，實數的三大派理論：戴德金的“分割”、康托爾的“基本序列”、魏爾斯特拉斯的“單調有界序列”是同一年（1872年）在德國出現的.以下分別給予簡單的介紹.戴德金借助幾

3、何直觀，通過以他名字命名的分割技術對有理數進行分割，巧妙而又嚴密的給出無理數的定義.大意如下：把有理數集Q分成與兩個子集，使其滿足下列三個條件：（1）；（2）中的任何一數小于中的任一數；（3）中無最大數.稱上述分解為有理數的一個戴德金分割，并記做.凡是中有最小數的分割稱為第一類分割，這類分割的界數（即從有理數范圍內來考慮，與之間所缺乏的數）稱為無理數；有理數和無理數統(tǒng)稱為實數.戴德金同時證明對實數作同樣的分割不產生新的數.這就是實數的完

4、備性或連續(xù)性（可用利刀切灑上金粉的細線來解釋有理數的非完備性及實數的完備性）.現在人們把實數軸作為實數的幾何模型，即實數與實數軸上的點一一對應，這是基于實數的連續(xù)性與直線連續(xù)性的統(tǒng)一?？低袪柦柚欣頂怠盎拘蛄小眮矶x無理數，其工作是建立在柯西的工作基礎之上的.柯西建立他的極限理論時，已經注意到無理數的重要性，在他的《分析教程》中把無理數定義為有理數序列[2]武漢大學數學系，數學分析中的典型問題與方法（第二版）[M]北京：高等教育出版社