r平方上的完備性定理的證明及應(yīng)用【文獻綜述】

1、1畢業(yè)論文文獻綜述畢業(yè)論文文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)上的完備性定理的證明及應(yīng)用上的完備性定理的證明及應(yīng)用2R數(shù)學(xué)分析課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程之一更是高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)最主要的基礎(chǔ)課程.在數(shù)學(xué)分析教材中實數(shù)集的確界定理、數(shù)列的單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理和有限覆蓋定理通稱為實數(shù)的完備性定理它們各自從不同角度反映了實數(shù)的完備性或稱為實數(shù)的連續(xù)性成為極限理論乃至數(shù)學(xué)分析的堅實基礎(chǔ).這6個基本定理

2、是相互等價的也就是說可以相互循環(huán)論證.但一般是以其中某一個定理做為公理然后推證其余5個定理的正確性.上的完備性定理相比較實數(shù)上的完備性定理因為確界存在定理和單調(diào)有界定理是以實數(shù)2R集是有序域為基礎(chǔ)的而平面上的點不能比較大小所以在上的完備性定理只有閉區(qū)域套定理2R有限覆蓋定理聚點定理致密性定理及Cauthy準則。在《數(shù)學(xué)分析下冊》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編）中在第16章平面點集和多元函數(shù)中的第一節(jié)中提及了上的完備性定理，因為上的完備性定理是二

3、元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)。為此，在本書中2R2R飯先給出平面點列的收斂性概念。定義1設(shè)為平面點列，為一固定點，若，2nPR?20PR?0???0N??使當有則稱點列收斂于記作nN?0()nPUP??nP0P或0limnnPP???0.nPPn???然后再給出上的完備性定理：2R定理16.1（柯西準則）平面點列收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正整數(shù)N，使得當nP?時，對一切正整數(shù)，都有nN?p()nnpPP????定理16.2（閉域套定理）設(shè)

4、是中的閉域列，它滿足：nD2R（i）1123...nnDDn???（ii）()lim0nnnddD????則存在唯一的點012...nPDn??定理16.3（聚點定理）設(shè)為有界無限點2ER?集，則在中至少有一個聚點。E2R3N，使得當時，對一切正整數(shù)，都有nN?p()nnpPP????接下來在本文中證明了上的四個完備性定理是等價的，他所給定的證明順序是：定理1→定理2R2→定理3→定理4→定理1。通過這樣的循環(huán)證明達到驗證等價的目的而在

5、李博、梅瑞、利用完全覆蓋定理證明二維空間的幾個完備性定理，河北北方學(xué)院學(xué)報；中則是將完全覆蓋的概念和完全覆蓋定理從一維空間推廣到二維空間利用完全覆蓋定理證明二維空間的幾個完備性定理.在二維空間采用四等分矩形區(qū)域的方法構(gòu)造閉區(qū)域列再根據(jù)閉區(qū)域套定理給出二維空間完全覆蓋定理的嚴格證明.則推廣到二維空間的完全覆蓋定理從另一個側(cè)面刻劃二維空間的完備性豐富了證明二維空間連續(xù)性的方法和手段為把完全覆蓋定理推廣到n維空間作出必要的準備和鋪墊.因為完全

6、覆蓋定理在二維空間有廣泛的應(yīng)用對二維空間整體性的描述具有重要的意義可以利用完全覆蓋定理證明二維空間的聚點定理、有限覆蓋定理和柯西收斂準則.在本文中作者應(yīng)用完備性四個定理中的一個區(qū)證明另外三個定理，從另一個角度去證明上完備性2R的等價性。而在金玉徐永春：二維空間完備性基本定理的相互證明：河北北方學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)。中他的完備性定理相對于其他的多了一個致密性定理（致密性定理）：有界數(shù)列必有收斂子列.所以在本文中的完備性定理是有五個：定理

7、1：閉區(qū)間套定理，定理2：有限覆蓋定理，定理3：聚點定理，定理4：致密性定理，定理5：平面點列收斂的柯西準則。在本文的證明中，作者分別以定理1，定理2，定理3為公理去推導(dǎo)出另外的定理。以此證明上的完備性定理之間的等價性。2R通過對以上幾篇文章的研究可知對于當前完備性定理的證明主要是證明幾個定理之間的等價性，但這4個定理各有特點但都從不同的側(cè)面刻劃了上的完備性。而目前證明其等價性的手段是循2R環(huán)論證或則以其某一個定理為公理去證明另外幾個定

8、理。我們知道這幾個定理是實數(shù)理論的基礎(chǔ)也可以說是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)以后微分學(xué)與積分理論的建立都是以實數(shù)理論為基礎(chǔ)的。因此深入了解這4個定理所反映的實數(shù)系的完備性的不同特點對學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門課程有著非常重要的作用。通過對上四個完備性定理之間的詳細循2R環(huán)證明更加充分的體現(xiàn)了相互之間的等價性使其等價性的依據(jù)更加充分參考文獻[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社2001.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(