海涅定理在函數(shù)極限證明中的應(yīng)用

1、第1頁（共13頁）海涅定理在函數(shù)極限證明中的應(yīng)用摘要：函數(shù)極限理論是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分。關(guān)于證明函數(shù)極限存在的方法探討具有十分重要的意義。本文給出了一些利用海涅定理證明函數(shù)極限存在性的應(yīng)用，將函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理。不僅給出了一類證明函數(shù)極限存在的方法，同時(shí)也加深了對(duì)函數(shù)極限和數(shù)列極限兩者間的關(guān)系的理解。關(guān)鍵詞：海涅定理；函數(shù)極限；數(shù)列極限Abstract:Thelimittheyoffunctionsplaysanim

2、ptantroleinmathematicalanalysis.Studyonthemethodprovingexistenceoffunctionlimitisverymeaningful.InthispaperwegavesomeapplicationsfexistenceoffunctionlimitbyusingHeinetheemdealtwiththefunctionlimitproblemstothesequencelim

3、itproblems.Thesenotonlygaveakindofthemethodfexistenceoffunctionlimitbutalsodeepenthecomprehensionabouttherelationshipbetweenthefunctionlimitthesequencelimit.Keywds:Heinetheemfunctionlimitsequencelimit數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的，但是

4、兩者是有聯(lián)系的。而海涅定理就是溝通函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁。也是證明函數(shù)極限性質(zhì)和極限存在的判定定理的一個(gè)重要的理論指導(dǎo)，而且在關(guān)于函數(shù)的極限證明中也有應(yīng)用。除此之外還可以運(yùn)用海涅定理優(yōu)化極限的運(yùn)算。其意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理。海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系。數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢(shì)相同，從極限的意義上來說，效果都是一樣的。因此，數(shù)列

5、極限和函數(shù)極限在一定條件下能相互轉(zhuǎn)化，而能夠建立起這種聯(lián)系的就是海涅定理。近幾年，一些學(xué)者對(duì)海涅定理的應(yīng)用及推廣進(jìn)行了一系列的研究。此外，一些學(xué)者利用海涅定理來證明一些函數(shù)的性質(zhì)、優(yōu)化極限的運(yùn)算等，見參考文獻(xiàn)[16]。還有一些學(xué)者對(duì)海涅定理進(jìn)行進(jìn)一步推廣，見參考文獻(xiàn)[710]。根據(jù)文獻(xiàn)[6，810]對(duì)海涅定理進(jìn)行歸類整理的。第3頁（共13頁）亦即當(dāng)時(shí)，這個(gè)不等式成立，這也就證明了數(shù)列以為極限。Nn?????nxfA再證充分性。用反證法，

6、若，則對(duì)某一個(gè)，不能找到函數(shù)??Axfxx??0lim0??極限定義中的，也就是對(duì)任意的，都可以找到一點(diǎn)，，?0??x?00xx?????使得；特別地，若取為，得到滿足??????Axf?11123?123xxx?，；1001xx?????1fxA???，；20102xx?????2fxA???，；30103xx?????3fxA???…………從左邊一列可以看出，，而右邊一列卻說數(shù)列不以??0nxxn???0nxx???nxf為極限，與

7、假設(shè)矛盾。充分性得證。A等價(jià)類型的海涅定理：定理2.2設(shè)在上有定義則的充要條件是：對(duì)于??8??xfMx???limxfxA???任何以為極限的數(shù)列，都有。?????nnxxM???Axfnn???lim證明先證必要性。因?yàn)?，則得到對(duì)任意的，存在，lim()xfxA???0??0M?當(dāng)時(shí)有xM?.()fxA???但是，故對(duì)，可得正整數(shù)，當(dāng)時(shí)有。又因?yàn)閚x??0M?NnN?nxM?。故上面的不等式可以改寫為nxM?.()nfxA??亦即當(dāng)