板書設(shè)計第二課時三角函數(shù)的和差化積-教育

1、3．4　 三角函數(shù)的積化和差與和差化積　 一、素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識教學(xué)點1．三角函數(shù)的積化和差．2．三角函數(shù)的和差化積．,,,(二)能力訓(xùn)練點1．三角函數(shù)的積化和差與和差化積，這兩種互化，對于求三角函數(shù)的值、化商三角函數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數(shù)值的變形中是十分重要的．2．積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過程本身也運用了許多重要的教學(xué)思想和方法，在課堂教學(xué)中應(yīng)作為重要一環(huán)

2、給予足夠的重視．(三)德育滲透點數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，處處充滿辯證法，和差化積與積化和差看似是一對矛盾，但它們又處在對立統(tǒng)一體中，這些公式中，從左到右為積化和差，而從右到左則成為和差化積．在實際應(yīng)用，他們又是相輔相成的，通過這一內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生受到一次辯證法實例的教育，不失為一個好時機．,二、教學(xué)重點、難點1．教學(xué)重點：理順三角公式變換的相互關(guān)系，掌握積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過程， 并能用它們解決一些實際問題， 以及用好用活2．

3、教學(xué)難點：(1)公式的推導(dǎo)．(2)公式的應(yīng)用．(3)三角式的恒等變換的一般規(guī)律．三、課時安排4課時．四、教與學(xué)過程的設(shè)計,,第一課時　 三角函數(shù)的積化和差　 (一)復(fù)習(xí)和、差角的正弦與余弦公式師：前階段我們已學(xué)習(xí)了和差、倍、半角的三角函數(shù)的公式，請問學(xué)生回憶一下這些三角公式的推導(dǎo)，變換過程．生：所有這些三角公式都是從一個公式演化而來的，主要是證明了兩角和的余弦函數(shù)公式．之后，利用換元法以及誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)之間的

4、關(guān)系等而導(dǎo)出一系列公式來，他們相互之間是有緊密關(guān)系的．師：和、差、倍、半角的三角函數(shù)是一組十分重要的公式，它們在解決三角恒等變換等方面有許多重要應(yīng)用．但是，光是這些關(guān)系還不足以解決問題，今天我們還要進一步把握它們的內(nèi)在聯(lián)系，尋求新的關(guān)系式．(二)引入新課請學(xué)生說出正、余弦的和差角公式(板書),sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α+β)=

5、cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)師：請同學(xué)們注意觀察這四個公式，考慮一下能否利用這些公式得出一些新關(guān)系來．生1：把(1)式與(2)式相加可得sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．生2：把(1)式與(2)式相減可得sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．師：(3)、(4)兩式作類似的加、減還可以得到：cos(α+β)+cos

6、(α-β)=2cosαcosβ，cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．師：若把這四個關(guān)系式整理一下，即可得到,,,以上這四個公式的特征是把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的和、差的形式，我們把上述公式稱為三角函數(shù)的積化和差公式．積化和差公式的功能可以把三角函數(shù)的一種形式(積的形式)轉(zhuǎn)化為另一種形式(和差的形式)，這種轉(zhuǎn)化可以使得一些我們無法解決的問題變成可能解決的問題，它們在三角式的變換中有很重要的作用．現(xiàn)

7、在請同學(xué)們先翻開課本P．227，先看看這段課文，特別是注意公式的函數(shù)，函數(shù)名、角的形式等特征，記好這四個公式(五分鐘閱讀，讓學(xué)生記憶)．,師：現(xiàn)在暫停讀書，這幾個公式形式比我們過去學(xué)過的其他三角公式要復(fù)雜一些，記好用好這些公式得有一段過程，當(dāng)然，千萬不要死記硬背，適當(dāng)做一些練習(xí)，掌握這些公式的實際應(yīng)用，是可以逐步掌握它們的．讓我們看看以下的例題．例題　 求sin75°·cos15°的值．請同學(xué)們想想有什

8、么辦法可以解決這個問題？生1：考慮到75°±15°都是特殊角，所以想到使用積化和差公式解決之． 師：很好，用我們剛剛學(xué)過的積化和差公式可以很方便地解決這個問題，請大家想想是否還有其他解法？生2：由于75°與15°互為余角，所以可以采用以下的解法．,,,生3：由于75°與15°可以由45°與30°組合而成，所以只要用到和差角的三角函數(shù)公式

9、就可以解決了．師：從這個例題的幾種解法，我們可以看出，三角函數(shù)求值或恒等變換，往往可以從不同角度考慮，進而使用不同的三角公式，獲得問題的解決，可謂殊途同歸，但是我們考慮問題時，一定要根據(jù)條件及結(jié)論、選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，以求問題的解決．現(xiàn)在，請同學(xué)們?nèi)〕稣n堂練習(xí)本，完成以下的幾個練習(xí)．(三)課堂練習(xí)1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值，2

10、．求cos37.5°·cos22.5°的值，,,,學(xué)生練習(xí)、教師巡視、答疑，對一些有困難的學(xué)生作些提示，適當(dāng)時候，安排幾個學(xué)生作板演．練習(xí)題解法：1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2． cos37.5°·cos22.5°,,,,而sin20°·sin40°

11、3;sin80°,,,,(四)課堂小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的積化和差公式，雖然這些公式是新出現(xiàn)的，但它和過去學(xué)習(xí)的一些三角公式有密切的關(guān)系，所以首先應(yīng)理清他們的內(nèi)在聯(lián)系，這組公式的功能可以把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為和差的形式，通過例解及課堂練習(xí)，同學(xué)們也開始發(fā)現(xiàn)這組公式的作用，希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中記好、用好這一組公式五、作業(yè)P．231中3；P．236中1、2．六、板書設(shè)計,,第二課時　 三角函數(shù)的和差化積　

12、 一、教與學(xué)過程設(shè)計(一)復(fù)習(xí)積化和差公式1．請學(xué)生復(fù)述積化和差公式，教師板書2．部分作業(yè)選講①　 證明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．利用積化和差公式，可得,,,,,②　 求cos20°、cos40°、cos80°的值．解法一,,,,,師：我們知道，每個數(shù)學(xué)公式都有兩方面的應(yīng)用，即正用與逆用．積化和差公式也不例外，那么，積化和差公式的

13、逆用應(yīng)怎么稱呼呢？生：應(yīng)稱為三角函數(shù)的和差化積公式．師：確實如此，這節(jié)課，我們就來學(xué)習(xí)三角函數(shù)的和差化積公式．(二)引入新課由三角函數(shù)的積化和差公式的逆用，我們可得以下幾個公式：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．為了突出這組公式是

14、三角函數(shù)的和差化積公式并能方便地記憶，可作如下的換元：,,這樣我們就得到如下的三角函數(shù)的積化和差公式和差化積公式與積化和差公式相反，它可以把三角函數(shù)的和差的形式轉(zhuǎn)化為積的形式，從而獲得問題的解決．如前面評講的作業(yè)，也可以一直由等式的左邊一直推到等式的右邊．,,,,,例1　 求sin42°-cos12°+sin54°的值．分析：這是三角中常遇到的問題，由于原題是三個三角函數(shù)的和差形式，自然想

15、到要使用和差化積公式，由于上述問題中現(xiàn)成的同名角函數(shù)為sin42°、sin54°，因而一般做法是將這二個函數(shù)做和差化積(稍停頓)．但本題若采用此法則無后續(xù)手段，問題的解決將十分困難．應(yīng)該說這種思考的方向是正確的，但我們不是為和差化積而和差化積，而是為問題的解決而和差化積的，一般地說出現(xiàn)多個三角函數(shù)的和差時，應(yīng)選擇能出現(xiàn)特殊角的一組進行．鑒于此，本題應(yīng)采取下面的解法．解：原式=sin42°-sin78

16、76;+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=cos54°-sin18°=2sin36°sin18°．,師：進行到此，本題的化簡能進行下去嗎？生：可試著使用正弦函數(shù)的倍角公式化簡．2cos36°sin18°師：本題與前面的例題形式上是差不多的，請大家想一想該怎么解？生：(議論)用和差化積

17、公式化簡應(yīng)是可行的，由于本題三個函數(shù)都是余弦，而任兩角的和、差都不為特殊角，所以可任選其中的兩個先作和差化積．,,,,提問一個學(xué)生，可得如下變形師：到此，下一步比較關(guān)鍵(指導(dǎo)學(xué)生討論)，逐步統(tǒng)一到如下解法：,,,,,師：本題對初學(xué)和積互化的關(guān)系式中是比較困難的，采用同樣的方法也可以對1、3兩項或2、3兩項先使用和差化積公式，再利用余弦的倍角進一步完成本題．本題還可以采用積化和差的辦法解決之．,,,(三)小結(jié)和差化積公式的左邊全

18、是同名函數(shù)的和或差，只有負數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運用公式化成積的形式，如果是一個正弦與一余弦的和或差必須先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后，再運用積化和差公式化成積的形式．無論是和差化積還是積化和差中的“和差”與“積”，都是指得三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是角的關(guān)系，這是必須十分清楚的．三角函數(shù)的和差化積所要求的最后結(jié)果，只要是三角函數(shù)的積的形式就可以了，不求形式上的一致．,遇到三個或三個以上的三角函數(shù)的和差化積或積化和差，可以先

19、在其中的二個函數(shù)中進行(遇到這種情況多半會組合出特殊角)，然后再與其他的三角函數(shù)繼續(xù)進行下去．今天課上例2的第二種解法主要適用于三角函數(shù)式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦．二、板書設(shè)計,,第三課時　 習(xí)題課　 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這二章(第三章與第四章)從介紹三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象開始逐步深入，學(xué)習(xí)的進程高潮迭起，特別是從和、差、倍、半角的三角函數(shù)直到三角函數(shù)的和差化積與積化和差，既充分

20、揭示了三角函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，且每組公式又都有它自身的使用范圍，另外三角函數(shù)這塊內(nèi)容又是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支的重要工具，在函數(shù)研究、立體幾何、代數(shù)及解析幾何中都有廣泛的應(yīng)用，學(xué)好三角函數(shù)是學(xué)好其他數(shù)學(xué)分支的重要基礎(chǔ)．由于三角公式相當(dāng)多，所以記憶和應(yīng)用就顯得十分重要，安排兩節(jié)習(xí)題課的目的，就是希望通過練習(xí)及比較，使學(xué)生能熟練掌握進行三角恒等變換的一般方法．(一)復(fù)習(xí)和差化積與積化和差公式(二)作業(yè)評講1．求cos20°+cos10

21、0°+cos140°．,=cos40°+cos140°=0．2．△ABC中，求證cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．證明：∵A、B、C為△ABC的三內(nèi)角．∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．∴原式左邊=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A

22、+B)+cos(A-B)]-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC．(三)范例選解例1　 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值．分析：本題有兩個平方式，遇到三角函數(shù)的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次處理．,,(當(dāng)然也可以把它們視為二個三角函數(shù)的積做積化和差．)作了如下處理后，即成為三角函

23、數(shù)一次式的和差了，自然做和差化積．若又注意到本題的結(jié)構(gòu)，以下解法也是可以考慮的．原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50°=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°,,,,當(dāng)然，也可以這樣配方原式= (sin20°-sin40°)2+3sin20

24、6;cos50°例題2　 求ctg70°+4cos70°的值．分析：由于本題余切函數(shù)與余弦函數(shù)共存，∴首先應(yīng)化切為弦，接著自然是要做通分，最后再考慮分子的化簡，由于分子的三角函數(shù)的系數(shù)不同，一拆為二就是必然的了．,,,習(xí)題課上，教師主要講以上二例，雖為例解，但應(yīng)注意調(diào)動學(xué)生積極思考，注意學(xué)生提出的問題以及學(xué)生提出的處理方法，若方向?qū)︻^應(yīng)予以肯定，若方法不當(dāng)也應(yīng)幫助分析原因．以下幾個練習(xí)主要由

25、學(xué)生完成，練習(xí)題預(yù)先寫在幻燈片上，適時安排學(xué)生板演，習(xí)題課的形式是講講、議議、練練．(四)練習(xí)題,,3．tg10°+sec50°課堂練習(xí)題分析及解法：2．類似本題的條件，有兩條路可供選擇，其一是將兩式兩邊分別平方后再相加，但這樣處理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用這樣的辦法于事無補．另一條路是把兩個某式左邊的三角函數(shù)分別作和差化積可得到如下關(guān)系：,,,,,3．本題若只是簡單處理，可能會做

26、不下去．到此或許許多人就束手無策了，當(dāng)然，這樣做如果處理得法，還是會最后得到正確結(jié)果的，但是計算太大了．若注意到10°、50°分別與80°、40°互為余角，利用誘導(dǎo)公式可得如下解法．,,,,,(四)小結(jié)三角函數(shù)的恒等變換，由于三角公式較多、用起來也較活，所以應(yīng)當(dāng)掌握變形的一般規(guī)律，而一般規(guī)律的獲得主要靠自己的實踐以及理性上的升華。通過一個階段的學(xué)習(xí)與練習(xí)，應(yīng)是有一定體會的．一般說三角

27、變換問題，首先要關(guān)注問題中的角，特別是角的和、差、倍、半關(guān)系，當(dāng)然這些關(guān)系也不是一成不變的，如適當(dāng)時候，我們也可以把α看作是,,說三角函數(shù)的恒等變換常用的規(guī)則是：化繁為簡、化高為低(降次)，化復(fù)合角為單角(和差角公式)，化切割為弦，化大角為小角，和差化積，積化和差。所有這些希望同學(xué)們通過自己的實踐慢慢揣摸．，它的功能可以把任意函數(shù)而同角的正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有一個函數(shù)的形狀，這個變換對于函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)，諸如確定三角函數(shù)

28、的周期、最值、劃分單調(diào)區(qū)間等都是十分有用的，掌握好這個公式在一些看似困難的問題都能巧妙地解決，所以課本P．234中例12的內(nèi)容單獨安排一節(jié)課．思考：把下列各式化為只含有一個三角函數(shù)的形式．,,,,(ii)-sinx+cosx，(iii)asinx+bcosx．∴原式=cos60°sinx-sin60°cosx=sin(x-60°)．師：很好，象這樣的問題只要運用三角函數(shù)的和差角公式即可了，

29、和正弦，那么函數(shù)能分別看作正弦、余弦的應(yīng)具備什么條件？生：函數(shù)的平方和必須為1．師：那么，函數(shù)的平方和不是1的情況應(yīng)怎樣操作？后面的練習(xí)將,這樣這道題也可以這樣處理：原式=sin30°sinx-cos30°cosx=-(cos30°cosx-sin30°sinx)=-cos(x+30°)．雖然這兩種做法的最后結(jié)果形式也有差異，但它們實質(zhì)也是相等的，這兩種解法的結(jié)論都符合題意

30、．弦．由于余弦值為正號、正弦值為負號，這樣的角終邊位置在第四象限．∴,,,∴原式=sinxcos300°-cosxsin300°=sin(x+300°)．最后提及的處理方法是解決此類問題的通法，請同學(xué)們觀察這種解法的幾何特征，希望大家在處理同類問題時統(tǒng)一地用這種解法．現(xiàn)在再請一位同學(xué)提出第二題的處理辦法．生2：由于本題函數(shù)的平方和不為1，為了能將它們轉(zhuǎn)化為正、余弦值，應(yīng)考慮到(-1)2+12=

31、2∴可以這樣解決之師：很好，應(yīng)該說你們已揣摸出解這類題的真諦了，現(xiàn)在看看更一般的形式，即練習(xí)3(繼續(xù)請學(xué)生回答問題)．生3：模仿練習(xí)二的作法．,,,,,,,,,本，做以下幾個練習(xí)，鞏固公式的變形，體會這個公式的應(yīng)用．練習(xí)題：學(xué)生做練習(xí)，教師巡視、答疑、提示，用時約15分鐘，并請一些學(xué)生板演．練習(xí)題解答,,,特殊角的一次換式，很快可獲得原題的解答．2．求y=(1+sinx)(1+cosx)的值域．分

32、析：首先去括號是必然的，注意到(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx．∴原式可作如下轉(zhuǎn)化，y=1+(sinx+cosx)+sinxcosx．令sinx+cosx=t,,,,,,,,t2(1+3y)+2t+1-y=0．∵t∈R，∴△=4-4(1-y)(1+3y)≥0．可得3y2-2y≥0,,另一種解法則是利用一次換式，簡捷地解決問題解：由已知得2ycosx-y=sinx+1，∴sinx-2ycosx=-y-1．