12一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的性質

1、13.2 一致收斂函數(shù)列與 函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的性質,一 一致收斂函數(shù)列的性質,二 函數(shù)項級數(shù)的性質,問題的提出,問題:,函數(shù)項級數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問題,1.極限運算與無限求和運算交換次序問題,,,,?,?,,,,,,?,?,,,2.求導運算與無限求和運算交換次序問題,,,,?,?,,,3.極限運算與無限求和運算交換次序問題,定理 13.8 設函數(shù)列 { fn } 在 (a , x0 )∪(x0 , b)

2、上一致收斂于 f ，且,則,即,一、一致收斂函數(shù)列的性質,這表明在一致收斂的條件下，極限可以交換順序．,證 先證數(shù)列 { an } 收斂．因為{ fn } 一致收斂，故對任給的ε > 0 , 存在 N > 0 , 當 n > N 時，對任何正整數(shù) p ，對一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f n+p(x) | &l

3、t;ε從而,即,由柯西準則知數(shù)列 { an } 收斂．,設,下面證明：,因為{ fn } 一致收斂于 f ，數(shù)列 { an } 收斂于 A ，因此對任給的ε > 0 , 存在 N > 0 , 當 n > N 時，對任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同時成立．特別取 n = N +1，

4、有| fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3,又,所以存在δ > 0 , 當0 < | x – x0 | <δ時， | fN+1(x) – aN+1 | <ε/3這樣當0 < | x – x0 | <δ時，,所以,利用兩個極限交換定理可以得到下列判別法,定理 13.9（連續(xù)性） 設函數(shù)列

5、{ fn } 在區(qū)間 I 上一致收斂于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上連續(xù)，則 f在 I 上也連續(xù)．,證,要證：對任何 x0 ∈I ,,由定理 13.8，,注：若各項為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上極限函數(shù)不連續(xù)，則此函數(shù)列在區(qū)間I上不一致收斂,例如：函數(shù)列,的各項在,上都是連續(xù)的,,但其極限函數(shù),,在,時不連續(xù)，從而推得,在,上不一致收斂,定理 13.10（可積性）設函數(shù)列 { fn } 在 [a ,

6、b]上一致收斂于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 [a , b] 上連續(xù)，則 f 在 [a , b] 上可積，且,證,由定理 13.9， f 在[a , b] 上連續(xù)，從而 f 在,[a , b] 上可積．,因為函數(shù)列 { fn } 在 [a , b]上一致收斂于 f ，所以對任給的ε> 0 , 存在 N > 0 , 當 n > N 時，對一切 x ∈ [a , b]，都有

7、 | fn ( x ) － f ( x ) | N 時有,證畢．,注1：該定理指出：在一致收斂的條件下， 極限運算與積分運算可以交換順序,,,注2：一致收斂只是這兩種運算換序的充分條件， 而并非必要條件。如下面的,,,注3,定理13.11（可微性）設 x0∈[a , b] 為 { fn } 的收斂點，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 [a , b] 上有連續(xù)的導數(shù)，{ fn

8、' }在 [a , b] 上一致收斂，則,證,設,由題設及定理 13.9 知，g 在[ a , b ]連續(xù)．,先證： { fn } 在 [a , b] 收斂．,對任何 x ∈[a , b] ，由牛頓-萊布尼茲公式，總有,因為 fn'(x) 在 [a , b] 上連續(xù)，由定理13.10 ，得,所以極限,存在，設,于是,由于 g 在 [a , b] 上連續(xù)，再由微積分基本定理，得,即,證畢．,注1：在該定理的條件下可以證明,

9、在區(qū)間,上一致收斂；,注2：在導函數(shù)一致收斂的條件下，求導運算與極限 運算可以交換順序；,注3：導函數(shù)一致收斂只是這兩種運算換序的充分條 件， 而并非必要條件,例2 設函數(shù)列,Dini定理,練習,設有函數(shù)列,證明：這兩個函數(shù)在[0,1]上都不一致收斂；逐項可積性對(1)不成立，但對(2)成立,二 函數(shù)項級數(shù)的性質,1.逐項求極限定理,2.連續(xù)性定理,定理13.12,證,(1),(2),同樣有,(3),由(1)、(2

10、)、(3)可見,,定理13.13,(4),3.逐項求積定理,證,根據(jù)極限定義，有,即,定理13.14,(5),4.逐項求導定理,注意:級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項求導.,例如，級數(shù),逐項求導后得級數(shù),所以原級數(shù)不可以逐項求導．,例3 設,證明函數(shù)項級數(shù)∑un(x) [0 , 1]上一致收斂，并討論其和函數(shù)在[0 , 1]上的連續(xù)性，可積性與可微性．,證明：,對每一個,，易見,,,為,上增函數(shù)， 故有,,,又當,時，有不等式,所以,,