概率統(tǒng)計(jì)

1、隨,第,二,章,機(jī),量,變,其,及,分,布,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生,在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.,上一章中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用基本事件的集合表示。,局限性,全面性,為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, 有必要引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.,電腦的使用壽命……,1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；,七月份濟(jì)南的最高溫度；

2、,2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果. 也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.,例 檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 也可以用一個(gè)離散變量來(lái)描述,隨,量,機(jī),變,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系,§2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),設(shè) ? 是試驗(yàn)E的樣本空間, 若,則稱 X ( ?) 為 ? 上的 隨機(jī)變量,定義,一.隨機(jī)變量 ( random variable ),此映射具有如下特點(diǎn),

3、,而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.,隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母? ,? ,? 等表示,有了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).,引入隨機(jī)變量的意義,如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.,事件{收到不少于1次呼叫} { X 1},{沒(méi)有收到呼叫} {X= 0},(1) 任何隨機(jī)現(xiàn)象可被 r.v.描述

4、,(2) 借助微積分方法研究規(guī)律,可見，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi). 也可以說(shuō)，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣.,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.,,事件及事件概率,,,,隨機(jī)變量及其取值規(guī)律,離散型,非離散

5、型,,隨機(jī)變量的分類,隨機(jī)變量,-----連續(xù)型,所有取值可以逐個(gè)一一列舉,有無(wú)窮多取值不能一一列舉充滿一個(gè)區(qū)間,為了對(duì)離散型的和連續(xù)型的 r.v以及更廣泛類型的r.v給出一種統(tǒng)一的描述方法，引進(jìn)了分布函數(shù)的概念.,為 X 的分布函數(shù).,設(shè) X 為 r.v., x 是任意實(shí)數(shù),稱函數(shù),二.隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義,用分布函數(shù)計(jì)算 X 落在( a ,b ] 里的概率：,因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到

6、全面的描述.,分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研究 隨機(jī)變量.,分布函數(shù)的性質(zhì),(1) F ( x ) 單調(diào)不減，即,(3) F ( x ) 右連續(xù)，即,如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.v X 的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.,定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè), 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,描述X 的概率特性

7、常用概率分布或分布律,或,三.離散型隨機(jī)變量及分布律,即,分布律的性質(zhì),X ~,或,用性質(zhì)可以判斷是否為分布律,F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度 pk .,其中 .,解,例1 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng) 過(guò) 4 盞信號(hào)燈, 每盞信號(hào)燈獨(dú)立地 以概率 p 允

8、許汽車通過(guò).,首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈盞數(shù), 求 X 的概率分布與 p = 0.4 時(shí)的分布函數(shù).,令 X 表示,,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,,1,用分布律或分布函數(shù)來(lái)計(jì)算事件的概率,例2 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計(jì) 算,解,或,此式應(yīng)理解為極限,,解: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):,a≥0,從中解得,欲使上述函數(shù)為概率函數(shù),應(yīng)有,四. 常見離散型隨機(jī)變量的分布,例 設(shè)有 N 件

9、產(chǎn)品，其中有 M 件次品，現(xiàn)從中任取 n 件，用 X 表示其中的次品數(shù)，求其分布律。,超幾何公式,1.超幾何分布,超幾何分布,例 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中率是 p，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的分布律.,解: 顯然，X 可能取的值是1,2,… ，,P(X=1)=P(A1)=p,,Ak = {第k發(fā)命中}，k =1, 2, …，,2.幾何分布,,若隨機(jī)變量X的概率分布如上式，則稱X具有幾何分布.,不難驗(yàn)證:,,3. 兩

10、點(diǎn)分布（0 – 1 分布）,是否超標(biāo)等等.,凡試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果, 常用0 – 1,分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人,口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗,0 < p < 1,或,4. 二項(xiàng)分布,n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作,0–1 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布的取值情況,設(shè),由圖表可見 ,

11、當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù),設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù),,,[x] 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù),當(dāng)( n + 1) p = 整數(shù)時(shí),在 k = ( n + 1) p與 ( n + 1) p – 1 處的概率取得最大值,當(dāng)( n + 1) p ? 整數(shù)時(shí), 在 k = [( n + 1) p ]處的概率取得最大值,例

12、 獨(dú)立射擊400次, 命中率為0.01,,(1) k = [( n + 1)p ],= [( 400+ 1)0.01] =4,(2) 命中次數(shù)不少于3次的概率.,求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；,令X 表示命中次數(shù),則 X ~ B(400,0.01),問(wèn)題 如何計(jì)算,泊松近似,5. 泊松分布,若,的泊松(Poisson)分布.,應(yīng)用場(chǎng)合,在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：,某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；,市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的

13、交通事故的次數(shù).,一本書一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù).,泊松分布的圖形特點(diǎn)：,泊松分布中最可能出現(xiàn)次數(shù),當(dāng)λ= 整數(shù)時(shí),在λ與λ– 1 處的概率取得最大值,當(dāng)λ? 整數(shù)時(shí), 在 [λ]處的概率取得最大值,例 一家商店由過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)服從參數(shù)λ=5 的泊松分布，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件？,設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X ，月底應(yīng)進(jìn)m件商品,P(X≤m)>0.95,查泊松分布表得,

14、P(X>m) ≤ 0.05,m+1=10,,m=9件,二項(xiàng)分布的泊松近似,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩，必須尋求近似方法.,我們先來(lái)介紹二項(xiàng)分布的泊松近似，后面我們將介紹二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.,歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.,若X ~ B( n, p), 則當(dāng)n 較大，p 較小, 則,結(jié)論,二項(xiàng)分布的極限分布是 Poisson 分布,n > 10, p < 0.1

15、時(shí)近似效果較好,查附表3泊松分布表,利用Poisson定理再求前例,(2) 命中次數(shù)不少于3次的概率.,令X 表示命中次數(shù),則 X ~ B(400,0.01),泊松近似,例 保險(xiǎn)公司里有2500人參加某種事故保險(xiǎn)，每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年中一個(gè)人發(fā)生此種事故的概率為0. 002，發(fā)生事故時(shí)家人可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20000元. 問(wèn)：(1) 對(duì)該項(xiàng)保險(xiǎn)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2) 該項(xiàng)保險(xiǎn)的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率有多大？,