高斯型求積公式

1、第七章 微積分的數(shù)值計(jì)算方法,Numerical Analysis,7.3 高斯型求積公式,問題: 是否有比等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes型求積公式 更高代數(shù)精度的求積公式? 最高能達(dá)到多大?,度,,5,為具有一般性，研究帶權(quán)積分,求積公式為,,為不依賴于 的求積系數(shù).,(1),為求積節(jié)點(diǎn)，,可適當(dāng)選取,使（1）具有 次代數(shù)精度.,問題,如果求積公式(1)

2、 具有 次代數(shù)精度，,則稱其節(jié)點(diǎn) 為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式(1)稱為高斯求積公式.,定義,如何構(gòu)造高斯求積公式？,根據(jù)定義要使(1) 具有 次代數(shù)精度，只要對,令(1)精確成立，,,可以由上式求出,試構(gòu)造下列積分的高斯求積公式：,例,,令公式(1)對于 準(zhǔn)確成立，,,由于非線性方程

3、組，通常 就很難求解.,而從分析高斯點(diǎn)的特性來構(gòu)造高斯求積公式.,高斯點(diǎn)的基本特性,盡管高斯點(diǎn)的確定原則上可以化為代數(shù)問題，但是由于所歸結(jié)的方程組是非線性的，而它的求解存在實(shí)質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點(diǎn)的基本特性著手解決高斯公式的構(gòu)造問題。,高斯點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的零點(diǎn),（2）,11,,因,即有,故(2)成立.,充分性.,用 除 ，,記商為,余式為,即

4、 ,,其中 .,對于,由(2)可得,證明,必要性.,設(shè),則,（3）,12,由于求積公式(1)是插值型的，它對于 是精確的，,即,再注意到,知,從而由(3)有,,13,可見求積公式(1)對一切次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式均精確成立. 因此， 為高斯點(diǎn).,定理表明在

5、上帶權(quán) 的 次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(1)的高斯點(diǎn).,有了求積節(jié)點(diǎn) ，再利用,對 成立，,解此方程則得,,14,Gauss型求積公式的構(gòu)造方法,(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為 正交多項(xiàng)式pn+1(x) .,(2)求出pn+1(x)的n個零點(diǎn)x0 , x1 , … xn 即為Gauss點(diǎn).,(3)計(jì)算積分系數(shù) 。,,,常見

6、的正交多項(xiàng)式及高斯求積公式,勒讓德多項(xiàng)式(Legendre)切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev)拉蓋爾多項(xiàng)式(Laguerre)埃爾米特多項(xiàng)式 (Hermite ),高斯-勒讓德求積公式,2. Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì):,19,令它對 準(zhǔn)確成立，即可定出,這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式,是中矩形公式.,若取 的零點(diǎn) 作為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式,再取 的兩個零點(diǎn)

7、 構(gòu)造求積公式,20,令它對 都準(zhǔn)確成立，有,由此解出,三點(diǎn)高斯-勒讓德公式的形式是,列出了高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù).,從而得到兩點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式,高斯-切比雪夫求積公式,2. Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì):,一般積分區(qū)間[a,b]的處理,高斯積分公式的數(shù)值穩(wěn)定性,27,Gauss求積公式的余項(xiàng)：,/* 設(shè)P為f 的過x0 … xn的插值多項(xiàng)式 */,插值多項(xiàng)式的余項(xiàng),Q：什么樣的插值多項(xiàng)式在