（12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是

1、<p>　?。?2）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是</p><p>　　若線性相關(guān)，則線性相關(guān). </p><p>　　若線性相關(guān)，則線性無關(guān). </p><p>　　(C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). </p><p>　　(D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). [ A ] </p>

2、<p>　　【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.</p><p><b>　　【詳解】 記，則.</b></p><p>　　所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選(Ａ).</p><p>　　（13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則<

3、;/p><p>　　（Ａ）. （Ｂ）.</p><p>　　（Ｃ）. （Ｄ）. ［ Ｂ ］</p><p>　　【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.</p><p><b>　　【詳解】由題設(shè)可得</b></p><p><

4、;b>　　，</b></p><p>　　而 ，則有.故應(yīng)選（Ｂ）.</p><p>　　（14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且</p><p><b>　　則必有</b></p><p><b>　　(B) </b></p><p>　　(C

5、) (D) [ A ]</p><p>　　【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.</p><p>　　【詳解】 由題設(shè)可得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則 ，即.</b></

6、p><p>　　其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).</p><p>　　又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.</p><p><b>　　故選(A).</b></p><p>　　三 、解答題：15－23小題，共94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.</p><p>　　（15）（本題滿分7分）<

7、/p><p><b>　　設(shè),求</b></p><p><b>　　(Ⅰ) ；</b></p><p><b>　　(Ⅱ) .</b></p><p>　　【分析】第(Ⅰ)問求極限時(shí)注意將作為常量求解，此問中含型未定式極限；第(Ⅱ)問需利用第(Ⅰ)問的結(jié)果，含未定式極限.<

8、/p><p><b>　　【詳解】(Ⅰ) </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(Ⅱ) （通分）</b></p><p>　?。?6）（本題滿分7分） </p><p>　　計(jì)算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域

9、.</p><p>　　【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.</p><p>　　【詳解】積分區(qū)域如右圖.因?yàn)楦栂碌暮瘮?shù)為關(guān)于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以</p><p>　?。?7）（本題滿分10分）</p><p><b>　　證明：當(dāng)時(shí)，</b></p><p><

10、;b>　　. </b></p><p>　　【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.</p><p><b>　　【詳解】 令，</b></p><p><b>　　則 ，且.</b></p><p><b>　　又 ，（），</b>

11、</p><p>　　故當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　?。?8）（本題滿分8分）</p><p>　　在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.</p><p><b>　　(Ⅰ)

12、 求的方程；</b></p><p>　　(Ⅱ) 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值.</p><p>　　【分析】(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積，確定參數(shù).</p><p>　　【詳解】(Ⅰ) 設(shè)曲線的方程為，則由題設(shè)可得</p><p>　　，這是一階線性微分方程，其中

13、，代入通解公式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又，所以.</b></p><p><b>　　故曲線的方程為 .</b></p><p>　　(Ⅱ) 與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 </p><p>

14、<b>　　，</b></p><p><b>　　故.</b></p><p>　　（19）（本題滿分10分）</p><p>　　求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).</p><p>　　【分析】因?yàn)閮缂墧?shù)缺項(xiàng)，按函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域的求法計(jì)算；利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計(jì)算和函數(shù).<

15、;/p><p><b>　　【詳解】記，則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以當(dāng)時(shí)，所給冪級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，所給冪級數(shù)發(fā)散；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，所給冪級數(shù)為，均收斂，</p><p>　　故所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)?lt;/p>&

16、lt;p><b>　　在內(nèi)，，</b></p><p><b>　　而 ，</b></p><p><b>　　所以 ，又，</b></p><p><b>　　于是 .同理</b></p><p><b>　　，</b><

17、;/p><p><b>　　又 ，所以 .</b></p><p><b>　　故 ..</b></p><p>　　由于所給冪級數(shù)在處都收斂，且在 處都連續(xù)，所以在成立，即 </p><p>　　，.（20）（本題滿分13分）</p><p>　　設(shè)4維向量組 ，問為何值時(shí)

18、線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時(shí),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.</p><p>　　【分析】因?yàn)橄蛄拷M中的向量個(gè)數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)；用初等變換求極大線性無關(guān)組.</p><p>　　【詳解】記以為列向量的矩陣為，則</p><p><b>　　.</b></p>

19、;<p>　　于是當(dāng)時(shí)，線性相關(guān).</p><p>　　當(dāng)時(shí)，顯然是一個(gè)極大線性無關(guān)組，且；</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由于此時(shí)有三階非零行列式，所以為極大線性無關(guān)組，且.</p><p&

20、gt;　　（21）（本題滿分13分）</p><p>　　設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.</p><p>　　(Ⅰ) 求的特征值與特征向量；</p><p>　　(Ⅱ) 求正交矩陣和對角矩陣,使得；</p><p>　?。á螅┣蠹?，其中為3階單位矩陣.</p><p>　　【分析】 由

21、矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個(gè)特征值和對應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣；由可得到和.</p><p>　　【詳解】 (Ⅰ) 因?yàn)榫仃嚨母餍性刂途鶠?，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則由特

22、征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應(yīng)的特征向量.對應(yīng)的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).</p><p>　　又由題設(shè)知 ，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的全部特征向量為 ，其中為不全為零的常數(shù).</p><p>　　(Ⅱ) 因?yàn)槭菍?shí)對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.</p><p><b>　　取 ，&

23、lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　再將單位化，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　令 ，則，由是實(shí)對稱矩陣必可相似對角化，得 </p><p><b>　

24、　.</b></p><p>　?。á螅┯?Ⅱ)知 ，所以</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則.</b></p><p>　?。?2）（本題滿分13分）</p&

25、gt;<p>　　設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).</p><p>　　(Ⅰ) 求的概率密度；</p><p><b>　　(Ⅱ) ；</b></p><p><b>　　

26、(Ⅲ) .</b></p><p>　　【分析】 求一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計(jì)算.</p><p>　　【詳解】 （I） 設(shè)的分布函數(shù)為，即，則</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，；</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)， </b>&

27、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)，.</b></p><p><b>　　所以</b>&

28、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　?。↖I） ，</b></p><p><b>　　而 ，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 .</

29、b></p><p><b>　　(Ⅲ) </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　（23）（本題滿分13分）</p><p><b>　　設(shè)總體的概率密度為</b></p><p>　　其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單

30、隨機(jī)樣本，記為樣本值中小于1的個(gè)數(shù).</p><p><b>　?。á瘢┣蟮木毓烙?jì)；</b></p><p>　?。á颍┣蟮淖畲笏迫还烙?jì)</p><p>　　【分析】 利用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法計(jì)算.</p><p>　　【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋?lt;/p><p>　　令 ，可得的矩估計(jì)為 .<

31、/p><p>　　（Ⅱ）記似然函數(shù)為，則</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　兩邊取對數(shù)得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　令，解得為的最大似然</p><p>&l