畢業(yè)論文對易關(guān)系的物理意義

1、<p>　　2010屆本科畢業(yè)論文</p><p>　　題目：對易關(guān)系的物理意義</p><p>　　學(xué) 院：物理與電子工程學(xué)院</p><p>　　專業(yè)班級： 物理實驗班</p><p><b>　　學(xué)生姓名：</b></p><p>　　指導(dǎo)教師： 教

2、授</p><p>　　答辯日期：2010年5月15日</p><p>　　新疆師范大學(xué)教務(wù)處 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2表示力學(xué)量的算符1</p><p>

3、;　　2.1算符的概念1</p><p>　　2.2 幾種算符1</p><p>　　3對易關(guān)系的一般概念2</p><p>　　4幾種對易關(guān)系式3</p><p>　　4.1坐標算符和動量算符的對易關(guān)系3</p><p>　　4.2動量算符的對易關(guān)系4</p><p>　　4.3角

4、動量算符的對易關(guān)系4</p><p>　　4.4角動量算符和動量算符的對易關(guān)系4</p><p>　　4.5角動量算符和坐標算符的對易關(guān)系5</p><p>　　4.6角動量算符和角動量平方算符的對易關(guān)系5</p><p>　　5 對易關(guān)系的物理意義5</p><p><b>　　6測不準關(guān)系5&

5、lt;/b></p><p>　　6.1 坐標和動量的測不準關(guān)系6</p><p>　　6.2 角動量的測不準關(guān)系7</p><p>　　6.3力學(xué)量完全集合7</p><p><b>　　7 結(jié)論7</b></p><p><b>　　參考文獻：9</b>&

6、lt;/p><p><b>　　對易關(guān)系的物理意義</b></p><p>　　摘要：本文由量子力學(xué)中的一些力學(xué)量的對易關(guān)系來描述對易關(guān)系對量子力學(xué)的重要意義，分別討論對易和不對易的情況來解釋是否有確定值的問題。</p><p>　　關(guān)鍵詞：算符； 對易關(guān)系；測不準關(guān)系</p><p><b>　　1 引言<

7、/b></p><p>　　1927年海森伯提出的測不準關(guān)系就是與人類的認識能力和其自身的地位有關(guān)的一條重要定律。測不準關(guān)系的發(fā)現(xiàn)可以稱之為認識論上的哥白尼革命 。 海森伯認為他提出的不確定原理是根本的,推翻它就不會有量子力學(xué)，不久就被證明可以從量子力學(xué)的基本原理及其相應(yīng)的數(shù)學(xué)形式中把它推導(dǎo)出來。根據(jù)這個原理，微觀客體的任何一對互為共軛的物理量，如坐標和動量，都不可能同時具有確定值，即不可能對它們的測量結(jié)

8、果同時作出準確預(yù)言。測不準原理突破了經(jīng)典物理學(xué)關(guān)于所有物理量原則上可以同時確定的觀念。量子物理學(xué)的歷史證明，它是歷史上最成功并為實驗真確檢驗了的一個理論。</p><p>　　我們知道，力學(xué)量用厄密算符表示是從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)所引進的一個基本假設(shè)之一。如何保證使經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量成為量子力學(xué)中的厄密算符以及滿足相應(yīng)的對易關(guān)系．通常我們就是直接利用對應(yīng)原理由經(jīng)典力學(xué)中力學(xué)量的表達式得到與其對應(yīng)的量子力學(xué)中的算符。

9、本論文主要討論量子力學(xué)中的任意兩個算符對易的情況和不對易的情況，也就是說力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟有確定值還是沒有確定值，它是量子力學(xué)中比較典型的兩個問題。</p><p><b>　　2表示力學(xué)量的算符</b></p><p>　　由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子狀態(tài)的描述方式和經(jīng)典粒子不同，它需要波函數(shù)來描寫。量子力學(xué)中微觀粒子力學(xué)量（如坐標，動量，角動量，能量等

10、）的性質(zhì)也不同于經(jīng)典粒子的力學(xué)量。經(jīng)典粒子在任何狀態(tài)下它的力學(xué)量都有確定值。這種區(qū)別的存在，使得我們不得不用和經(jīng)典力學(xué)不同的方式，即算符來表示微觀粒子力學(xué)量。</p><p><b>　　2.1算符的概念</b></p><p>　　量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個顯著的區(qū)別：一個是專門引入波函數(shù)描述體系的狀態(tài)，另一個是用算符表示力學(xué)量。</p><p

11、>　　算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號。 </p><p><b>　　(2.1.1) </b></p><p>　　表示F把函數(shù)u變成 v，F(xiàn)就是這種變換的算符。</p><p><b>　　2.2 幾種算符</b></p><p>　　動量的算符：

12、 (2.2.1)</p><p>　　動量平方的算符: (2.2.2)</p><p>　　動能的算符: (2.2.3)</p><p>　　坐標的算符:

13、 (2.2.4)</p><p>　　勢能的算符: (2.2.5)</p><p>　　能量的算符: (2.2.6) </p><p>　　角動量算：

14、 (2.2.7) </p><p>　　3對易關(guān)系的一般概念</p><p>　　設(shè)有兩個算符和，如果把這兩個算符作用于同一個波函數(shù)，則所得結(jié)果決定于這兩個算符作用的順序。即任一個波函數(shù)，</p><p>　　一般 </p><p>　　如果 ，那么算符和是對易的， </p><

15、p><b>　　算符和是不對易的</b></p><p><b>　　把上式可以寫成</b></p><p>　　(3.1) 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

16、 (3.2)</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　4幾種對易關(guān)系式</b></p><p>　　4.1坐標算符和動量算符的對易關(guān)系</p><p>　　如果把坐標算符和動量算符作用于同一個波函數(shù) </p><p>　　

17、即對于任一波函數(shù) ，有 </p><p>　　這兩個結(jié)果并不相同，且 </p><p>　　由于是任意的波函，把上式可以寫成為</p><p><b>　　(4.1.1)</b></p><p>　　(4.1.1)式成為和的對易關(guān)系式</p><p><b>　　同理

18、可以得到</b></p><p><b>　　(4.1.2)</b></p><p><b>　　(4.1.3)</b></p><p>　　所以得出 (4.1.4)</p><p>　　同理可以得到 </p><p>　　4.2動量

19、算符的對易關(guān)系</p><p><b>　　(4.2.1) </b></p><p>　　同理可得； (4.2.2) </p><p><b>　　(4.2.3) </b></p><p>　　4.3角動量算符的對易關(guān)系</p><p><b>

20、　　(4.3.1) </b></p><p>　　同理可得： 4.3.2) </p><p>　　可以推出 </p><p>　　4.4角動量算符和動量算符的對易關(guān)系</p><p><b>　　(4.4.1) </b></p><p

21、>　　來討論角動量算符和動量算符的對易關(guān)系</p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　　(4.4.2) </b></p><p>　　4.5角動量算符和坐標算符的對易關(guān)系</p><p><b>　?。?.5.1）</b></p>

22、<p><b>　　（4.5.2）</b></p><p>　　4.6角動量算符和角動量平方算符的對易關(guān)系</p><p><b>　　(4.6.1)</b></p><p><b>　?。?.6.2）</b></p><p>　　5 對易關(guān)系的物理意義</

23、p><p>　　若兩個力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則這兩個算符是對易的。</p><p><b>　　設(shè) </b></p><p>　　和依次是和的本征值，由于 組成完備系，所以任意</p><p>　　態(tài)函數(shù) (x) 可以按展開： </p><p><b>　　則 &l

24、t;/b></p><p>　　因為 (x) 是任意函數(shù)</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　6測不準關(guān)系</b></p><p>　　測不準關(guān)系也叫測不準原理，它是Heisenberg量子力學(xué)距陣表述的基本原理。根據(jù)這個原理，微觀客體的任何一對互為

25、共軛的物理量，如坐標和動量，都不可能同時具有確定值，即不可能對它們的測量結(jié)果同時作出準確預(yù)言。</p><p>　　只要在經(jīng)典力學(xué)中引進測不準關(guān)系，經(jīng)典力學(xué)便從根本上改變了量子力學(xué)。在經(jīng)典物理學(xué)中宏觀物體的位置和動量是可以同時準確測定的。</p><p>　　測不準關(guān)系是微觀粒子具有波粒二象形的必然結(jié)果。只要微觀粒子具有波粒二象形，就必然導(dǎo)致測不準關(guān)系。因此，并不是我們測量儀器不精密，或者

26、說測量儀器“干擾了粒子有序的經(jīng)典運動出現(xiàn)了測不準，而是微觀世界的客觀規(guī)律本身就是如此。測不準是一種客觀存在，靠改進儀器和測量手段是不可能消除測不準關(guān)系所加的限制的。</p><p>　　若兩個算符對易則同時有確定值；若不對易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不能同時具有確定值。</p><p>　　兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？</p&

27、gt;<p>　　6.1 坐標和動量的測不準關(guān)系</p><p>　　測不準關(guān)系 （6.1.1） </p><p><b>　　（6.1.2）</b></p><p>　　表明：坐標與動量的偏差不能同時為零，其一越小，另一就越大</p><p&

28、gt;<b>　　經(jīng)典理論概念；</b></p><p>　　一個粒子的位置和動量可以同時精確的測定</p><p><b>　　量子理論的概念；</b></p><p>　　要同時測出微粒的位置和動量，其精密度有一定的限制</p><p><b>　　精密度的極限為</b>

29、</p><p>　　測不準關(guān)系 </p><p>　　能量和時間的測不準關(guān)系 （6.1.4）</p><p>　　相對論性能量為 </p><p>　　測不準關(guān)系是普遍原理，是物質(zhì)的客觀規(guī)

30、律不是測量技術(shù)和主管能力的問題是波粒二象性的必然結(jié)果。</p><p>　　6.2 角動量的測不準關(guān)系 </p><p><b>　　(6.2.1) </b></p><p>　　6.3力學(xué)量完全集合</p><p>　　為完全確定狀態(tài)所需要的一組相互對易的力學(xué)量算符的本征值的最小數(shù)目稱為力學(xué)量完全集合。有些情況[5]下

31、力學(xué)量本征值是全部簡并或部分簡并的，一個本征值對應(yīng)若干個本征函數(shù)。所以，只以的本征值不足以完全確定波函數(shù)。這時必定存在和獨立而又和對易的其它力學(xué)量算符。如果、的共同本征函數(shù)仍然有簡并，則必定還存在獨立于 而又和、均對易的其它力學(xué)量算符，,而又均對易的其它力學(xué)量算符,,,的共同本征函數(shù)是否還有簡并? 一組相互對易而又相互獨立的力學(xué)量算符，如果它們的共同本征函數(shù)系是非簡并的，即這一組本征值完壘確定一個共同本征函數(shù)，剛這組力學(xué)量稱為力學(xué)量完全

32、集。完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般稱為體系的自由度。</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　7 結(jié)論</b></p><p>　　本文講了算符，算符和算符之間的對易關(guān)系和測不準關(guān)系，對易關(guān)系的物理意義，對易關(guān)系和測不準關(guān)系的證明。通過這種內(nèi)容我們可以得到算符之間的關(guān)系對易關(guān)系和不對易關(guān)系，如果算符

33、對易則同時有確定值；若不對易，不存在共同本征函數(shù)，不能同時具有確定值。那么，必然導(dǎo)致有些力學(xué)量不能同時確定。</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　曾瑾言 量子力學(xué) 卷Ⅰ [M]. 北京：，2007.</p><p>　　曾

34、瑾言 量子力學(xué)教程 [M]. 北京：科學(xué)出版社，2004.</p><p>　　鵬程量子力學(xué) [M]. 北京：高等教育出版社，2003.</p><p>　　周世勛量子力學(xué)教程 [M]. 北京：高等教育出版社，2005.</p><p>　　曾心愉,宋宇辰,裴文杰 《量子力學(xué)》自學(xué)輔導(dǎo)之六力學(xué)量算符之間的關(guān)系 [j] 大學(xué)物理, 1