幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性[畢業(yè)論文+開題報告+文獻綜述]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用

2、數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文主要研究幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性，研

3、究了一般Liénard系統(tǒng)解的有界性，獲得該系統(tǒng)存在最終正解和最終負解存在性的充分條件；研究了廣義Liénard系統(tǒng)解的有界性，獲得該系統(tǒng)存在最終正解和最終負解存在性的新充分條件；同時研究了一類二階非線性微分系統(tǒng)的解的漸近性態(tài)，證明了該系統(tǒng)每個解都收斂于奇點，并且改進和推廣了已有文獻中的相應(yīng)結(jié)果．</p><p>　　關(guān)鍵詞：Liénard系統(tǒng)；有界性；最終正解；最終負解；漸近性態(tài)&

4、lt;/p><p>　　The boundedness and convergence of several classes of second order solutions of diffevential system </p><p>　　Abstract：In this paper, we mainly study the boundedness and convergence of

5、several kinds of second order differential systems. We first deal with the boundedness of solutions for a class of generalized Liénard system, and establish two sufficient conditions for the existence of eventually

6、positive solutions and eventually negative solutions of this system. Meanwhile, two new sufficient conditions for the existence of eventually positive solutions and eventually negative solutions are obtained fo</p>

7、<p>　　Key words：Liénard system;boundedness;eventually positive solution;eventually negative solution;asymptotic behavior.</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</

8、b></p><p>　　Abstract0</p><p><b>　　1 引言1</b></p><p><b>　　2 主要結(jié)果3</b></p><p>　　3 應(yīng)用舉例14</p><p><b>　　4 總 結(jié)19</b&g

9、t;</p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻20</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　眾所周知，微分方程有著廣泛的應(yīng)用背景，因此微分方程的研究是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的主要分支學(xué)科.歷史上人們研究微分方程的過程往往是研究

10、其初等解法開始，隨著研究的深入，由著名數(shù)學(xué)家劉維爾證明了常微分方程沒有一般的求解方法，人們轉(zhuǎn)而從方程本身開始研究微分方程解的性質(zhì)（即對微分方程做定性研究）.由于很多工程技術(shù)的問題往往可以歸結(jié)為二階微分方程的模型，人們對二階微分方程的定性研究就做了較為深入的探討，并在其解的有界性方面獲得了大量的研究結(jié)果.</p><p>　　關(guān)于一般形式的Liénard 系統(tǒng)</p><p>　　

11、（1）解的有界性問題，已有許多文獻進行了廣泛研究，其中和是正奇整數(shù)之比，，函數(shù)是上的連續(xù)實函數(shù)，且對任意，有．需要特別指出的是文獻[1]不僅對系統(tǒng)（1）解的有界性進行了重點研究，還對解的無界性也進行了討論，并給出了若干個結(jié)論．然而，通過仔細檢查，我們發(fā)現(xiàn)文[1]在對解的無界性結(jié)論證明中存在錯誤．因此本文第一個研究內(nèi)容就是重新給出系統(tǒng)（1）無界解存在性的證明．</p><p>　　由于很多關(guān)于Liénar

12、d 系統(tǒng)的定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，這就使得繼續(xù)研究Liénard 系統(tǒng)解的有界性仍然是重要而有意義的工作.為此，我們將考慮下列廣義Liénard 系統(tǒng)</p><p>　　(2)存在最終正解和最終負解的新充分條件，以期改進已有文獻的結(jié)論.</p><p>　　在研究微分系統(tǒng)解的有界性的同時，著名學(xué)者Hirsch 關(guān)于單調(diào)流及合作向量場的工作，使人

13、們認識到研究微分系統(tǒng)軌線收斂性的重要性.因此，最近關(guān)于微分系統(tǒng)軌線的收斂性問題的研究越來越多了,特別是文研究了微分系統(tǒng)</p><p>　　的軌線收斂性．為了進一步深化上述文獻的研究方法，我們將研究下列更廣泛的二階微分系統(tǒng)</p><p>　?。?）軌線的收斂性問題．</p><p>　　為了行文方便，我們總假設(shè)連續(xù)且滿足系統(tǒng)（1）-（3）關(guān)于初值問題解存在唯一性的

14、條件，并且任意初值問題的解都在上存在，記：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2 主要結(jié)果</b></p><p><b>　　定理1 假設(shè)</b></p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有；</p><p><

15、b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　， ；</b></p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有， ；</p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有；</p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有；</p><p>　　那么系統(tǒng)（1）存在無界解且其分量最終是正的．</p&

16、gt;<p>　　證明 由條件和，我們令</p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　由條件可取常數(shù)和常數(shù)使得當(dāng)時有</p><p><b>　　和 及</b></p><p>　　,

17、 （4）于是，當(dāng)時由條件得</p><p><b>　?。?）,</b></p><p>　　設(shè)，那么由條件和知，存在使得</p><p><b>　　， </b></p><p>　　現(xiàn)在用表示系統(tǒng)（1）的正半軌線在時刻的坐標(biāo)，并證明系統(tǒng)（1）在時刻經(jīng)過點的正半軌線當(dāng)時滿足．</p&

18、gt;<p>　　否則，存在使得， 且當(dāng)時，．由和的確定知，當(dāng)時 ，所以，當(dāng)時．</p><p>　　另一方面，由（1）我們有</p><p>　　, （6）由條件，我們可以從點到點沿軌線</p><p><b>　　積分（6）得：</b></p><p><b>

19、　　.</b></p><p><b>　　再結(jié)合（5）得</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　但這與（4）矛盾．因此當(dāng)時有．</p><p><b>　　因為當(dāng)，時</b></p><p>　　所以系統(tǒng)（1）

20、在區(qū)域內(nèi)沒有平衡點，故系統(tǒng)（1）在初始時刻經(jīng)過點的正半軌線無界且其分量最終是正的．</p><p><b>　　定理2 假設(shè)</b></p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有；</p><p><b>　??；；；</b></p><p><b>　　， ；</b></p&

21、gt;<p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有，</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有；</p><p>　　存在常數(shù),使得當(dāng)時有；</p><p>　　那么系統(tǒng)（1）存在無界解且其分量最終是負的．</p><p>　　定理3 設(shè)（2）滿足:<

22、;/p><p><b>　　()嚴(yán)格單調(diào)遞增;</b></p><p><b>　　()存在常數(shù)使，;</b></p><p><b>　　()存在使時，,;</b></p><p><b>　　();</b></p><p>　　則系

23、統(tǒng)（2）存在一個無界的最終正解.</p><p><b>　　證明 令</b></p><p><b>　　A= , </b></p><p><b>　　選取 使任意時</b></p><p>　　,,且>2K(A+), 　　　

24、 (7)于是,當(dāng)時,由,有</p><p>　　(8)令其中,下證當(dāng)t=時,系統(tǒng)(2)過點的軌線的正半軌：對,T),( 為的最大存在區(qū)間,),都有.否則,存在,使,且,有,有.</p><p>　　沿軌線,由系統(tǒng)(2)有</p><p>　　從而 </p><p>　　(9)注意到條件（）,于是沿軌線由到積分

25、(9)式,有</p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　從而,由(8)有 </b></p><p>　　與（7）矛盾，即都有，從而，因而 時，是趨向于無窮的，即且 . </p><p>　　定理4 若系統(tǒng)（2）滿足：</p><p>　　() p

26、(y)嚴(yán)格單調(diào)遞增且；</p><p>　　()存在常數(shù),使，；</p><p><b>　　()存在使 時,；</b></p><p><b>　　()</b></p><p>　　則系統(tǒng)（2）存在一個無界的最終負解.</p><p><b>　　證明 令 &

27、lt;/b></p><p><b>　　選取，，使任意的時</b></p><p>　　，，且, 　　 (10)于是，當(dāng)，時，由有 </p><p>　　(11)令其中，下證當(dāng) 時，系統(tǒng)（2）過點的軌線正半軌：（（x(t),y(t)）對為的最大存在區(qū)間.都有否則存在，使，且 有，有.<

28、/p><p>　　沿軌線，由（2）有 </p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　于是沿軌線由到積分.有 </p><p><b>　　從而,由(11)得</b></p><p

29、><b>　　.</b></p><p>　　與(10)矛盾,即都有.從而.因而時，是趨向于無窮的.即，且定理4得證.</p><p>　　定理5 若系統(tǒng)（3）滿足下列條件</p><p>　　為連續(xù)可微函數(shù).為連續(xù)函數(shù)；</p><p><b>　　，有界；</b></p>&

30、lt;p>　　存在連續(xù)函數(shù)使得對每個都成立； </p><p><b>　??；</b></p><p>　　存在常數(shù)，使時，，且 ；</p><p>　　則系統(tǒng)（3）的每個解具有性質(zhì)：，. 進一步存</p><p><b>　　在連續(xù)函數(shù)使得</b></p><p>&

31、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　且是的零點.</b></p><p>　　附注１　顯然文[11-13]中的全部結(jié)論都可以歸結(jié)為本文定理 時的特殊情形.</p><p>　　對于定理5的證明，我們先敘述一個引理 </p><p>　　引理 若 可微，，且，則</p>

32、<p><b>　　.</b></p><p>　　定理的證明：我們分四個步驟來完成定理的證明.</p><p>　　(I) 證系統(tǒng)（3）的每個解，都有界. </p><p><b>　　做輔助函數(shù)</b></p><p><b>　　，</b></p>

33、<p>　　由系統(tǒng)（3）及條件（H2），（H3）可知，</p><p>　　, （12）所以當(dāng)時，單調(diào)下降且有界.而由（H2），（H4）知，從而結(jié)合條件(H5)可知在有界.</p><p><b>　　(II) 證.</b></p><p><b>　　由條件（H3）有<

34、/b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　在[，]上積分式有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由有界，所以存在正數(shù)使得</p><p><b>　　,</b>

35、;</p><p>　　又由有界，為正連續(xù)函數(shù)可知存在使</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即 </b><

36、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　再由有界性，的連續(xù)性可知存在常數(shù)M使</p><p>　　. （13）所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，對函數(shù)，運用引理有</p><p&g

37、t;<b>　　，</b></p><p>　　由的連續(xù)性及條件（H2）知.</p><p>　　(III) 證存在.</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　只需證

38、 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　假設(shè)，對于任意，由定義知存在,且使,由步驟(II)知，從而有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于在上單調(diào)下降且有界，所以存在常數(shù)使</p><p><b>　　.<

39、;/b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由的任意性可得</b></p><p><b>　　兩邊求導(dǎo)可知</b></p><p>　?。?4）作

40、為（14）式的一個結(jié)果.</p><p><b>　　下證一個命題：</b></p><p>　　命題 對于任意使的，都有，否則，存在，使，且.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由假

41、設(shè)易知，且，取充分小，使，取定，使，時有，由的定義知，存在，使將方程</p><p><b>　　,</b></p><p>　　兩邊同時乘，再對其從到積分，由于在（或者）上，所以</p><p><b>　　與</b></p><p>　　矛盾.所以命題得證.</p><p&g

42、t;　　任取，由上，下極限定義可知必?zé)o限次經(jīng)過.若，由命題得.</p><p>　　如果（時證明完全類似），則由（H2）及系統(tǒng)（8）有，當(dāng)且充分接近時，.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是，不然的上極限不等于.從而易知，且由命題

43、有，從而由的定義可得 .故可選取，使，且.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為，所以且，由命題知.由，嚴(yán)格增加，所以，因此.由函數(shù)的介質(zhì)定理得，存在，使得.</p><p>　　當(dāng)時，，于是.因此，當(dāng)時有</p>&

44、lt;p>　　. （15）注意到時，，又由于存在常數(shù)使</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從而結(jié)合（3）式及條件（H2），當(dāng)時有</p><p>　　. （16）將上式從到積分得</p><p><b>　　，</b>

45、;</p><p>　　令，則，所以，即，矛盾.因此，，即.</p><p>　　(IV) 若存在連續(xù)函數(shù)，使得，則是的零點.</p><p>　　事實上，若上述條件成立，則系統(tǒng)（3）的任一解，是有界函數(shù)，因此對方程</p><p>　　從到積分，再由積分中值定理有 </p><p><b>　　這里.

46、</b></p><p>　　由步驟(II)知 ，且</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以，而由，及的連續(xù)可知</p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜上所述，定理證畢.</p><p>

47、<b>　　3 應(yīng)用舉例</b></p><p>　　例1 考慮下列Liénard方程系統(tǒng)</p><p>　　, (17) </p><p>　　證明方程（17）至少存在一個最終正解和一個最終負解.</p><p>　　

48、證明 令則（7）要轉(zhuǎn)化為下列等價的廣義Liénard系統(tǒng)</p><p>　　. (18)由（18）,得</p><p><b>　　顯然,時,有則</b></p><p>　　(19)現(xiàn)取,下證當(dāng)時,系統(tǒng)過點的軌線的正半軌對(,的最大存在區(qū)間, 都有存在，使，且 有，有沿

49、軌線,由(19)式,有</p><p><b>　　從而</b></p><p>　　(20)于是沿軌線由到積分.有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　再由(19)式,有</b></p><p>　　從而導(dǎo)出矛盾,都有從

50、而.因而時，是趨向于無窮的.即，且從而方程系統(tǒng)(17)至少存在一個最終正解.</p><p>　　下證方程系統(tǒng)(17)至少存在一個最終負解</p><p><b>　　顯然,時,有于是</b></p><p>　　(21)現(xiàn)取,下證當(dāng)時,系統(tǒng)過點的軌線的正半軌對(的最大存在區(qū)間, 都有存在，使且 有，有.</p><p>

51、;　　沿軌線,由(18)式,有</p><p>　　. (22)于是沿軌線由到積分,有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由(21)式,有</b></p><p>　　從而導(dǎo)出矛盾,都有從而

52、.因而時，是趨向于無窮的.即，且，從而方程系統(tǒng)(17)至少存在一個最終負解.</p><p>　　例2 考慮下列Liénard方程系統(tǒng)</p><p>　　(23)證明（23）至少存在一個最終正解和一個最終負解.</p><p>　　證明 令，則（23）式可轉(zhuǎn)化為下列等價的廣義Liénard系統(tǒng)</p><p>　　(2

53、4)由(24)得</p><p><b>　　,.</b></p><p>　　容易驗證此方程滿足定理2和定理3中所有的條件，從而由定理2與定理3可得Liénard型方程（23），至少存在一個最終正解和一個最終負解．</p><p>　　附注2　方程(23)是一個簡單的Liénard型方程，容易驗證，文獻的結(jié)論不再適合方程(

54、24)，從而文獻中的相應(yīng)結(jié)論也不能直接判定方程(23)是否存在最終正解或負解，因此本文的結(jié)論改進推廣了文獻中的相應(yīng)結(jié)論．</p><p>　　例3 討論非線性振動系統(tǒng)</p><p><b>　　的解的漸近性態(tài). </b></p><p><b>　　解　 令</b></p><p><b

55、>　　,</b></p><p>　　① 驗證系統(tǒng)的每個解都有界,代入公式（12）,顯然有 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以滿足定理證明中的步驟①,即系統(tǒng)的每個解都有界.</p><p><b>　?、?由條件有</b></p>

56、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　對</b></p><p><b>　　在上積分有</b></p>&

57、lt;p>　　. （25）令在上積分有.</p><p>　　由條件知存在常數(shù),將（25）代入（16）顯然有 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此,對函數(shù),由條件及的連續(xù)性運用引理有</p><p><b>　　.</b>&l

58、t;/p><p>　　③ 當(dāng)時，，又由于存在常數(shù)使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　再由（15），（16）有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　將上式從到積分有</b></p>

59、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時，所以有 .</b></p><p>　?、?由定理證明中的步驟以及上述證明的結(jié)果有而由,以及的連續(xù)可知</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜上所述例題證畢

60、.</b></p><p>　　附注3　在系統(tǒng)具有適當(dāng)保證所有解有界的條件成立時，證明了其每個解收斂于奇點，顯然本文放棄了文對有界的限制，因此本文所得到的結(jié)論推廣和改進了文相應(yīng)的結(jié)果.</p><p><b>　　4 總 結(jié)</b></p><p>　　本文主要在二階微分方程的定性分析上展開了下面三方面的工作：　研究了一類非線性二

61、維系統(tǒng)解的無界性；研究了一類廣義Liénard方程系統(tǒng)解的有界性；同時研究了一類二階微分系統(tǒng)解的漸近性態(tài)．我們的結(jié)論完善了幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性的定理．</p><p>　　通過這些研究工作，我理解了二階微分方程的廣泛的應(yīng)用背景，領(lǐng)會到二階微分方程的有界性和收斂性是微分方程定性分析的很重要的研究內(nèi)容．在今后的學(xué)習(xí)和工作中，我將繼續(xù)深入研究有關(guān)二階微分方程的定性行為研究，借以培養(yǎng)自己學(xué)習(xí)和研究

62、數(shù)學(xué)的能力．</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] Lihong Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.<

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67、t;/p><p>　　[8] 時寶.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p>　　[9] 張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1985.</p><p>　　[10] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations

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69、] 劉炳文,楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2002.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性</p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　微分方程差不多是和微積分同時

70、先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解．牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解．后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論．</p><p>　　常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的．?dāng)?shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學(xué)等，都對常微

71、分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具．</p><p>　　牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律．后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置．這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量．</p><p>　　微

72、分方程有著廣泛的應(yīng)用背景，因此微分方程的研究是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的主要分支學(xué)科.歷史上人們研究微分方程的過程往往是研究其初等解法開始，隨著研究的深入，由著名數(shù)學(xué)家劉維爾證明常微分方程沒有一般的求解方法，人們轉(zhuǎn)而從方程本身開始研究微分方程解的性質(zhì). 隨著數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的日益發(fā)展，人們在研究微分方程解的定性與穩(wěn)定性上所使用的理論方法也越來越豐富.在這些定性與穩(wěn)定性的具體研究中， 很多具體微分方程的定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，這

73、就使得研究微分方程解的有界性是重要而有意義的工作.</p><p>　　從世紀(jì)末開始到現(xiàn)在，學(xué)者們對常微分方程定性理論仍在不斷的研究，對其解的收斂性也作了較為全面的研究，這一點只要查看各種學(xué)術(shù)期刊就不難發(fā)現(xiàn)有許多是關(guān)于微分方程的解的研究．近來，涌現(xiàn)出一大批文獻研究微分方程的軌線的收斂性，這方面的研究主要是由著名學(xué)者Hirsch關(guān)于單調(diào)流及合作向量場的工作引起的．Hirsch關(guān)于單調(diào)流及合作向量場的工作，使人們認識

74、到研究微分系統(tǒng)軌線收斂性的重要性．因此，最近關(guān)于二階微分方程的解的收斂性問題的研究越來越多了．</p><p>　　又由于二階微分方程的解的收斂性的許多研究成果往往可以應(yīng)用到日常實際生活當(dāng)中去，如自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等．隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，有關(guān)二階微分方程的模型也越來越多．因此， 繼續(xù)研究二階微分方程的解的收斂性始終是一項

75、有實際意義的工作．</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　關(guān)于二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性的研究，許多學(xué)者進行了較為深入的研究，并已經(jīng)獲得了大量的結(jié)果，現(xiàn)將已有文獻的結(jié)果綜述如下：</p><p>　　文獻主要研究了1926年，Van der Vol在無線電技術(shù)耗散結(jié)構(gòu)理論及其它技術(shù)理論中提出了二階微分方程<

76、/p><p>　　. (1)</p><p>　　隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展,人們必須考慮比方程(1)更為廣泛的二階微分方程．比如，多項式微分系統(tǒng)中很多實際問題可以歸結(jié)為更一般的形式．其中，由著名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家Liénard在考慮更廣的物理學(xué)意義背景下,將方程(1)改進推廣為</p><p><b&g

77、t;　　(2)</b></p><p>　　稱為Liénard方程． </p><p>　　在具體的研究工作中，Liénard引入了如下著名的Liénard變換</p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　得到</b><

78、/p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　稱之為Liénard系統(tǒng)． Liénard系統(tǒng)分為一般Liénard系統(tǒng)和廣義Liénard系統(tǒng)兩個部分．</p><p>　　文獻[7-12]研究了Liénard系統(tǒng)(4)及廣泛的非線性二維微分系統(tǒng)</p><p&g

79、t;<b>　　（5）</b></p><p>　　解的有界性問題，其中和是正奇整數(shù)之比，，函數(shù)是上的連續(xù)實函數(shù)，且對任意，有并獲得了有界解的充分條件，改進了已有的文獻．</p><p>　　由于我們研究的問題越來越具體，隨著實際問題的深入，歸結(jié)的Liénard方程具有更一般的形式．而這類方程具有更大的廣泛性，因而所刻畫的結(jié)果也更具有其理論意義和實際意義．文

80、獻[13]研究了一類廣義Liénard 系統(tǒng)</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　獲得有界解，無界解的一系列充分條件或充要條件，并且改進和推廣了已有文獻．</p><p>　　有關(guān)二階微分系統(tǒng)解的收斂性也取得了較為豐富的結(jié)果，其主要文獻有[14,15]，這些文獻研究了如下的二階微分系統(tǒng)</p>

81、<p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　獲得主要結(jié)果為</b></p><p>　　定理 若系統(tǒng)(8)滿足下列條件</p>

82、;<p>　　為連續(xù)可微函數(shù).為連續(xù)函數(shù)；</p><p><b>　　且 ，有界；</b></p><p>　　存在連續(xù)函數(shù)使得對每個 都成立； </p><p><b>　　；</b></p><p>　　存在常數(shù)，使時，，且 ；則系統(tǒng)（8）的每個解具有性質(zhì)：，. 進一步存在連續(xù)函

83、數(shù)使得，則是的零點.</p><p>　　從已有文獻中可以知道，二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性仍然是當(dāng)今微分方程研究的一個熱點．</p><p><b>　　總結(jié)部分</b></p><p>　　以上有關(guān)二階微分方程解的有界性和收斂性的文獻總結(jié)，說明了二階微分方程在數(shù)學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用模型，這些研究成果已滲透到了社會的方方面面，如自動控制、

84、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等, 這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題．應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，它的解的有界性和收斂性還尚存在很多不明確的問題，還有待于進一步的發(fā)展，以后必將產(chǎn)生中更多的二階微分方程的模型，這就需要我們進一步研究二階微分方程解的有界性和收斂性，使這門學(xué)科的理論更加完善．&l

85、t;/p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1978.</p><p>　　[2] 劉炳文,楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2002,25(1):7～10.</p><p>　

86、　[3] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations [J].Bull Amber Math Soc. 1984,11:1～64.</p><p>　　[4] Zhou Jin. Bounded ness and convergence of solutions of a second-order no linear

87、differential system [J].J Math AnalAppl. 2001, 256(2):360～374.</p><p>　　[5] 時寶.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p>　　[6]張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1985.</p><p>　　[7] Lihon

88、g Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.</p><p>　　[8] Jtsuro Sugie.On the Boundedness of Solutions of the Generaliz

89、ed Liénard Equation without the Signum Condition.[J].Nonlinear Analysis Theory Methods and Applictions.1987,11(2):1391-1397 .</p><p>　　[9] HARA T,YONEYAMA,T On the golbal center of genealizcd Liéna

90、rd equ ation and its application to stability problems[J]．Funkcial Ekvac,1985.28:171—192.</p><p>　　[10] VILLARI,Gab,ZANOLIN F.On a dynamical system in the Liénard plane.Necessary and sufficient conditio

91、ns for the intersection with the vertical isocline and applications[J].Funkcialaj Ekvacioj,1990,33;19-38.</p><p>　　[11] HUANG L H.Boundedness of mlutions for some nonlinear differential systems[J] Nonlinear

92、Analysis,1997,29:839—848.</p><p>　　[12] 劉炳文,黃立宏.對有界性的注解[J],數(shù)學(xué)學(xué)報.2004,47(5):833-836.</p><p>　　[13] 劉炳文,彭樂群,鐘益林.一類廣義Li6nard系統(tǒng)的有界性[J]T科數(shù)學(xué),2002,18(5):23—28.</p><p>　　[14] 鄭觀寶,蔣繼發(fā).一類二階方程

93、解的收斂性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報.1995，10(A)：81～86.</p><p>　　[15] 楊啟貴，歐伯群.一類二階微分系統(tǒng)解的收斂性[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2000，18(2)：41～45.</p><p><b>　　開題報告</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性 </p>

94、<p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）</p><p>　　常微分方程有界性的研究是常微分方程定性理論中的一個十分重要的研究內(nèi)容,它具有深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型．近年來,這一研究主題在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中已取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視. 一方面,它有著廣泛的實際背景,另一方面,有著重要的理論價值.在研究微分方程定性理論中，二階微分方程解的有界性是一個重要話題.在具體

95、的生產(chǎn)實踐的過程中，有許多具體的工程技術(shù)的問題都可以歸結(jié)為二階微分方程.因此,有關(guān)二階微分方程的定性與穩(wěn)定性研究在最近幾十年里已經(jīng)引起了人們的廣泛興趣.其中許多具體二階微分方程定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，因此二階微分方程解的有界性研究就是一個引起眾多數(shù)學(xué)家和其他科學(xué)家研究的廣泛課題. 近年來,國內(nèi)外已有大批學(xué)者從事這方面的理論研究,取得了一系列較好的結(jié)果.對生產(chǎn)生活和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起到了直接或間接的推動作用，因此，對

96、二階微分方程解的有界性的研究意義重大.</p><p>　　常微分方程在19世紀(jì)發(fā)展迅速，并誕生了一系列具有重大意義的研究理論．19世紀(jì)末，由龐加萊創(chuàng)立的常微分方程實域定性瀆論便是其中最重要的理論成果之一．從常微分方程產(chǎn)生到1820年，常微分方程理論的唯一問題是：找到給定微分方程的解析解．然而隨著研究的擴展和深入，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)可以解析求解的常微分方程類型甚少．1836年，施圖姆的論文從新的定性角度研究二階線性微

97、分方程．隨后，他與劉維爾合作開創(chuàng)了分析中一個新的分支施圖姆-劉維爾理論，其特征是：當(dāng)找不到解的任何可行表達時，直接從方程本身尋找答案，這時，由方程決定的性質(zhì)必然是定性的．這種思想與代數(shù)方程領(lǐng)域中阿貝爾、伽羅瓦由尋求根式解轉(zhuǎn)到研究解的存在和性質(zhì)的思想是平行發(fā)展的．施圖姆-劉維爾理論可看作常微分方程定性理論的早期萌芽．</p><p>　　近年來，由于二階微分方程具有廣泛的應(yīng)用背景，同時隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，二階微

98、分方程的模型也越來越豐富，國內(nèi)外各個大學(xué)和科學(xué)研究所的學(xué)者專家對二階微分方程解的研究都取得了喜人的成果，并且總結(jié)出了一套相對完整的理論，主要成果包括二階微分方程解的性質(zhì)（見文獻1-6），二階微分方程的幾種解法（見文獻7-10），二階微分方程解的有界性的判定定理及其條件（見文獻11-15）. </p><p>　　本學(xué)位論文希望利用大學(xué)本科所學(xué)常微分方程知識來對上述問題做一些簡單的總結(jié)和探討，希望尋求出有關(guān)二階微分

99、方程解的有界性和收斂性的新結(jié)果，希望將所獲得的理論結(jié)果結(jié)合具體的二階微分方程的模型進行應(yīng)用，并希望改進推廣已有文獻的一些結(jié)果. </p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　我們希望進一步研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并將理論模型結(jié)合實際模型，總結(jié)一些二階微分方程解的有界性地判定方法和二階微分系統(tǒng)軌線收斂性問題，分析二階微分方程解的有界性和收斂性的

100、條件，并領(lǐng)會二階微分方程解的有界性和收斂性在數(shù)學(xué)中的地位以及具體生產(chǎn)實踐中的應(yīng)用和學(xué)會證明二階微分方程解的有界性和收斂性的數(shù)學(xué)分析方法，總結(jié)并證明一些在研究中常常碰到的問題，主要包括對如下一些重要問題的研究．</p><p>　　問題1．研究一般Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　解的

101、有界性,并能獲得系統(tǒng)(１)存在無界解的充分條件,并可以結(jié)合具體的實例對所獲結(jié)果進行應(yīng)用，希望所取得的結(jié)果改進和擴展已有文獻中的相應(yīng)結(jié)果。</p><p>　　問題２．研究廣義Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　存在最終正解和最終負解的新充分條件，希望所獲結(jié)果改進和擴展已有文獻的相應(yīng)結(jié)果

102、．</p><p>　　問題3．研究一類二階非線性微分系統(tǒng)</p><p>　?。?）的解的漸近性態(tài).在系統(tǒng)具有適當(dāng)保證所有解有界的條件成立時，能夠證明其每個解收斂于奇點.希望所獲結(jié)果改進和推廣文獻中的相應(yīng)結(jié)論．</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達到的目標(biāo)</p><p>　　本人在閱讀了大量中文文獻的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)

103、了自己綜合分析的能力，并查閱了多本關(guān)于此課題的著作和相關(guān)期刊，特別是由許多學(xué)者們對二階微分方程解的有界性和收斂性的研究所得的理論對我的研究提供了很大的幫助，在此基礎(chǔ)上我深入理解二階微分方程解的有界性和收斂性的定理，研究這個課題的重要性以及實用性，并且運用所學(xué)知識有效地對此進行總結(jié)研究，再通過對比、分析、歸納已有的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上經(jīng)過進一步思考，提出了自己的一些結(jié)論，并對此進行證明，課題的主要內(nèi)容是研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并

104、得出系統(tǒng)（1）存在無界解的充分條件以及系統(tǒng)（2）存在無界解的兩個充分條件和所有解正向有界的充分條件和充要條件，還有二階微分系統(tǒng)（3）的軌線收斂性，并希望得到一些新的判別這類二階微分系統(tǒng)軌線收斂性的判別法則．</p><p>　　研究方法和技術(shù)路線主要是通過在收集整理已有文獻的結(jié)論的基礎(chǔ)上，充分運用大學(xué)本科階段所學(xué)的《常微分方程》及其相關(guān)課程的理論知識，總結(jié)其結(jié)論的發(fā)展過程，通過研究兩類具體的二階非線性泛函微分方程

105、解的有界性，推廣并改進已有文獻中的相應(yīng)結(jié)果．最后預(yù)期達到的目標(biāo)是通過假設(shè)推得方程解的有界性，得到一些新的判別這類二階微分系統(tǒng)軌線收斂性的判別法則.</p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p><p>　?。ㄒ唬?第七學(xué)期第9-10周：確定論文題目；開始查閱文獻資料，收集各種紙質(zhì)、電子文件信息、材料并對其進行加工整理，形成系統(tǒng)材料；確定外文翻譯資料； （二） 第七學(xué)期第11-1

106、2周：仔細研讀，分析資料，完成外文翻譯； （三） 第七學(xué)期第13-17周：認真閱讀文獻資料，加以歸納總結(jié)，完成文獻綜述及開題報告；  （四） 第七學(xué)期第18周：并完成網(wǎng)上確認；  （五） 寒假期間：完成論文初稿； （六） 第八學(xué)期第1-3周：修改論文初稿，并確定進入實習(xí)階段； （七） 第八學(xué)期第4-10周：進入實習(xí)單位進行畢業(yè)實習(xí)，對論文進行修改。 （八） 第八學(xué)期第11周：完成畢業(yè)實習(xí)返校，并

107、遞交畢業(yè)實習(xí)報告； （九） 第八學(xué)期第12-14周：對論文進一步修改，并定稿； （十） 第八學(xué)期第15-16周：準(zhǔn)備并完成畢業(yè)答辯． </p><p><b>　　五、主要參考文獻</b></p><p>　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1978.</p><p>　　[2] 劉炳文,

108、楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2002,25(1):7～10.</p><p>　　[3] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations [J].Bull Amber Math Soc. 1984,11:1～64.</p><p>　　[4] Zh

109、ou Jin. Bounded ness and convergence of solutions of a second-order no linear differential system [J].J Math AnalAppl. 2001, 256(2):360～374.</p><p>　　[5] 時寶.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p&g

110、t;　　[6]張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1985.</p><p>　　[7] Lihong Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.</p>

111、<p>　　[8] Jtsuro Sugie.On the Boundedness of Solutions of the Generalized Liénard Equation without the Signum Condition.[J].Nonlinear Analysis Theory Methods and Applictions.1987,11(2):1391-1397 .</p>

112、<p>　　[9] HARA T,YONEYAMA,T On the golbal center of genealizcd Liénard equ ation and its application to stability problems[J]．Funkcial Ekvac,1985.28:171—192.</p><p>　　[10] VILLARI,Gab,ZANOLIN F.On

113、a dynamical system in the Liénard plane.Necessary and sufficient conditions for the intersection with the vertical isocline and applications[J].Funkcialaj Ekvacioj,1990,33;19-38.</p><p>　　[11] HUANG L H

114、.Boundedness of mlutions for some nonlinear differential systems[J] Nonlinear Analysis,1997,29:839—848.</p><p>　　[12] 劉炳文,黃立宏.對有界性的注解[J],數(shù)學(xué)學(xué)報.2004,47(5):833-836.</p><p>　　[13] 劉炳文,彭樂群,鐘益林.一類廣義Li