幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性[開題報告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性 </p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）</p><p>　　常微分方程有界性的研究

2、是常微分方程定性理論中的一個十分重要的研究內(nèi)容,它具有深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型．近年來,這一研究主題在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中已取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視. 一方面,它有著廣泛的實際背景,另一方面,有著重要的理論價值.在研究微分方程定性理論中，二階微分方程解的有界性是一個重要話題.在具體的生產(chǎn)實踐的過程中，有許多具體的工程技術(shù)的問題都可以歸結(jié)為二階微分方程.因此,有關(guān)二階微分方程的定性與穩(wěn)定性研究在最近幾十年里已經(jīng)引起了人們的廣泛興趣.其中許多

3、具體二階微分方程定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，因此二階微分方程解的有界性研究就是一個引起眾多數(shù)學(xué)家和其他科學(xué)家研究的廣泛課題. 近年來,國內(nèi)外已有大批學(xué)者從事這方面的理論研究,取得了一系列較好的結(jié)果.對生產(chǎn)生活和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起到了直接或間接的推動作用，因此，對二階微分方程解的有界性的研究意義重大.</p><p>　　常微分方程在19世紀發(fā)展迅速，并誕生了一系列具有重大意義的研究理論．19世紀

4、末，由龐加萊創(chuàng)立的常微分方程實域定性瀆論便是其中最重要的理論成果之一．從常微分方程產(chǎn)生到1820年，常微分方程理論的唯一問題是：找到給定微分方程的解析解．然而隨著研究的擴展和深入，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)可以解析求解的常微分方程類型甚少．1836年，施圖姆的論文從新的定性角度研究二階線性微分方程．隨后，他與劉維爾合作開創(chuàng)了分析中一個新的分支施圖姆-劉維爾理論，其特征是：當找不到解的任何可行表達時，直接從方程本身尋找答案，這時，由方程決定的性質(zhì)必然

5、是定性的．這種思想與代數(shù)方程領(lǐng)域中阿貝爾、伽羅瓦由尋求根式解轉(zhuǎn)到研究解的存在和性質(zhì)的思想是平行發(fā)展的．施圖姆-劉維爾理論可看作常微分方程定性理論的早期萌芽．</p><p>　　近年來，由于二階微分方程具有廣泛的應(yīng)用背景，同時隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，二階微分方程的模型也越來越豐富，國內(nèi)外各個大學(xué)和科學(xué)研究所的學(xué)者專家對二階微分方程解的研究都取得了喜人的成果，并且總結(jié)出了一套相對完整的理論，主要成果包括二階微分方程

6、解的性質(zhì)（見文獻1-6），二階微分方程的幾種解法（見文獻7-10），二階微分方程解的有界性的判定定理及其條件（見文獻11-15）. </p><p>　　本學(xué)位論文希望利用大學(xué)本科所學(xué)常微分方程知識來對上述問題做一些簡單的總結(jié)和探討，希望尋求出有關(guān)二階微分方程解的有界性和收斂性的新結(jié)果，希望將所獲得的理論結(jié)果結(jié)合具體的二階微分方程的模型進行應(yīng)用，并希望改進推廣已有文獻的一些結(jié)果. </p><

7、;p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　我們希望進一步研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并將理論模型結(jié)合實際模型，總結(jié)一些二階微分方程解的有界性地判定方法和二階微分系統(tǒng)軌線收斂性問題，分析二階微分方程解的有界性和收斂性的條件，并領(lǐng)會二階微分方程解的有界性和收斂性在數(shù)學(xué)中的地位以及具體生產(chǎn)實踐中的應(yīng)用和學(xué)會證明二階微分方程解的有界性和收斂性的數(shù)學(xué)分析方法，總結(jié)并證明一些在研究中常

8、常碰到的問題，主要包括對如下一些重要問題的研究．</p><p>　　問題1．研究一般Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　解的有界性,并能獲得系統(tǒng)(１)存在無界解的充分條件,并可以結(jié)合具體的實例對所獲結(jié)果進行應(yīng)用，希望所取得的結(jié)果改進和擴展已有文獻中的相應(yīng)結(jié)果。</p>

9、<p>　　問題２．研究廣義Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　存在最終正解和最終負解的新充分條件，希望所獲結(jié)果改進和擴展已有文獻的相應(yīng)結(jié)果．</p><p>　　問題3．研究一類二階非線性微分系統(tǒng)</p><p>　?。?）的解的漸近性態(tài).在系統(tǒng)具有

10、適當保證所有解有界的條件成立時，能夠證明其每個解收斂于奇點.希望所獲結(jié)果改進和推廣文獻中的相應(yīng)結(jié)論．</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達到的目標</p><p>　　本人在閱讀了大量中文文獻的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)了自己綜合分析的能力，并查閱了多本關(guān)于此課題的著作和相關(guān)期刊，特別是由許多學(xué)者們對二階微分方程解的有界性和收斂性的研究所得的理論對我的研究提供了很大的幫助，在此

11、基礎(chǔ)上我深入理解二階微分方程解的有界性和收斂性的定理，研究這個課題的重要性以及實用性，并且運用所學(xué)知識有效地對此進行總結(jié)研究，再通過對比、分析、歸納已有的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上經(jīng)過進一步思考，提出了自己的一些結(jié)論，并對此進行證明，課題的主要內(nèi)容是研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并得出系統(tǒng)（1）存在無界解的充分條件以及系統(tǒng)（2）存在無界解的兩個充分條件和所有解正向有界的充分條件和充要條件，還有二階微分系統(tǒng)（3）的軌線收斂性，并希望得到一些

12、新的判別這類二階微分系統(tǒng)軌線收斂性的判別法則．</p><p>　　研究方法和技術(shù)路線主要是通過在收集整理已有文獻的結(jié)論的基礎(chǔ)上，充分運用大學(xué)本科階段所學(xué)的《常微分方程》及其相關(guān)課程的理論知識，總結(jié)其結(jié)論的發(fā)展過程，通過研究兩類具體的二階非線性泛函微分方程解的有界性，推廣并改進已有文獻中的相應(yīng)結(jié)果．最后預(yù)期達到的目標是通過假設(shè)推得方程解的有界性，得到一些新的判別這類二階微分系統(tǒng)軌線收斂性的判別法則.</p&

13、gt;<p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p><p>　?。ㄒ唬?第七學(xué)期第9-10周：確定論文題目；開始查閱文獻資料，收集各種紙質(zhì)、電子文件信息、材料并對其進行加工整理，形成系統(tǒng)材料；確定外文翻譯資料； （二） 第七學(xué)期第11-12周：仔細研讀，分析資料，完成外文翻譯； （三） 第七學(xué)期第13-17周：認真閱讀文獻資料，加以歸納總結(jié)，完成文獻綜述及開題報告；  （

14、四） 第七學(xué)期第18周：并完成網(wǎng)上確認；  （五） 寒假期間：完成論文初稿； （六） 第八學(xué)期第1-3周：修改論文初稿，并確定進入實習(xí)階段； （七） 第八學(xué)期第4-10周：進入實習(xí)單位進行畢業(yè)實習(xí)，對論文進行修改。 （八） 第八學(xué)期第11周：完成畢業(yè)實習(xí)返校，并遞交畢業(yè)實習(xí)報告； （九） 第八學(xué)期第12-14周：對論文進一步修改，并定稿； （十） 第八學(xué)期第15-16周：準備并完成畢業(yè)答辯． </p

15、><p><b>　　五、主要參考文獻</b></p><p>　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1978.</p><p>　　[2] 劉炳文,楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2002,25(1):7～10.</p><p>　　[

16、3] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations [J].Bull Amber Math Soc. 1984,11:1～64.</p><p>　　[4] Zhou Jin. Bounded ness and convergence of solutions of a second-order no linear di

17、fferential system [J].J Math AnalAppl. 2001, 256(2):360～374.</p><p>　　[5] 時寶.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p>　　[6]張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1985.</p><p>　　[7] Lihong

18、Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.</p><p>　　[8] Jtsuro Sugie.On the Boundedness of Solutions of the Generalized

19、 Liénard Equation without the Signum Condition.[J].Nonlinear Analysis Theory Methods and Applictions.1987,11(2):1391-1397 .</p><p>　　[9] HARA T,YONEYAMA,T On the golbal center of genealizcd Liénard

20、 equ ation and its application to stability problems[J]．Funkcial Ekvac,1985.28:171—192.</p><p>　　[10] VILLARI,Gab,ZANOLIN F.On a dynamical system in the Liénard plane.Necessary and sufficient conditions

21、 for the intersection with the vertical isocline and applications[J].Funkcialaj Ekvacioj,1990,33;19-38.</p><p>　　[11] HUANG L H.Boundedness of mlutions for some nonlinear differential systems[J] Nonlinear An

22、alysis,1997,29:839—848.</p><p>　　[12] 劉炳文,黃立宏.對有界性的注解[J],數(shù)學(xué)學(xué)報.2004,47(5):833-836.</p><p>　　[13] 劉炳文,彭樂群,鐘益林.一類廣義Li6nard系統(tǒng)的有界性[J]T科數(shù)學(xué),2002,18(5):23—28.</p><p>　　[14] 鄭觀寶,蔣繼發(fā).一類二階方程解的