基于“過程”哲學(xué)觀的數(shù)學(xué)教學(xué)

1、<p>　　基于“過程”哲學(xué)觀的數(shù)學(xué)教學(xué)</p><p>　　——以鐘面時針與分針的夾角問題為例</p><p>　　深圳市羅湖區(qū)羅芳中學(xué) 陳華東</p><p>　　新課改實施以來，過程與方法作為課程標(biāo)準(zhǔn)的三維目標(biāo)之一，受到了教師的廣泛關(guān)注，然而，由于過程性目標(biāo)難以把握，在實際教學(xué)中，很多老師對過程性教學(xué)存在不少困惑，本文以鐘面時針與分針的夾角問題為例，

2、談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中如何貫徹“過程”哲學(xué)觀，希望對過程性教學(xué)存在疑惑的老師有一定指導(dǎo)作用?！斑^程”哲學(xué)觀是對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一種看法：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、發(fā)展與應(yīng)用的過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。即概念的形成過程、原理的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)過程、概念或原理的特殊化及一般化的探索過程、發(fā)現(xiàn)和提出問題及分析和解決問題的過程、問題解決后的反思過程等，是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機(jī)組成部分。筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維和思想的展開過程是數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)

3、容，因此，可以依據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，學(xué)生認(rèn)知規(guī)律構(gòu)建教學(xué)結(jié)構(gòu)，為展開學(xué)生的思維和思想創(chuàng)設(shè)足夠的時間和空間，具體從以下三個方面進(jìn)行</p><p>　　一、利用新知識，激活學(xué)生學(xué)習(xí)的生長點</p><p>　　基于過程哲學(xué)觀的教學(xué)過程應(yīng)該設(shè)計成知識發(fā)生發(fā)展過程為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、深度參與。</p><p>　　展示問題

4、1：9:00時針與分針的夾角為多少度？（本文討論的夾角是指不超過180度的角，以下同）</p><p>　　以簡單的問題為切入點，讓所有學(xué)生都可以參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的生長點：時鐘為圓周，可以把360°平均分成12份，每份30°，9:00的時針與分針占了3格，因此夾角為90°；9:00時針與分針剛好占鐘面的四分之一，因此夾角為；還有學(xué)生通過觀察得出答案。鐘面夾角問題可以從較簡單的問題開

5、始，逐步深入探究，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗證、建立模型等過程，發(fā)揮學(xué)生的自主意識、創(chuàng)新意識。</p><p>　　變式：5:00時針與分針的夾角為多少度？</p><p>　　學(xué)生在問題1的基礎(chǔ)上，很自然總結(jié)出這樣的規(guī)律：整點時針與分針的夾角為度（為整點數(shù)）。這個規(guī)律其實不夠嚴(yán)謹(jǐn)，對1~6點成立，對7~12點不成立，但是老師不要急于加于規(guī)范，而是讓學(xué)生嘗試計算7:00的情況：應(yīng)該是210

6、6;還是150°？學(xué)生在不同的結(jié)論之間產(chǎn)生思維的碰撞，從而得出更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律：整點時針與分針的夾角主要看兩針圍了幾格數(shù)字，再乘以30得出度數(shù)。</p><p>　　過程哲學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂的重點應(yīng)該以學(xué)生為主體的規(guī)律（結(jié)論）的發(fā)現(xiàn)過程，教師不但要關(guān)注學(xué)生分析問題，解決問題的能力，同時也要關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的能力，本節(jié)課的設(shè)計正是按照這種思路進(jìn)行。</p><p>　

7、　二、通過適度引導(dǎo)，促使學(xué)生生成“數(shù)學(xué)方法和理論”</p><p>　　在教學(xué)過程中，教師可以用適度引導(dǎo)來促進(jìn)學(xué)生思維。引導(dǎo)的方法主要有：學(xué)生思維混亂時進(jìn)行辨析；學(xué)生觀念碰撞時進(jìn)行評價；學(xué)生思維跨度大時進(jìn)行問題暗示；學(xué)生方法多樣化時進(jìn)行價值分析；學(xué)生回答不完善時進(jìn)行追問；回答有創(chuàng)意時進(jìn)行及時激勵等。教師需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，及時給出有價值的引導(dǎo)。</p><p>　　展示問題2：9:30時針

8、與分針的夾角為多少度？</p><p>　　在解決該問題的過程中，不少粗心的同學(xué)會把答案寫出90°，忽略時針的轉(zhuǎn)動。這時教師要進(jìn)行引導(dǎo)：分針在轉(zhuǎn)動的時候，時針是停止還是也在轉(zhuǎn)動？還可以給學(xué)生展示真的時鐘，旋轉(zhuǎn)時針和分針，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)：分針在轉(zhuǎn)動時，時針也在轉(zhuǎn)動，分針轉(zhuǎn)動比較快，時針轉(zhuǎn)動比較慢。為了促使學(xué)生的思維深度參與，教師可以進(jìn)一步追問：兩者轉(zhuǎn)動時會不會存在某種規(guī)律？是什么樣的規(guī)律？學(xué)生經(jīng)過思考，

9、不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律：分針走了一半（半點），時針也走了一半，在這個規(guī)律的基礎(chǔ)上，問題2的解決就比較容易：在90°的基礎(chǔ)再加上半格的度數(shù)（15°），得出最后答案為105°。</p><p>　　變式：9:20時針與分針的夾角為多少度？ </p><p>　　把問題提升一點難度，能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的興趣。該問題正是如此，比問題2稍微難一點，但是思考的角度還是差不多：分鐘

10、走了三分之一（），時針也走了三分之一，兩針的夾角由5格和格組成，所以。</p><p>　　從以上幾個問題，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)鐘面的夾角問題要同時考慮時針和分針的情況，不能只考慮某個對象，因為兩者之間存在這樣的規(guī)律：時針與分針?biāo)呗烦?、速度不同，但是它們所走路程的比例相同（都走了幾分之幾）。利用所走比例相同，可以快速算出所有整十分鐘（十分鐘，二十分鐘，四十分鐘等）的夾角問題：時針與分針?biāo)鶌A的整格加上或者減去幾分之幾格（六

11、分之一，三分之一，三分之二等）。</p><p>　　教師要注意引導(dǎo)學(xué)生概括鐘面問題蘊(yùn)涵的思維方法和思想方法，發(fā)展學(xué)生的思維能力。鐘面問題蘊(yùn)涵的思維方法：從特殊到一般（整點→半點→整十分→任意分鐘）和一般到特殊（任意分鐘→整十分→半點→整點）；蘊(yùn)涵的思想方法：時針與分針兩者是緊密聯(lián)系的，不能孤立考慮某一個對象，兩者的轉(zhuǎn)動按照某種規(guī)律在進(jìn)行，可以根據(jù)這種規(guī)律建立某種模型。</p><p>　

12、　三、拓展應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生“智慧技能”</p><p>　　“過程”哲學(xué)觀的落實在于立足學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，以學(xué)生的主體活動為中心來展開教學(xué)過程，學(xué)生在積極主動的參與教學(xué)活動過程中以自己的經(jīng)驗和知識為基礎(chǔ)，經(jīng)過積極的探索和發(fā)現(xiàn)、親身的體驗和實踐，并以自己的方式將知識納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并嘗試用學(xué)過的知識解決新問題，從而發(fā)展學(xué)生的“智慧技能”。</p><p>　　展示問題3：10:12時針與分針的

13、夾角為多少度？</p><p>　　如果把問題拓展到任意分鐘，一方面能夠讓學(xué)生嘗試運(yùn)用總結(jié)出來的規(guī)律解決問題，另一方面也可以促使學(xué)生站在不同的角度思考問題，發(fā)展學(xué)生的“智慧技能”?！爸腔奂寄堋币馕吨伎紗栴}的多角度，解決問題的多樣化。問題3的解決至少可以有以下兩種策略</p><p>　　策略1：利用前面總結(jié)的規(guī)律：分針走了五分之一（），時針也走了五分之一，得出，，再把兩者相加得最后結(jié)果1

14、26°（見圖1）。</p><p>　　圖1 圖2</p><p>　　策略2：首先思考每經(jīng)過1分鐘，分針轉(zhuǎn)過多少度（），從而計算2（12比10多2）分鐘的度數(shù)，再考慮時針轉(zhuǎn)過的角度，最后得出答案：（見圖2）</p><p>　　變式：9:17時針與分針的夾角為多少度？ </p><

15、;p>　　解決問題3的策略具有一般性，可以運(yùn)用到任意時間的時針與分針的夾角問題，因此該題的解題過程可以是：。</p><p>　　本節(jié)課的教學(xué)既關(guān)注了數(shù)學(xué)的結(jié)果（時針與分針?biāo)呗烦痰谋壤嗤?，也關(guān)注了數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、發(fā)展與應(yīng)用的過程以及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法（歸納、建立模型等），使學(xué)生在“過程”中尋找出鐘面夾角的計算方法（計算時針和分針走了幾分之幾）。教師在這個過程中只是一個組織者、指導(dǎo)者和參與者，“過程”哲