商高定理及其應用[開題報告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　商高定理及其應用 </p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）</p><p><b>　?。ㄒ唬?/p>

2、歷史背景：</b></p><p>　　商高定理：商高定理是個歷史悠久的著名定理，我國古人在這方面的研究留下了一系列寶貴的著作。《周髀算經(jīng)》是我國古代流傳下來的一部重要的數(shù)學著作，該書原名《周髀》，大約成書于公元2世紀。它包含了相當深刻的數(shù)學內(nèi)容，其主要成就包括分數(shù)運算、商高定理（勾股定理）及其在天文學測量的應用。</p><p>　　該書卷首記述了一段精彩的對話：</p

3、><p>　　昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”</p><p>　　商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”由于此定理是商高發(fā)現(xiàn)的，所以稱為“商高

4、定理”。</p><p>　　基于上述淵源，所以我們把這一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。這是中國最早關(guān)于勾股定理書面記載。</p><p>　　中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。由此可見，我國在商高定理的

5、研究上有悠久的歷史和杰出的貢獻。[1]</p><p>　　西方勾股定理又稱畢達哥拉斯定理。在西方的文獻中，勾股定理一直以古希臘哲學家畢達哥拉斯的名字來命名。據(jù)說畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個定理后斬了百頭牛慶祝，因此又稱“百牛定理”。但迄今為止并沒有畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的直接證據(jù)。希臘另一位數(shù)學家歐幾里德(Euclid,公元前三百年左右的人)在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定

6、理稱為“畢達哥拉斯定理”，以后就流傳開了。[2]</p><p>　　費馬大定理：公元1637年，費爾馬在研究丟番圖的《算術(shù)》一書時，想到了畢達哥拉斯問題的推廣。費爾馬在《算術(shù)》一書的空白處寫到:“不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣冪次的和”。即當整數(shù)時，無正整數(shù)解。同時，還寫下批注:“我有一個對這個命題的十分美妙的證明，很可惜這里空白太小寫不下了！”費爾馬沒有想到，他隨手寫下這句話，竟成了幾個世紀以來，一代又

7、一代無數(shù)的世界級的優(yōu)秀數(shù)學家，經(jīng)過艱難曲折的奮斗，都未能證明這有名的費爾馬大定理。[5]</p><p>　?。ǘ┈F(xiàn)狀和發(fā)展方向：</p><p>　　如今，當我們談到商高定理時，更多的是它在不定方程中的特殊地位。即商高不定方程方程的求解。對于商高方程的解，所研究的是非顯然解中的本原解，即滿足以下條件的解：。在這方面的研究成果已有很多，形式也是多樣。從古代的畢達哥拉斯、柏拉圖到當代我國的

8、柯召、孫琦都各自不同的研究方法和結(jié)論。不僅如此，還引發(fā)各類不同的猜想。如：Teriai猜想、Tesmanowicz猜想、werner猜想等等。有些問題至今仍未解決。由此可見，商高不定方程的后續(xù)研究都是建立在對商高方程解的深刻研究的基礎(chǔ)之上。其中，最著名的要數(shù)是商高定理的一個推廣：費馬大定理。300百多年來已證實它是向人類智慧挑戰(zhàn)的一個數(shù)學難題。有人曾悲觀地說:“在我們這個星球上的人的智慧，還沒有達到那樣高的水平，能解決費爾馬大定理”。費

9、馬大定理的證明經(jīng)歷了風風雨雨：1753年，大數(shù)學家歐拉作出了突出貢獻，他證明時，費爾馬大定理成立，實際上他證明了時，費爾馬大定理成立。1825年，解析幾何的創(chuàng)始人、大數(shù)學家高斯證明了時，費爾馬大定理成立。1837年，大數(shù)學家柯西、庫默爾與女數(shù)學家熱爾曼同時證明了時，費爾馬大定理成立。1847年德國數(shù)學家土爾曼，引進了理想</p><p>　　而現(xiàn)在，人們則利用前人的研究成果進一步進行開拓，以用來探索那些歷史遺留下

10、來的尚未解決的數(shù)論難題，并對更高次更高元的不定方程的求解方法不斷的嘗試，得出一些著名的結(jié)論。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　數(shù)學思維的特點之一就是尋找各種關(guān)系，并由此去探索擴充某種思想的途徑，這些都要建立在歸納、總結(jié)的基礎(chǔ)上。所以，我們試著在一元不定方程的基礎(chǔ)上探索商高不定方程的解的之間的關(guān)系，并進行歸納總結(jié)，進一步深入的研究，使其得到更加廣

11、泛的應用。</p><p><b>　　商高方程的定義：</b></p><p><b>　　二次不定方程</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　它通常稱為商高方程或Pythagoras方程。滿足的解稱為顯然解，的解稱為非顯然解。</p&

12、gt;<p>　　在引入定義出不定方程的本原解后，我們在總結(jié)出一元及商高不定方程的解之間的關(guān)系如下：</p><p>　　定理1：不定方程（1）有解的充要條件是。進而，不定方程（1）有解時，它的解和不定方程</p><p>　　的解相同，這里g=。</p><p>　　定理3：不定方程（2）的本原解x，y，z必滿足條件：</p><

13、p>　　定理4：不定方程（2）的y為偶數(shù)全體本原解滿足以下公式：</p><p>　　其中r，s為滿足一下條件的任意整數(shù)：</p><p><b>　　定理5：不定方程</b></p><p><b>　　無的解。</b></p><p><b>　　定理6：不定方程</b&g

14、t;</p><p><b>　　無的解。[8]</b></p><p>　　最后探討這些定理的證明方法，研究這些方法的在其他類似不定方程中的套用。并舉例說明這些定理在具體數(shù)學問題上的應用，一邊快速準確的解答這些問題。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預期達到的目標</p><p>　　研究的方法

15、主要有類比法、歸納法、舉例法、Fermat無窮遞降法。技術(shù)路線：通過圖書館以及因特網(wǎng)查找相關(guān)領(lǐng)域的最新理論、收集資料，對商高不定方程在數(shù)學發(fā)展中的重要作用有較全面、綜合的認識，通過老師的指導，同學之間的交流和溝通，收集整理文獻，反復討論研究問題，界定相關(guān)概念，闡述理論基礎(chǔ)，實施研究方法，得出研究結(jié)論，總結(jié)研究啟示。</p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p><p>　　1.在

16、導師的指導下收集資料，完成畢業(yè)論文的文獻檢索，泛讀相關(guān)文章，形成系統(tǒng)材料。</p><p>　?。?9～10學年第一學期第8周至第9周）</p><p><b>　　2.完成文獻綜述。</b></p><p>　?。?9～10學年第一學期第10周至第11周）</p><p><b>　　3.完成開題報告。<

17、;/b></p><p>　?。?9～10學年第一學期第12周至第13周）</p><p>　　4.研讀外文文獻，完成外文翻譯。</p><p>　　（09～10學年第一學期第14周至第15周）</p><p>　　5.進一步完善論文的資料、數(shù)據(jù)收集，精讀其中的重要參考文獻、列出文章的初步提綱。</p><p>

18、　　（09～10學年第二學期第1周至第2周）</p><p>　　6.開展論文初稿撰寫工作。</p><p>　?。?9～10學年第二學期第3周至第8周）</p><p>　　7.在導師的指導下對論文進行反復修改。</p><p>　　（09～10學年第二學期第9周至第10周）</p><p>　　8.對論文進行完善，

19、最后定稿。</p><p>　?。?9～10學年第二學期第11周至第12周）</p><p><b>　　五、主要參考文獻</b></p><p>　　[1]胡春燕.從東西方文化看勾股定理的起源[J].教學與管理. 2007, 09:91-92.</p><p>　　[2] 劉春祥.發(fā)現(xiàn)勾股定理[J].數(shù)學大眾（中學版）

20、. 2002, 07:39.</p><p>　　[3] 朱家生.數(shù)學史[M].高等教育出版社. 1994, 07.</p><p>　　[4] 王國炳.商高不定方程的解與勾股數(shù)[J].宜賓學院學院報. 1997, 02:18-20.</p><p>　　[5] 潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京大學出版社.1992.</p><p>　　

21、[6] 李培業(yè).商高定理的古證冥求[J].高等數(shù)學研究.2006, 01:58-63</p><p>　　[7] [美]史迪威.ELEMENTS OF NUMBER THEORY[M].世界圖書出版公司.2009.</p><p>　　[8] 沈文選,張垚,冷崗松.奧林匹克數(shù)學中的數(shù)論問題[M].湖南師范大學出版社.2009.</p><p>　　[9] 汪克

22、立.商高數(shù)組群[J].成都教育學院學報.2003,12:73-74.</p><p>　　[10] [美]羅森.ELEMENTS OF NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONS[M].世界圖書出版公司.2009.</p><p>　　[11] 唐周子.商高數(shù)猜想的完全證明[J].中國科技信息.2009,12:31-36.</p><p>

23、　　[12] 楊麗英.由商高不定方程看整邊直角三角形[J].安慶師范學院學報.2008,02:113-115</p><p>　　[13] 宋永林.四元數(shù)集上的商高方程[J].咸寧師專學報.2001,03:18-21.</p><p>　　[14] 樂茂華.關(guān)于本原商高數(shù)的Terai猜想[J].北華大大學報.2005,02:108-109.</p><p>　　[1

24、5] 李樹新.關(guān)于丟番圖方程[J].廣西民族學院學報.2006,02:2-9.</p><p>　　[16] 晏能中.向人類智慧挑戰(zhàn)的一個數(shù)學問題——費馬定理的風風雨雨[J].達縣師范高等?？茖W校學報.2000,02:28-29</p><p>　　[17] 李宏棋.費馬大定理的初等證明[J].西安工程大學學報.2008,05:650-662</p><p>　　[