柯西準則及其應(yīng)用

1、<p><b>　　柯西準則及其應(yīng)用</b></p><p>　　摘　要：柯西準則是實數(shù)完備性六大定理之一，它是極限論的基礎(chǔ)．它的應(yīng)用貫穿于數(shù)學分析課程學習始終．一般地，數(shù)學分析課程教材在討論柯西準則時都只就一種情形來討論，本文將補給并詳細證明其它五種情形函數(shù)極限的柯西準則，同時探討總結(jié)柯西準則在極限、級數(shù)、積分等方面的靈活應(yīng)用．</p><p>　　關(guān)鍵詞

2、：柯西準則；應(yīng)用；極限存在；優(yōu)越性朗讀顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音 字典</p><p>　　引言：柯西準則是實數(shù)完備性六大定理之一，它是極限論的基礎(chǔ)．它的應(yīng)用非常廣泛，貫穿于數(shù)學分析課程學習始終．一般地，數(shù)學分析課程教材在討論柯西準則時都只就一種情形來討論，即</p><p>　　設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)(<)，使得對任何，，都有<．</

3、p><p>　　事實上，當，，，，五種情形函數(shù)極限存在的柯西準則可以類比，它們的應(yīng)用也非常廣泛．本文將詳細敘述并證明其它五種情形函數(shù)極限的柯西準則，同時探討總結(jié)柯西準則在極限、級數(shù)、積分等方面的靈活應(yīng)用，充分展示其在解決上述幾個方面問題的優(yōu)越性和博大精深之處．</p><p>　　1 柯西準則的其它五種形式</p><p>　　定理1.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．存在的充要

4、條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何，，均有<．</p><p>　　證 必要性 設(shè)，則對任給的>，存在正數(shù)(<)，使得對有．于是對有</p><p>　　充分性 設(shè)數(shù)列且，按假設(shè)，對任給的>，存在正數(shù)(<)，使得對任何，，有</p><p>　　由于對上述的>存在>使得當>時有</p><p&

5、gt;<b>　　從而有</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　于是，按數(shù)列極限的柯西收斂準則，數(shù)列的極限存在，記為，即．</p><p>　　設(shè)另一數(shù)列且，則如上所證，存在，記為．現(xiàn)證</p><p><b>　　，為此，考慮數(shù)列</b><

6、/p><p>　　易見且，故仍如上面所證，也收斂．于是，作為的兩個子列，與必有相同的極限，所以由歸結(jié)原則推得．</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　定理1.2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何，，均有<．</p><p>　　以下利用定理1.2和致密性定理證明數(shù)

7、列極限的柯西準則的充分性．</p><p>　　證 充分性 設(shè)數(shù)列滿足柯西條件，先證明是有界的．為此，取，則存</p><p><b>　　正整數(shù)，當及時有</b></p><p><b>　　由此得</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p>&

8、lt;p><b>　　令</b></p><p>　　則對一切正整數(shù)均有．</p><p>　　于是，由致密性定理可知，有界數(shù)列必有收斂子列，設(shè)．對任給的，存在，當時，同時有</p><p><b>　　(由柯西條件)，</b></p><p><b>　?。ㄓ桑?lt;/b>

9、;</p><p><b>　　因而當取時，得到</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　這就證明了．</b></p><p>　　有歸結(jié)原則：對任何有</p><p><b>　　充分性即證．</b&

10、gt;</p><p>　　必要性　設(shè)．有數(shù)列極限定義，對任給的，存在 </p><p><b>　　當時有 </b></p><p><b>　　因而 </b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　由歸結(jié)原理知，即可證得．&

11、lt;/p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　注 歸結(jié)原則的意義在于實現(xiàn)函數(shù)極限和數(shù)列極限的相互轉(zhuǎn)化，從而可以應(yīng)用歸結(jié)原則和數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)解決函數(shù)極限問題．</p><p>　　定理1.3 充分大的>，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何>，>，均有<．</p>

12、;<p>　　證 先證必要性．設(shè)，按照定義，，，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　<．</b></p><p><b>　　再證充分性．設(shè)，，</b><

13、;/p><p><b>　　<．</b></p><p>　　任意選取數(shù)列，．則對上述，．有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　這說明函數(shù)值數(shù)列是基本數(shù)列，因而必定收斂．根據(jù)相應(yīng)的歸結(jié)原則，可知存在而且有極限．</p><p><b>　

14、　證畢</b></p><p>　　注 上述證明過程中用到了基本數(shù)列，下面介紹基本數(shù)列的定義</p><p>　　如果數(shù)列具有以下特征：，</p><p>　　則稱數(shù)列是一個基本數(shù)列．</p><p>　　定理1.4 充分大的>，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何<，<，均有<

15、;．</p><p>　　證 必要性 設(shè)，則對任給的，存在正數(shù)，使得對任何有．</p><p><b>　　于是對任何有</b></p><p>　　充分性 設(shè)數(shù)列且．按假設(shè)，對任給的，存在正數(shù)</p><p><b>　　，使得對任何，有</b></p><p>&l

16、t;b>　?。?lt;/b></p><p>　　由于對上述的，存在使得當時有，從而有</p><p>　　于是，按數(shù)列的柯西收斂準則，數(shù)列的極限存在，記為，即</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　設(shè)另一數(shù)列且，則如上所證，存在，記為．現(xiàn)證，為此，考慮數(shù)列</p><

17、;p>　　易見且，故仍如上面所證，也收斂．于是，作為的兩個子列，與必有相同的極限，所以由歸結(jié)原則推得．</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　定理1.5 充分大的>，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何，均有<．</p><p>　　定理1.5的證明可以類似前面4個定理的證明

18、．</p><p>　　2 歸納柯西準則在數(shù)學分析中的應(yīng)用．</p><p>　　2.1柯西準則在實數(shù)完備性理論中的應(yīng)用</p><p>　　實數(shù)完備性是數(shù)學分析的基礎(chǔ)，其六大定理即確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理、柯西準則，建立了實數(shù)完備性理論的骨架．作為六大定理之一的柯西準則，起著至關(guān)重要的作用，由該準則入手，可依次推出其它五個定理．&

19、lt;/p><p>　　2.1.1　用數(shù)列的柯西收斂準則證明確界原理．</p><p>　　證 設(shè)為非空有上界數(shù)集．由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù)，存在整數(shù)，使得為的上界，而不是的上界，即存在，使得．</p><p>　　分別取則對每一個正整數(shù)，存在相應(yīng)的，使得為的上界，而不是的上界，故存在，使得</p><p>　　． （1）<

20、;/p><p>　　又對正整數(shù)，是的上界，故有．結(jié)合（1）式得；同理有．從而得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　于是，對任給的，存在，使得當時有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　由柯西收斂準則，數(shù)列收斂．記</p>

21、;<p>　　． （2）</p><p>　　現(xiàn)在證明就是的上確界．首先，對任何和正整數(shù)有，由(2)式得，即是的一個上界．其次，對任何，由及(2)式，對充分大的同時有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　又因不是的上界，故存在，使得．結(jié)合上式得</p><p><b

22、>　?。?lt;/b></p><p>　　這說明為的上確界． </p><p>　　同理可證：若為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界．</p><p>　　2.1.2 用平面點列收斂的柯西準則證明閉區(qū)間套定理</p><p>　　證 在閉域套的每一個閉域內(nèi)任取一點，構(gòu)成一個各點各不相同的平面點列，則對一切自然數(shù)，由于，以，因此．由

23、定義任給，存在正整數(shù)，使得當時，對一切自然數(shù)，都有，根據(jù)柯西準則收斂，記．</p><p>　　現(xiàn)證為此任意取定則因為對一切自然數(shù)都有，由定義知是的聚點，而閉域必為閉集，所以它的聚點</p><p>　　最后證明的唯一性，若還有則由于，所以．</p><p>　　2.2 柯西準則是極限論的基礎(chǔ)，許多斂散性判別法都由它導出．</p><p>　

24、　2.2.1 柯西準則在數(shù)列收斂性判定中的應(yīng)用</p><p><b>　　數(shù)列收斂有</b></p><p><b>　　數(shù)列發(fā)散使得</b></p><p>　　例1 應(yīng)用柯西收斂準則，證明數(shù)列收斂</p><p>　　證 對取，則對，有 </p><p>　　而由

25、知，故由柯西收斂準則知數(shù)列收斂．</p><p>　　2.2.2 柯西準則在函數(shù)極限存在性判定中的應(yīng)用</p><p>　　不存在的充要條件是：，對，都存在，，使得．</p><p>　　例2 證明極限不存在．</p><p>　　證 可取，對任何，設(shè)正整數(shù)，令</p><p>　　則有，而．于是按照柯西準則，極限

26、不存在．</p><p>　　2.2.3 柯西準則在無窮積分與瑕積分收斂性判定中的應(yīng)用</p><p>　　因為無窮積分的斂散性是由變上限函數(shù)存在與否確定的．因此，可由函數(shù)極限存在的柯西準則導出無窮積分收斂的柯西準則：</p><p><b>　　無窮積分收斂有</b></p><p>　　同理，由函數(shù)極限存在的柯西準

27、則可直接推出瑕積分（a為瑕點）收斂的柯西準則：</p><p>　　瑕積分（a為瑕點）收斂有</p><p>　　例3 設(shè)在上連續(xù)可微，并且．如果(當時)，其中為一常數(shù)．試證：．</p><p>　　證 （反證）假設(shè)，則使對，總有．</p><p>　　因為在上連續(xù)可微，故在上一致連續(xù)，于是，使當時，</p><p&g

28、t;　　又因收斂，故時，當時，</p><p><b>　　對該，存在，故，</b></p><p><b>　　當時 </b></p><p><b>　　矛盾．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>

29、　　2.2.4 柯西準則在級數(shù)收斂性判定中的應(yīng)用</p><p>　　因為級數(shù)的斂散性是由其前項和數(shù)列的斂散性確定的．所以，由</p><p>　　收斂的柯西準則直接可得級數(shù)收斂的柯西準則：</p><p><b>　　收斂有</b></p><p>　　例4 級數(shù)收斂的充要條件是：對任意的正整數(shù)序列都有．</p

30、><p>　　證 必要性 因為收斂，所以對當及有</p><p><b>　　特別地</b></p><p><b>　　所以．</b></p><p>　　充分性 用反證法．若發(fā)散，則及自然數(shù)，使</p><p><b>　　特別及自然數(shù)使</b>&

31、lt;/p><p><b>　　，及自然數(shù)，使</b></p><p><b>　　這與矛盾．</b></p><p><b>　　所以級數(shù)是收斂的．</b></p><p>　　例5　應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù)收斂．</p><p><b>

32、　　證 由于</b></p><p>　　因此，對任給，取，使當及對任意正整數(shù)，由上式就有　</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　依級數(shù)收斂的柯西準則推得級數(shù)是收斂的．</p><p>　　2.2.5 柯西準則在函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判定中的應(yīng)用</p><

33、p>　　由數(shù)列收斂的柯西準則易推得函數(shù)列一致收斂的柯西準則：</p><p>　　函數(shù)列在上一致收斂有</p><p>　　又因為函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由其部分和函數(shù)列的一致收斂性確定的．所以，可用函數(shù)列一致收斂的柯西準則直接推出函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則：</p><p>　　在上一致收斂 當時，有 </p><p>　　進一步易

34、推出判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂常用的魏爾斯特拉斯判別法．</p><p>　　例6 證明：若對，有且收斂，則函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂．</p><p><b>　　證 ，</b></p><p><b>　　因為收斂，故有</b></p><p><b>　　有</b></

35、p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　所以函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂．</p><p>　　例7 設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與都絕對收斂，則在上絕對且一致收斂．</p><p>　　證 因為與絕對收斂對當時，對有</p><p><b>　?。?lt;/b></

36、p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　又因為是上的單調(diào)函數(shù)，所以對．有 或</p><p>　　由一致收斂的柯西準則可推出函數(shù)項級數(shù)在上絕對且一致收斂．</p><p><b>　　柯西準則的優(yōu)越性</b></p><p>　　柯西準則的優(yōu)越性是顯然的，在數(shù)學

37、分析中，凡涉及到“收斂”與“一致收斂”概念都有內(nèi)容相應(yīng)的柯西收斂（或一致收斂）準則，其最大的優(yōu)點是不需借助于數(shù)列（或函數(shù)）以外的任何信息，只依據(jù)各項的具體特點來解決相應(yīng)的問題，使得看似復雜的問題變的簡單易懂．它具有整齊完美的形式，充分體現(xiàn)了數(shù)學美，使得許多抽象的數(shù)學理論形象可見．在數(shù)學分析中有非常重要的理論價值，所以深刻理解柯西準則很重要．</p><p><b>　　參考文獻</b><

38、;/p><p>　　[1] 責任編輯高尚華，華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析，高等教育出版社，2001年，第三版</p><p>　　[2] 崔萬臣，談柯西準則在數(shù)學分析中的作用，唐山師專學報，1993年，第21卷，第2期</p><p>　　[3] 王安斌、賓紅華，用柯西準則證明幾個相關(guān)命題，數(shù)學理論與應(yīng)用，2004年，第24卷，第4期</p><p&

39、gt;　　[4] 陳祥平，對柯西準則教學的體會，濟寧師專學報，1998年，第19卷，第6期</p><p>　　[5] 薛懷玉，上完備性定理的等價，咸陽師范?？茖W校學報（自然學版），1998年，第13卷，第6期</p><p>　　[6] 錢吉林，數(shù)學分析題解精粹，湘北長江出版集團，2009年，第二版</p><p>　　[7] 劉玉鏈、傅沛仁，數(shù)學分析講義，高等教

40、育出版社，2003年，第三版</p><p>　　[8] 陳紀修、於崇華、金路，數(shù)學分析，高等教育出版社，2004年，第二版</p><p>　　Cauchy criterion and its application</p><p>　　Abstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which

41、is about the completeness of real numbers. it is the foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis, its application has always been. In general, During the curriculum materials of the mathematic

42、al analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only a situation thatis discussed. This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it <