數(shù)學論文-euclid空間上的線性泛函的內積刻畫及推廣

1、<p>　　Euclid空間上的線性泛函的內積刻畫及推廣</p><p>　?。ㄐ⒏袑W院數(shù)學系021114230 湖北孝感 432100）</p><p>　　摘 要：本文在一般意義上討論了Euclid空間上的線性泛函，尋找到了它能用內積來刻畫的充要條件，并將結論進一步推廣到雙線性函數(shù)的情形，最后說明了本文的主要結論與F.Riesz定理關系.</p><p&

2、gt;　　本文得到的主要結論是：是Euclid空間上的線性泛函，則下列條件是等價的：</p><p>　　1）存在唯一的,使得,有；</p><p><b>　　2）或；</b></p><p><b>　　3）.</b></p><p>　　關鍵詞：Euclid空間；內積；線性泛函；雙線性函數(shù)；零

3、空間</p><p>　　The depiction and further generalizition of linear function in Eucclid Space</p><p><b>　　Wang Peng</b></p><p>　　(Department of Mathematics,Xiaogan University

4、 021114230)</p><p>　　Abstract: In this paper ,we generally discuss linear function in Euclid space,found out the necessary and sufficient conditions that can be depicted by inner-product.Further gerneralize

5、 those results to dobuble linear function.At last,we illustrate the relation between the results of the paper and theory of F.Riesz.</p><p>　　The main result of this paper is :is linear function in Euclid s

6、pace,then the conditions on the following are equal.</p><p>　　there exists only ,let, we have </p><p><b>　　or ；</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　

7、Keywords: Euclid space; Inner-product; Linear function; Dobuble linear function;Zero-space</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　0 引言 …………………………………………………………………………… 3-4</p><p>　　

8、1 預備知識及引理 ……………………………………………………………… 4-5</p><p>　　2 主要結果……………………………………………………………………… 5-13</p><p>　　2.1 Euclid空間上線性泛函的內積刻畫 …………………………………… 5-9</p><p>　　2.2 Euclid空間上不能用內積刻畫的線性泛函的存在性 …

9、…………… 9-10</p><p>　　2.3 雙線性函數(shù)的內積刻畫 ………………………………………………10-13</p><p>　　參考文獻 ………………………………………………………………………… 13</p><p>　　致謝………………………………………………………………………………… 13</p><p><b>

10、;　　0 引言</b></p><p>　　Cauchy曾用函數(shù)方程給出了實數(shù)域上的線性函數(shù)的公理化定義，該定義基于以下命題得到：</p><p>　　命題1 設是實數(shù)域到的一個連續(xù)函數(shù)，若對，有</p><p><b>　　，則，這里為常數(shù).</b></p><p>　　美國數(shù)學家K.Gabriel在他的

11、著作中取消了命題“是連續(xù)函數(shù)”這一假設，并利用連續(xù)函數(shù)的延拓原理進行了新的證明.</p><p>　　把線性函數(shù)這一概念拓廣到一般的線性空間上，就是如下：</p><p>　　定義1 設是數(shù)域上的一個線性空間，映射稱為上的線性函數(shù)，如果滿足</p><p><b>　　1）；</b></p><p><b>

12、　　2），</b></p><p>　　式中是中任意元素，是中任意數(shù).</p><p>　　在上述定義中當為實數(shù)域或復數(shù)域時，我們也把稱為上的線性泛函.</p><p>　　在三維幾何空間中，當為常向量，而為變向量時，數(shù)量積（內積）可視為函數(shù)，容易驗證是一個線性泛函.推廣到一般的內積空間，記是中任意向量，是中一固定向量，易證是上的一個線性泛函. <

13、/p><p>　　F.Riesz考慮了以上問題在一般意義上的逆命題，對Hilbert空間上的連續(xù)線性泛函進行了一般性的刻畫：</p><p>　　F.Riesz定理 設是Hilbert空間上的一個連續(xù)線性泛函，則必存在唯一的，使得，有.</p><p>　　本文將在一般意義上考慮內積空間上的線性泛函，研究在怎樣的情形下，內積空間上的線性泛函才能用內積來刻畫，這種刻畫是

14、否唯一，并將結論進一步推廣到雙線性函數(shù)的情形.</p><p>　　在本文中用表示內積，表示實數(shù)域，表示正整數(shù)集，表示的維數(shù)，表示范數(shù)，表示正交，表示直和，表示生成子空間.</p><p>　　1 預備知識及引理</p><p>　　定義2 是數(shù)域上的線性空間，是上的線性函數(shù)，稱</p><p>　　為在上的零空間，簡稱的零空間.<

15、/p><p>　　容易驗證，是的子空間.</p><p>　　定義3 和是數(shù)域上的兩個線性空間，是的映射，如果滿足</p><p><b>　　1)；</b></p><p><b>　　2)，</b></p><p>　　其中是中任意向量，是中任意向量，是中任意數(shù)，則稱是一個

16、雙線性函數(shù).</p><p>　　在定義3中，如果，我們在習慣上也稱是上的雙線性函數(shù).</p><p>　　定義4 和是數(shù)域上的兩個線性空間，為到的映射，如果</p><p><b>　　及數(shù)，有</b></p><p><b>　　1) ；</b></p><p><

17、;b>　　2) ，</b></p><p>　　則稱為到的線性算子.</p><p>　　特別地，在定義4中，當時，就是定義中所說的上的線性函數(shù)；當時，就是的線性變換.</p><p>　　引理1 是內積空間的閉子空間，則對每個，存在唯一的，使得</p><p><b>　　，</b></p&g

18、t;<p>　　這里的范數(shù)是的內積導出的范數(shù)，是與的距離.</p><p>　　引理2 是內積空間的子空間，，若，使得</p><p><b>　　，那么，.</b></p><p>　　引理1與引理2的證明在文獻[3]中有詳細的論述，為避免累贅，我們在這里省略掉這部分過程.</p><p><b&

19、gt;　　2 主要結果</b></p><p>　　2.1 Euclid空間上的線性泛函的內積刻畫定理</p><p>　　F.Riesz定理指出Hilbert空間上的連續(xù)線性泛函的內積刻畫具有唯一性，下面引理說明了這種唯一性具有普遍性，不僅僅局限于Hilbert空間上的連續(xù)線性泛函. </p><p>　　引理3 設是Euclid空間上的線性泛函

20、，若，使得,</p><p><b>　　有，則.</b></p><p><b>　　證明 由于 ，</b></p><p><b>　　，有，</b></p><p><b>　　取，則有，</b></p><p><

21、b>　　， </b></p><p><b>　　即 .</b></p><p>　　在三維幾何空間上的線性泛函，其中是中常向量，是中任意向量.很明顯，F(xiàn).Riesz定理中要找的現(xiàn)在就是，它是平面的法向量，而平面就是的子空間，推廣到一般的有限維Euclid空間，便有：</p><p>　　定理1 設是維Euclid空間上的

22、線性泛函，如果，則存在唯一的，使得，有.</p><p>　　證明 由于，可設是的一組標準正交基，利用Schimidt正交方法將其擴充為的一組標準正交基，則</p><p><b>　　，，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，再由引理3可知定理1結論成立.

23、</p><p>　　其實，在定理1中，不要條件，結論也是成立的，即有：</p><p>　　定理2 設是Euclid空間上的線性泛函，且，則存在唯一的，使得，有.</p><p><b>　　證明 設，，</b></p><p>　　1) 當時，，這時取即可；</p><p>　　2) 當時，

24、設是的一組標準正交基，利用Schimidt正交方法將其擴充為的一組標準正交基則</p><p><b>　　，，有</b></p><p>　　其中.再由引理3知唯一性成立，定理得證.</p><p>　　通過定理2，我們知道，對于有限維的Euclid空間上的線性泛函都能用內積來刻畫，而對于更一般的情形（對整個Euclid空間的維數(shù)不加限制），

25、我們先從下面的引理開始探討.</p><p>　　引理4 設是Euclid空間，，則由生成的子空間是的閉子空間.</p><p>　　證明 當?shù)木埸c集時，結論顯然成立，下面不妨設，這時，否則是孤立點集，從而，矛盾.</p><p>　　現(xiàn)設，則有中的點列，有，則，，對，，有</p><p>　　，

26、 （1）</p><p>　　由于，故，使得，，，，將此代入（1）得到</p><p>　　， （2）</p><p>　　所以根據(jù)Cauchy收斂準則知數(shù)列收斂，設，則，，使得，有，于是，有</p><p><b>　　，</b></p><

27、p>　　即，故，所以是的閉子空間.</p><p>　　引理5 是Euclid空間的閉子空間，則.</p><p>　　證明 ，，有，則，所以，下面只須證即可.</p><p>　　，由于是Euclid空間的閉子空間，故根據(jù)引理1和引理2知存在及，使得，由于是線性子空間，因此，從而，即，所以.這就證明了.</p><p>　　經(jīng)過前

28、面的準備下，我們就可以得到以下定理.</p><p>　　定理3 設是Euclid空間上的線性泛函，則下列條件是等價的：</p><p>　　1）存在唯一的，使得，有；</p><p><b>　　2）或；</b></p><p><b>　　3）.</b></p><p>

29、<b>　　證明 1）2）</b></p><p><b>　　若，使得，有，則</b></p><p><b>　　當時，，下設.</b></p><p>　　，有:，從而:，即，所以</p><p>　　；反之 ，有:，即，于是</p><p>&l

30、t;b>　　.因此.</b></p><p>　　再根據(jù)引理3和引理4知，由于，所以.</p><p><b>　　2）3）</b></p><p>　　當時，，此時3）顯然成立；</p><p>　　當時，則，，使.由于，故，所以，于是，令，則有，其中</p><p><

31、b>　　因此，而，所以.</b></p><p><b>　　3）1）</b></p><p>　　若，則令，結論自然成立.</p><p>　　若，且，則，于是可設，，對任何，令，則</p><p><b>　　， 即 .</b></p><p><

32、b>　　，</b></p><p><b>　　由于 ，所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　令，則 . 而的唯一性通過引理3是顯然的.</p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　

33、　由定理2知道，維Euclid空間上的線性泛函都能用內積來刻畫，再結合定理3知該泛函為零函數(shù)或者其零空間的維數(shù)為，這一點在幾何空間中是有比較明確的幾何意義的（前面已分析）.</p><p>　　2.2 Euclid空間上不能用內積刻畫的線性泛函的存在性</p><p>　　在上一段我們得到定理3這個重要結論，下面利用定理3來說明Euclid空間上確實存在線性泛函不能用內積來刻畫.<

34、/p><p>　　設 ，則按多項式函數(shù)的加法和數(shù)乘構成實數(shù)域上的線性空間，對于，，定義內積，易知按此內積構成一個Euclid空間，對于，我們再定義，不難驗證是上的線性泛函，下面我們就來證明不能用內積來刻畫.</p><p>　　事實上，根據(jù) 的定義知，，2，3，. 現(xiàn)設</p><p>　　則有 ，，2，3，，. （3）</p&

35、gt;<p>　　由（3）我們可以得到關于的齊次線性方程組</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為Cauchy行列式</p><p>　　其值為，于是齊次線性方程組（4）只有零解，即有</p><p><b>　　由此得到，所以.</b

36、></p><p>　　又由于，因此，從而根據(jù)定理3知不能用的內積來刻畫.</p><p>　　2.3 雙線性函數(shù)的內積刻畫</p><p>　　本文在上面探討了用內積來刻畫Euclid空間上的線性泛函的問題，下面我們對雙線性函數(shù)也作類似的探討.</p><p>　　設是Euclid空間上的雙線性函數(shù)，對于，我們定義</p>

37、;<p>　　：，. （5）</p><p>　　易知是上的線性泛函，通過這一點，我們可以得到下面的定理.</p><p>　　定理4 設是Euclid空間上的雙線性函數(shù)，對于，是如（5）式所定義的上的線性泛函.若對，能用的內積來刻畫，則存在的唯一線性變換，使得，有.</p><p>　　證明 由于，能用的內

38、積來刻畫，結合引理3知，存在中唯一元素，使得，有，利用此我們可以定義： ，這樣我們就有.下面我們證明是的線性變換.</p><p>　　首先由的唯一性知是到的映射；而與，</p><p><b>　　一方面有： </b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　另一方面有：

39、 ，</p><p>　　所以 ，</p><p>　　即 .</p><p><b>　　取，代入上式得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　同理可證

40、 .</p><p><b>　　是的線性變換.</b></p><p>　　下面我們來證明的唯一性.</p><p>　　假如還有的線性變換，使得：，有. 則：</p><p><b>　　，有，即 .</b></p><p>　　令，則得到，即

41、.再由的任意性可知.</p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　通過定理4，我們可以知道：要判斷雙線性函數(shù)是否也能用內積來刻畫就轉化為了判斷或是否能用內積來刻畫，而這個問題通過定理3已得到解決.</p><p>　　同樣，若是空間上的雙線性函數(shù)，對于，定義</p><p>　　：，.

42、 （6）</p><p>　　則也是上的線性泛函.于是有完全類似于定理4的結論，從略.</p><p>　　推論 設是有限維Euclid空間上的雙線性函數(shù)，則存在的線性變換與，使得，有，并且這樣的與是唯一的.</p><p>　　該推論可由定理2、定理4直接推得.</p><p>　　現(xiàn)設和都是上的線性空間，：是

43、雙線性函數(shù).對于，定義</p><p>　?。?，. （7）</p><p>　　同樣易知是上的線性泛函，如果能用的內積來刻畫的話，即存在，使得，有，則由引理3知是唯一的，于是定義 ，則是到的映射，進一步，我們用定理4中證明是線性變換的方法同樣也可證明是到的線性算子.這樣我們就可將定理4的結論推廣為：</p><p>　　定理5

44、 是Euclid空間，是上的線性空間，：是雙線性函數(shù).對于，是如（7）所定義的上的線性泛函.若，能用的內積來刻畫，則存在到的唯一線性算子，使得，有,這里的內積是中的內積.</p><p>　　定理5的證明與定理4的證明是完全類似的.</p><p>　　運用定理2、定理5立即可得到下面的推論：</p><p>　　推論 和都是上的線性空間，：是雙線性函數(shù)；<

45、;/p><p>　　若是有限維Euclid空間，則存在到的唯一線性算子，使得</p><p>　　與，有，這里的內積是中內積.</p><p>　　若是有限維Euclid空間，則存在到的唯一線性算子，使得</p><p>　　與，有，這里的內積是中內積.</p><p>　　最后我們指出，在本文中，將Euclid空間換成復

46、內積空間，則相應的結論仍然成立，在證明中只須注意內積的變化即可.由于Hilbert空間是完備的復的或實的內積空間，而對于Hilbert上的連續(xù)線性泛函滿足定理3的條件3）（這點在文獻[2]中有詳細的論述），由此可以看出在本文定理4的結論下，F(xiàn).Riesz定理成立是自然的，即本文定理3是F.Riesz定理的推廣.</p><p><b>　　[參考文獻]</b></p><

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