數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用

1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p><b>　　2009 屆</b></p><p>　　題 目 導(dǎo)數(shù)在解題中應(yīng)用</p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

2、 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　年 級(jí) 2006級(jí) </p><p>　　學(xué)生學(xué)號(hào) </p><p>　　學(xué)生姓名 </p><

3、p>　　指導(dǎo)教師 </p><p>　　2009年 5月 8日</p><p><b>　　導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用</b></p><p>　　數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè) 2010屆 </p><p>　　摘

4、要: 本文通過(guò)導(dǎo)數(shù)的基本理論來(lái)解決數(shù)學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)例題從簡(jiǎn)單應(yīng)用和綜合應(yīng)用來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用，如在數(shù)列、函數(shù)、不等式證明、實(shí)際問(wèn)題、數(shù)列求和等方面的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；單調(diào)性；最值；數(shù)列</p><p><b>　　中圖分類號(hào)：017</b></p><p>　　The Application of De

5、rivative in Solving problems</p><p>　　Abstract:In this paper, we discuss some problems in mash by the theory of the derivative. The derivative application is obtained by using examples from simple applicatio

6、n to comprehensive application, such as the application of the series, inequality proof, practical problems and summation series.</p><p>　　Keywords: derivative; function; monotone; the most value; series<

7、/p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1引言1</b></p><p>　　2 導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用4</p><p>　　2.1 求曲線的切線方程4</p><p>　　2.2 導(dǎo)數(shù)在探究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用6</p><

8、p>　　2.2.1 判斷函數(shù)的單調(diào)性6</p><p>　　2.2.2 函數(shù)的極值、最值問(wèn)題7</p><p>　　2.2.3 求函數(shù)的解析式9</p><p>　　2.2.4 導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用9</p><p>　　2.3 研究方程根的情況11</p><p>　　2.4 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中

9、的應(yīng)用12</p><p>　　2.5導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍12</p><p>　　2.6 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用13</p><p>　　2.6.1 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用13</p><p>　　2.6.2 求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)14</p><p>　　2.7 導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用15</p>

10、<p>　　2.8 近似計(jì)算15</p><p><b>　　3 結(jié)束語(yǔ)16</b></p><p><b>　　謝 辭16</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)17</b></p><p><b>　　導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用</b&

11、gt;</p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　微積分的知識(shí)和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題上，能起到以簡(jiǎn)馭繁的作用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，證明不等式，恒等式及恒等變形，研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上.導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí), 是研究函數(shù)解析性質(zhì)的重要手段，在求函數(shù)的極值方面起著“鑰匙”的作用.中學(xué)數(shù)學(xué)中加入導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)不僅豐富了函數(shù)

12、的基礎(chǔ)知識(shí)，而且使得對(duì)函數(shù)內(nèi)容以及對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究更加完整化、系統(tǒng)化，在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)起著“橋梁”作用，為中學(xué)生進(jìn)入高等學(xué)府后繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).</p><p>　　導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的概念，深入理解導(dǎo)數(shù)的概念能夠幫助我們很好地解題.</p><p>　　定義[1]：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量 點(diǎn)仍在該領(lǐng)域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增；如果與之比當(dāng)時(shí)的極

13、限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記為，即</p><p>　　導(dǎo)數(shù)定義的形式比較靈活.對(duì)它進(jìn)行研究，能促進(jìn)我們對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解，幫助我們迅速、正確地解題，導(dǎo)數(shù)的定義式也可以有不同的形式，常見(jiàn)的有</p><p>　　式中的即為自變量的增量.</p><p>　　從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)[2]，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了

14、。</p><p>　　公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō)，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣?！边@些都是樸

15、素的、也是很典型的極限概念。 </p><p>　　到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 </

16、p><p>　　十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。 </p><p>　　十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，

17、雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題(積分學(xué)的中心問(wèn)題)。 </p><p>　　牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門(mén)學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。 </p><p>

18、　　牛頓在1671年寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程(積分法)。 </p><p>　　德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者

19、，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通

20、用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。 </p><p>　　微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 </p><p>　　前面已經(jīng)提到，一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。 </p><

21、p>　　不幸的是，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰(shuí)是這門(mén)學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見(jiàn)，過(guò)于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。 </p><p>　　其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10

22、年左右，但是正式公開(kāi)發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見(jiàn)，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。 </p><p>　　應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問(wèn)題上，其說(shuō)不一，十分含糊。牛頓的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊

23、布尼茨的也不能自圓其說(shuō)。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。 </p><p>　　直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái)。 </p><p>　　任何新興的、具有無(wú)量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微

24、積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟翰·貝努利、歐拉、法國(guó)的拉格朗日、科西…… </p><p>　　歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問(wèn)題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。</p><p>

25、　　2 導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用</p><p>　　2.1 求曲線的切線方程</p><p>　　在求過(guò)點(diǎn)所作函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線的切線方程[3]時(shí)應(yīng)先判斷該點(diǎn)是否在曲線上.</p><p>　　當(dāng)點(diǎn)在曲線上，即點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則切線方程為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　當(dāng)點(diǎn)不在曲線

26、上時(shí)，則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由</p><p>　　先求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步求切線方程. </p><p>　　例1.已知曲線,求過(guò)點(diǎn)P的曲線的切線方程.</p><p><b>　　解：因，所以，</b></p><p><b>　　則當(dāng)時(shí)，，.</b></p><p>　　

27、① 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在曲線上，故過(guò)點(diǎn)P的曲線的切線方程為即，</p><p>　?、?當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P不在上，設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)P的切線的切點(diǎn)是，</p><p>　　則切線方程為且點(diǎn)P在此切線方程上，</p><p><b>　　所以有 即</b></p><p><b>　　又 </b></p>

28、<p><b>　　則有 ，即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，， 所以；</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)， ，</b></p><p>　　所以切線方程是 ，即 ，</p&

29、gt;<p>　　當(dāng)時(shí)，，切線不存在.</p><p>　　例2. 已知拋物線和拋物線，當(dāng)取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫(xiě)出公切線的方程.</p><p>　　分析：傳統(tǒng)的處理方法是用法來(lái)解決，但計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，如能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解，則思路清晰，解法簡(jiǎn)單.</p><p>　　解：設(shè)分別是直線與、的兩個(gè)切點(diǎn).</p><

30、;p><b>　　又，的導(dǎo)數(shù)分別為：</b></p><p><b>　　，，所以 ，即 </b></p><p>　　又、有且只有一條公切線，則點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，，</p><p>　　所以，即，有點(diǎn)在上，可知，</p><p><b>　　此時(shí).</b></p&g

31、t;<p>　　例3. 已知曲線，直線，且與切與點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).</p><p>　　解：由過(guò)原點(diǎn)，知，點(diǎn)在曲線上，</p><p><b>　　又∵</b></p><p><b>　　∴，又 </b></p><p><b>　　∴</b><

32、/p><p><b>　　∴（不符合題意）</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　所以的方程為，切點(diǎn)為.</p><p>　　求曲線的切線方程，關(guān)鍵利用曲線上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線上過(guò)該點(diǎn)的切

33、線的斜率.</p><p>　　2.2 導(dǎo)數(shù)在探究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用　</p><p>　　2.2.1 判斷函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　　假設(shè)y=在點(diǎn)中可導(dǎo)[4]</p><p>　?、瘢┤魧?duì)中所有而言，則在中遞增；</p><p>　　Ⅱ）若對(duì)中所有而言，則在中遞減；</p><p>　?、?/p>

34、）若對(duì)中所有而言=0，則在中不變.</p><p>　　由此可見(jiàn)，只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)性，則能判斷函數(shù)的單調(diào)性.這種方法比傳統(tǒng)的的“定義法”及“圖像法”更方便.</p><p>　　例1.求函數(shù)在[0,1]上的單調(diào)性（R）.</p><p>　　解：令，即求，t[0,1]上的單調(diào)性.</p><p>　　當(dāng)a0時(shí)，在t[0,1]上為

35、增函數(shù)；</p><p>　　當(dāng)a<0時(shí), 因=，</p><p>　　則由 ， 得 =0. 有 t=，</p><p>　　則可以判斷，當(dāng)t(0, )時(shí)，，說(shuō)明在t（0，）上為增函數(shù)；</p><p>　　當(dāng)t時(shí)，，在上為減函數(shù).</p><p>　　接下來(lái)，要比較和1的大小,</p><

36、p>　　當(dāng)時(shí)，則在上為增函數(shù)，</p><p><b>　　此時(shí) ，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，，則在t（0，）上為增函數(shù)；在t上為減函數(shù).</p><p>　　該題用導(dǎo)數(shù)來(lái)解，淡化了技巧，突出了通法，充分顯示了該解法的新穎別致和通俗易懂.</p><p>　　例2. 已知函數(shù)=，[-1, ],其中，求的取

37、值范圍，使在區(qū)間[-1, ]上是單調(diào)函數(shù).</p><p>　　解：=+，它在[-1, ]上是單調(diào)函數(shù)，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　當(dāng)， 即時(shí)，</b></p><p><b>　　，為單調(diào)遞增函數(shù)；</b></p>&

38、lt;p><b>　　當(dāng)， 即時(shí)，</b></p><p>　　，故為單調(diào)遞減函數(shù)；</p><p>　　綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[-1, ]上是單調(diào)函數(shù).</p><p>　　2.2.2 函數(shù)的極值、最值問(wèn)題</p><p>　　求可導(dǎo)函數(shù)的極值[5]的一般步驟和方法是：</p><p>&

39、lt;b>　　①求導(dǎo)數(shù)；</b></p><p><b>　　②求方程的根；</b></p><p>　　③檢驗(yàn)在方程的根的左右符號(hào)，如果在根左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.</p><p>　　對(duì)于在連續(xù)，在可導(dǎo)的函數(shù)的最值的求解，

40、可先求出函數(shù)在上的極大（?。┲?，并與、比較即可得出最大（?。┲?</p><p>　　例1. 已知為實(shí)數(shù)，函數(shù).</p><p><b>　　求導(dǎo)數(shù)；</b></p><p>　　若，求在上的最大值和最小值.</p><p><b>　　解：由原式得</b></p><p>

41、<b>　　則 </b></p><p><b>　　由 得，此時(shí)有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由 得 或，</b></p><p><b>　　又 ，，</b></p>

42、;<p>　　所以在上的最大值為，最小值為.</p><p>　　例2. 求函數(shù)的值域.</p><p>　　分析:求函數(shù)的值域是數(shù)學(xué)中的難點(diǎn),方法因題而異, 不易掌握而采用導(dǎo)數(shù)求解, 則較為容易, 且一般問(wèn)題都可行.</p><p>　　解：函數(shù)的定義域?yàn)?</p><p>　　又 =，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，，</p>&l

43、t;p>　　所以在上是增函數(shù)，而，</p><p><b>　　所以的值域是.</b></p><p>　　2.2.3 求函數(shù)的解析式</p><p>　　例1. 設(shè)函數(shù)為三次函數(shù)，其圖像與軸的交點(diǎn)為P，且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為，若函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式.</p><p><b>　　解：設(shè)，

44、則，</b></p><p><b>　　依題意有</b></p><p>　　因?yàn)榍芯€的斜率為，所以.</p><p><b>　　把代入，得.</b></p><p>　　所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為，即求得，此時(shí).</p><p>　　由函數(shù)在處取得極值，</p&

45、gt;<p>　　則得 ， 解得 ，</p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　例2. 設(shè)為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的極小值為，求函數(shù)的解析式.</p><p><b>　　解：設(shè)，</b></p><p>　　因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即 ，<

46、;/p><p><b>　　所以 ，</b></p><p>　　則 即 ，所以 .</p><p><b>　　依題意 ，，解得 </b></p><p><b>　　故.</b></p><p>　　2.2.4 導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題[6]中的應(yīng)用<

47、/p><p>　　學(xué)習(xí)的目的, 就是要會(huì)實(shí)際應(yīng)用.解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言, 找出問(wèn)題的主要關(guān)系, 并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化, 形式化, 抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題, 再劃歸為常規(guī)問(wèn)題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.</p><p>　　例1. 用總長(zhǎng)的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)，那么高為多少時(shí)容器的容積最大并求出它的最大

48、容積.</p><p>　　解：設(shè)容器底面短邊為, 則另一邊長(zhǎng)為，高為.</p><p><b>　　由 且，得.</b></p><p>　　設(shè)容器的容積為，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 令 ，即，</b&

49、gt;</p><p>　　解得 （不合題意，舍去）.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.</b></p><p>　　所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.</p><p>　　因此，當(dāng)時(shí)，，這時(shí)，高為，</p><p>　　故高為時(shí)容器的容積最大，最大容積為.</p>

50、<p>　　例2 . 如圖，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊處，乙廠和甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸的處，乙廠到河岸的垂足與相距，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，問(wèn)供水站建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。?lt;/p><p>　　解：根據(jù)題意，只有點(diǎn)在線段上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，如右圖所示，設(shè)點(diǎn)距點(diǎn),</p><p>

51、<b>　　因?yàn)?，所?</b></p><p>　　設(shè)總的水管費(fèi)用為元，則</p><p>　　. </p><p><b>　　所以 ，令，</b></p><p><b>　　解得（舍去）.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)

52、，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，</p><p>　　此時(shí)，，即供水站建在、之間距甲廠處可使水管費(fèi)用最省.</p><p>　　2.3 研究方程根的情況</p><p>　　用導(dǎo)數(shù)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)是一種很有效的方法,它是通過(guò)函數(shù)的變化情況,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)確定函數(shù)的圖象與 軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)并結(jié)合定義域來(lái)確定方程解的個(gè)數(shù)的方法.</p><

53、;p>　　例1. 若，則方程在上有多少個(gè)根？</p><p><b>　　解：設(shè)，則，</b></p><p>　　當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.</p><p><b>　　而在與處都連續(xù)，且</b></p><p>　　故在上有且只有一個(gè)根.</p><p>　　例2.

54、 取何值時(shí), 關(guān)于的方程在上有解？</p><p>　　分析：本題亦可結(jié)合二次函數(shù)的圖象, 使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)間根分布問(wèn)題, 但是要分在上有兩解和一解兩種情況.采用轉(zhuǎn)化思想將與分離開(kāi), 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域, 使得運(yùn)算量大大減少.</p><p>　　解：因?yàn)?，所以 ，將看成的函數(shù)，</p><p><b>　　因?yàn)?， ，</b><

55、/p><p>　　所以函數(shù)在上是增函數(shù)， 故.</p><p>　　2.4 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[7]</p><p>　　不等式是數(shù)學(xué)的重要部分，它遍及數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支學(xué)科.證明他們的方法很多，有些更是具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)于某些不等式不易證明時(shí)，可根據(jù)給出不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)加以證明，往往可以達(dá)到事半功倍的效果

56、，定會(huì)覺(jué)得豁然開(kāi)朗.</p><p>　　例1 . 當(dāng)時(shí)，證明不等式.</p><p><b>　　證明：設(shè)，</b></p><p><b>　　可求得其定義域?yàn)椋?lt;/b></p><p>　　由 ， 可知在上單調(diào)遞增.</p><p>　　所以當(dāng)時(shí)， ， 即 .</

57、p><p><b>　　故 對(duì)一切都成立.</b></p><p>　　例2. 已知，求證：.</p><p>　　證明：設(shè)，則原不等式化為</p><p><b>　　設(shè)， </b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)， </b></p>

58、<p>　　所以在上為減函數(shù)，于是有</p><p>　　可得 . </p><p>　　，所以在上為增函數(shù)，</p><p>　　于是有 ， 可得 . </p><p>　　由得 ，

59、 故原不等式成立.</p><p>　　2.5導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍[8]</p><p>　　求參變量的取值范圍是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容, 有不少求參變量取值范圍的問(wèn)題依靠傳統(tǒng)的方法不容易解決,但是借助求導(dǎo)的方法確是一種很有效的解決途徑.</p><p>　　例1. 已知，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.</p><p><b>　

60、　解：，由 ，</b></p><p><b>　　即 ，解得 .</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)， ，</b></p><p>　　在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件是，</p><p>　　即 ，解得 . 所以的取值范圍為.</p>&l

61、t;p>　　例2. 求出的范圍，使不等式對(duì)任意的都成立.</p><p>　　分析: 將含參數(shù)的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最小值,方可確定出參數(shù)的范圍.</p><p><b>　　解：令，則 ，</b></p><p><b>　　再設(shè)，可求得 或，</b></p><p>

62、<b>　　當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，. 所以時(shí)，取得極小值為，</p><p>　　從而有最小值為，則， 故有.</p><p>　　解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極小值的位置.</p><p>　　2.6 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用</p><p>　　2.

63、6.1 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用</p><p>　　數(shù)列求和是數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)的問(wèn)題, 也是學(xué)生難以掌握的問(wèn)題, 用常規(guī)方法求數(shù)列的和，有時(shí)技巧性很高，或者計(jì)算十分繁瑣，如果借助導(dǎo)數(shù)這一工具，用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決此類問(wèn)題,常可化繁為簡(jiǎn)，化難為易.</p><p><b>　　例1.求 … </b></p><p><b>　　解：因

64、… ，</b></p><p>　　兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，兩邊求導(dǎo)得，</p><p><b>　　… .</b></p><p>　　例2. 求和： … .</p><p>　　解：因 … ，則該式兩邊都是關(guān)于的函數(shù)， 兩邊都對(duì)求導(dǎo)得</p><p><b>　　… ，<

65、;/b></p><p>　　令，得 … ， 即 </p><p>　　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它有通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，并且、是關(guān)于的函數(shù)，因此可以把看作是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).</p><p>　　2.6.2 求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)</p><p>　　將數(shù)列看作正整數(shù)集上的函數(shù), 然后將定義域擴(kuò)充為正實(shí)數(shù), 用導(dǎo)數(shù)的方法求解問(wèn)題是解決上

66、述問(wèn)題的一種好方法.</p><p>　　例1. 數(shù)列中，，求中的最小項(xiàng).</p><p><b>　　解：構(gòu)造函數(shù)，</b></p><p><b>　　令 ，解得 ，</b></p><p><b>　　則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，</b></p><p>　

67、　所以當(dāng)時(shí)，的值最小，</p><p>　　因?yàn)?，通過(guò)計(jì)算知中的最小項(xiàng)為.</p><p>　　把數(shù)列通項(xiàng)構(gòu)造為函數(shù)，將數(shù)列的最小項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問(wèn)題，從而利用導(dǎo)數(shù)求解.</p><p>　　2.7 導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用</p><p>　　導(dǎo)數(shù)的定義[9]在許多題目中出現(xiàn)的形式靈活多樣，較為簡(jiǎn)單的類型是直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義是作適當(dāng)?shù)淖?/p>

68、形即能解決問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)是由極限定義，所以就能利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求極限.</p><p><b>　　例1.求極限：.</b></p><p>　　解：令，由導(dǎo)數(shù)定義可得</p><p>　　例2. 已知存在，證明，，其中為常數(shù).</p><p><b>　　證明：左</b></p><p&

69、gt;<b>　　.</b></p><p><b>　　2.8 近似計(jì)算</b></p><p>　　函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，由極限的定義知，當(dāng)充分小時(shí)，，所以，利用這個(gè)公式可求的函數(shù)的近似值.</p><p>　　例1. 正方形的棱長(zhǎng)從增加到，它的體積大約增加多少？</p><p>　　解：設(shè)正方形的體

70、積為，它放入棱長(zhǎng)為,則，</p><p><b>　　取 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2. 不查表，求的值.</p><p>　　解：令，由導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系得</p><p><b>　　，</b></

71、p><p><b>　　因 ，取，，</b></p><p>　　于是 ，代入上式得 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　3 結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　本文討論了導(dǎo)數(shù)在求曲線的切線方程、研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、

72、求極限和數(shù)列等方面都有廣泛的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容不僅是函數(shù)的深化和拓展，還與其他許多知識(shí)都有著密切的聯(lián)系，用導(dǎo)數(shù)法往往比傳統(tǒng)法更具有優(yōu)越性.導(dǎo)數(shù)不但豐富了初等數(shù)學(xué)的解題思路、解題方法，而且給我們主動(dòng)探索提供了很大的空間.</p><p><b>　　謝 辭</b></p><p>　　感謝在大學(xué)期間所有傳授我知識(shí)的老師，是你們的悉心教導(dǎo)使我有了良好的專業(yè)課知識(shí)，這也

73、是論文得以完成的基礎(chǔ).感謝我的指導(dǎo)老師王戰(zhàn)平，在論文寫(xiě)作的整個(gè)過(guò)程中他給了我很大的幫助,才使我順利的完成了這篇論文.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，高等數(shù)學(xué)[M].4版.北京:高等教育出版社,1996:97. </p><p>　　[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].高

74、等教育出版社，2005，94-107.</p><p>　　[3]竇寶泉，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊,2003(12),12-13. </p><p>　　[4]徐智愚,用導(dǎo)數(shù)解初等數(shù)學(xué)題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2000(10),35. </p><p>　　[5]高群安,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)巧解題[J].2005(4),22-23.</p><p&g

75、t;　　[6]李紹平.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題考查的五大熱點(diǎn).中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2004(5)</p><p>　　[7]徐永忠,例談導(dǎo)數(shù)法證明不等式[J].中學(xué)教學(xué),2003(9),32-33.</p><p>　　[8]商俊宇. 導(dǎo)數(shù)題型分析解析[ J ]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究, 2004 (4) .</p><p>　　[9]趙小玲,導(dǎo)數(shù)定義中一些問(wèn)題在實(shí)際教學(xué)中的解決[J].寧