畢業(yè)論文淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

1、<p>　　淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p><b>　　內(nèi)容摘要</b></p><p>　　數(shù)學思想方法在中學數(shù)學教學中有著十分關(guān)鍵的地位，在高中數(shù)學教學中，構(gòu)造思想方法是一種極具創(chuàng)造性的數(shù)學思想方法，它充分滲透在其他的數(shù)學思想方法之中。</p><p>　　利用構(gòu)造法解題可以更直觀，更簡單的解決比較復雜的數(shù)學問題。鑒于此

2、，本文的重點主要體現(xiàn)在構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用上。具體來說，本文將重點闡述以下幾個問題：構(gòu)造法的理論簡介及應(yīng)用:如構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造方程、構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造遞推關(guān)系式、構(gòu)造等價命題等。 </p><p>　　【關(guān)鍵詞】 數(shù)學解題 構(gòu)造法 數(shù)學問題</p><p>　　Construction method in solving problems</p><

3、p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Mathematical way of thinking in mathematics teaching in secondary schools has a very key position.mathematics teaching in high school,structure of thinking is a hi

4、ghly creative mathematical thinking.It fully permeate into other mathematical way of thinking.</p><p>　　Solving Problems by construction can be more intuitive and easier to solve complicated mathematical pro

5、blems.In view of this, This article focuses mainly in the construction method in solving problems. Specifically, this article focuses on the following issues: the definition of construction method, In Algebra: Constructi

6、on expression and formula, structural equation, structural relationship, constructors, construction proposition, construction sequence, structural model, structural vector, etc.</p><p>　　顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音</p&g

7、t;<p>　　字典 - 查看字典詳細內(nèi)容</p><p>　　顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p>　　字典 - 查看字典詳細內(nèi)容</p><p>　　【Key words】 Mathematical problem solving Construction method Math problems</p><

8、p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　一、引言2</b></p><p>　　二、構(gòu)造法的理論簡介2</p><p><b>　?。ㄒ唬?gòu)造法2</b></p><p>　?。ǘ?gòu)造法的歷史過程3</p><p>

9、;　?。ㄈ?gòu)造法的特征3</p><p>　　三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用4</p><p><b>　?。ㄒ唬?gòu)造函數(shù)4</b></p><p><b>　?。ǘ?gòu)造向量5</b></p><p><b>　?。ㄈ?gòu)造數(shù)列5</b></p><

10、p><b>　?。ㄋ模?gòu)造方程6</b></p><p>　　（五）構(gòu)造幾何模型7</p><p>　?。?gòu)造遞推關(guān)系式8</p><p>　?。ㄆ撸?gòu)造等價命題8</p><p><b>　　四、結(jié)束語9</b></p><p><b>　　參

11、考文獻：9</b></p><p><b>　　致謝：9</b></p><p>　　淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　學生姓名： 指導老師：</p><p><b>　　一、引言</b></p><p>　　數(shù)學思想

12、方法是解數(shù)學題的靈魂，構(gòu)造法作為一種傳統(tǒng)的數(shù)學思想方法，在數(shù)學產(chǎn)生時就存在。歷史上有不少數(shù)學家，如歐幾里得，歐拉，高斯，拉格朗日等人，都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學上的很多難題。</p><p>　　數(shù)學蘊含著豐富的美，構(gòu)造法則起到了錦上添花的作用，近幾年來，構(gòu)造法在中學數(shù)學中也有了很高的地位。利用構(gòu)造法解題需要有扎實的知識基礎(chǔ)，較強的觀察能力，創(chuàng)造思維和綜合運用能力等。</p><p>　　構(gòu)造

13、法反映了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性思維特點，我們所學的“構(gòu)造”并不是“胡思亂想”，不是隨便“編造”出來的，而是以我們所學習掌握的知識為背景，以具備的扎實的能力為基礎(chǔ)，通過仔細觀察，認真分析去發(fā)現(xiàn)問題的每一個環(huán)節(jié)以及他們的聯(lián)系，進而為尋求解題方法創(chuàng)造條件。在運用構(gòu)造法解題的步驟中，不僅可以鞏固學生的基本知識，還能培養(yǎng)學生觀察、分析、聯(lián)想、猜測等數(shù)學能力，激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維。所以在中學數(shù)學教學中，應(yīng)注重對學生運用構(gòu)造法解題的日常訓練，使學生體會數(shù)學

14、知識見的內(nèi)在聯(lián)系和相互的轉(zhuǎn)化歸結(jié)，能創(chuàng)造性的構(gòu)造數(shù)學模型，巧妙地解決問題，從而獲得學習的輕松感和愉悅感，體驗成功的感覺，培養(yǎng)與增強了學生學習數(shù)學的積極性，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)和能力。</p><p>　　二、構(gòu)造法的理論簡介</p><p><b>　　構(gòu)造法</b></p><p>　　所謂的構(gòu)造法，就是根據(jù)問題的有關(guān)信息，確定某種特定的映射

15、關(guān)系構(gòu)想出數(shù)學模型，將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)學模型的數(shù)理機制的研究，從而達到解題目的的一種化歸方法。</p><p>　　構(gòu)造法是解決各類數(shù)學題常用而且重要的方法之一，它在解決不同題目時的思考方式靈活。構(gòu)造的形式不盡相同，如何系統(tǒng)的理解和掌握構(gòu)造法及其構(gòu)造的思路對數(shù)學學習就顯得十分必要和重要。本文結(jié)合數(shù)學實際闡述了構(gòu)造法在數(shù)學教學應(yīng)用的重要性和必要性。</p><p>　　我們在解題過程中，出于某

16、種需要，要么把題設(shè)條件中的關(guān)系構(gòu)造出來，要么將關(guān)系設(shè)想在某個模型上得以實現(xiàn)，要么將已知條件經(jīng)過適當?shù)倪壿嫿M合而構(gòu)造出一種新的形式，從而使問題得以解決。在這種思維過程中，對已有的知識和方法采取分解、組合、變換、類比限定、推廣等手段進行思維的再創(chuàng)造，構(gòu)造新的式子或圖形來幫助解題的思想，我們稱之為構(gòu)造的思想。</p><p>　　構(gòu)造思想方法作為一種常用的數(shù)學思想方法，具有其自身獨特的顯著特征，主要表現(xiàn)在：構(gòu)造性、直觀

17、性、可行性、靈活性以及思維的多樣性。</p><p>　　構(gòu)造法的實質(zhì)是一句某些數(shù)學問題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學對象、一種新的數(shù)學形式；或者利用具體問題的特殊性，為待解決的問題設(shè)計一個合理的框架，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法。它的具體解題過程可以用下面的框架來表示：</p><p>　?。ǘ?gòu)造

18、法的歷史過程</p><p>　?。?） 構(gòu)造法與構(gòu)造主義</p><p>　　從數(shù)學產(chǎn)生的那天起，數(shù)學中的構(gòu)造性的方法也就伴隨著產(chǎn)生了。但是構(gòu)造性方法這個術(shù)語的提出，以至把這個方法推向極端，并致力于這個方法的研究，是與數(shù)學基礎(chǔ)的直覺派有關(guān)。直覺派處于對數(shù)學的可信性的考慮，提出一個著名的口號：“存在必須是被構(gòu)造?！边@就是構(gòu)造主義。</p><p><b>

19、　　（2）直覺數(shù)學階段</b></p><p>　　直覺派的先驅(qū)者是19世紀末德國的克隆尼克，他明確提出并強調(diào)了能行性，主張沒有能行性就不得不承認它的存在性。</p><p>　　他在數(shù)學工作中的立場是：第一，認為數(shù)學的出發(fā)點不是集合論，而是自然數(shù)論。第二，否認傳統(tǒng)邏輯的普遍有效性而重建直覺派邏輯。第三，批判傳統(tǒng)數(shù)學缺乏構(gòu)造性，創(chuàng)立具有構(gòu)造性的“直覺數(shù)學”。</p>

20、<p><b>　　（3）算法數(shù)學階段</b></p><p>　　“發(fā)現(xiàn)集合論悖論以后，有些數(shù)學家認定了解決這些悖論引起的問題的唯一徹底的方法就是把所有的一般集合論概念都叢數(shù)學中排除掉，只限于研究那些可以能行的定義或構(gòu)造的對象”這就是布勞威創(chuàng)立直覺數(shù)學的想法。由于馬爾科夫的工作，使構(gòu)造性方法進入了“算法數(shù)學”的階段。</p><p>　?。?）現(xiàn)代構(gòu)造

21、數(shù)學階段</p><p>　　1967年，比肖泊的書出版以后，宣告了構(gòu)造法進入“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學”階段。比肖泊通過重建現(xiàn)代分析的一個重要部分，重新激發(fā)了構(gòu)造法的活力。他研究的課題廣及測度論、對偶理論、泛函微積。</p><p><b>　　（三）構(gòu)造法的特征</b></p><p>　　運用構(gòu)造法解決問題有以下特點：</p><

22、p>　?。?）構(gòu)造法是通過構(gòu)造一個輔助問題而使原問題得到轉(zhuǎn)化。</p><p>　?。?）構(gòu)造法解決問題的步驟比較直觀。</p><p>　?。?）構(gòu)造法解決問題有非常大的靈活性．針對某一具體問題，怎樣去進行構(gòu)造。這與學生的數(shù)學基本功和解題經(jīng)驗都密切相關(guān)。</p><p>　　當我們遇到復雜的數(shù)學問題或?qū)嶋H問題而無從下手解決時，如果我們恰到好處的構(gòu)造出一個數(shù)學

23、模型來，便會有種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。</p><p>　　三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實現(xiàn)數(shù)學從常量到變量的這個認識上的飛躍。很多數(shù)學命題繁冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。</p><p><b>　　（一）構(gòu)造函數(shù)</b></p

24、><p>　　函數(shù)是高中數(shù)學教學的核心，是解決初等數(shù)學問題的根本出發(fā)點，利用函數(shù)的性質(zhì)，將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解，是一種常見、并且非常有效的做法。</p><p><b>　　例1：若，</b></p><p><b>　　證明： 。 </b></p><p>　　分析：這三個分式的結(jié)構(gòu)類似，可以看

25、作是函數(shù)在對應(yīng)點處的值。所以構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，圖象是雙曲線，直線和是該雙曲線的漸近線，利用函數(shù)的單調(diào)性有：</p><p><b>　　例2：解方程</b></p><p>　　分析：通過觀察方程可知方程的特點，并構(gòu)造函數(shù)。</p><p>　　為奇函數(shù)。由原方程可知，</p><p>　　即，又有為單調(diào)遞增函

26、數(shù)，所以，原方程得解。</p><p><b>　　（二）構(gòu)造向量</b></p><p>　　平面向量是高中數(shù)學教學中非常重要的教學工具，它不僅反映數(shù)量關(guān)系，而且體現(xiàn)位置關(guān)系，所以充分利用向量模型可以解決代數(shù)，幾何以及三角等數(shù)學問題，實現(xiàn)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，其解題思路簡單，尤其是對幾何問題，效果相當顯著。</p><p>　　例3：求函數(shù)的最大

27、值。</p><p>　　解：構(gòu)造向量a=(2,2),b=,于是，</p><p>　　當且僅當，即，所以時，等號成立。</p><p>　　時，取得最大值4。</p><p>　　例4：已知為正數(shù)，求函數(shù)的最小值。</p><p>　　解：構(gòu)造向量，原函數(shù)則化為：</p><p><b

28、>　?。ㄈ?gòu)造數(shù)列</b></p><p>　　在解決許多數(shù)學問題尤其是不等式證明題中，通常可以構(gòu)造一個數(shù)列，利用數(shù)列的性質(zhì)（如單調(diào)性）和數(shù)列的求和運算來解題，很有實用價值。</p><p><b>　　例5：證明：</b></p><p>　　分析：此題若直接證明，比較有難度，如果構(gòu)造數(shù)列</p><p

29、><b>　　，</b></p><p>　　利用平均值不等式，所以，顯然成立。</p><p><b>　　例6：求證 。</b></p><p>　　證明：構(gòu)造數(shù)列，所以只要證明即可。</p><p><b>　?。?）</b></p><p>

30、;<b>　?。?）假設(shè)，則</b></p><p>　　綜上可知，原式對一切均成立。</p><p><b>　?。ㄋ模?gòu)造方程</b></p><p>　　方程是解數(shù)學題的一個重要工具，對于很多數(shù)學問題，根據(jù)其已知條件，數(shù)量關(guān)系構(gòu)造出與結(jié)論相關(guān)的輔助方程，在已知與未知之間搭起橋梁，通過對輔助方程及方程的性質(zhì)（比如求根、

31、找根與系數(shù)的關(guān)系、找判別式）的研究，來解決原問題，使解答簡潔、合理。</p><p>　　例7：已知為互不相等的實數(shù)，</p><p>　　試證 （1）</p><p>　　證明：構(gòu)造方程 （2）</p><p>　　顯然，為方程的三個互不相等的實根。&

32、lt;/p><p>　　任意實數(shù)均滿足（2）式，特別的，令，即得（1）式</p><p>　　例8：已知，求的值。</p><p>　　解：（1）當時，由有</p><p><b>　　所以 ，則</b></p><p>　?。?）當時，由已知條件構(gòu)造輔助方程，那么就是該輔助方程的兩個根，根據(jù)韋達定理

33、可得：，所以.</p><p><b>　?。ㄎ澹?gòu)造幾何模型</b></p><p>　　如果原問題的已知條件中，數(shù)量關(guān)系有比較明顯的幾何意義或者是以某一種形式可以和幾何圖形建立聯(lián)系，那么我們就可以通過幾何作圖來構(gòu)造圖形，在圖形中展現(xiàn)已知條件和數(shù)量關(guān)系，然后在構(gòu)造出的圖形中找到原問題的結(jié)論。</p><p>　　構(gòu)造幾何模型，可以使題目更加直

34、觀。</p><p><b>　　例9：試證</b></p><p>　　分析：由隱含條件可知和的形式考慮到可以構(gòu)造一個直角三角形，使 ,顯然 </p><p><b>　　C</b></p><p>　　A　　　　　　　　　B</p><p&

35、gt;　　例10：對于正數(shù)，若，求證</p><p>　　分析：這是一個不等式問題，我們很容易想到它的代數(shù)式解法，即由等式 </p><p><b>　　來證明。</b></p><p>　　但是另外一種方法更加簡單，結(jié)論非常直觀——構(gòu)造圖形來解答。</p&g

36、t;<p>　　構(gòu)造邊長為的正方形，且令 ； </p><p>　　并作出相應(yīng)的矩形（1）（2）（3），由，就有了。</p><p>　　D　　　F　　　　　　C　</p><p><b>　　G</b></p>

37、<p><b>　　E</b></p><p>　　A　　　 H 　　　　　 B</p><p><b>　　H</b></p><p>　?。?gòu)造遞推關(guān)系式</p><p>　　根據(jù)函數(shù)方程和遞推關(guān)系式之間的關(guān)系，根據(jù)已知條件、各種公式定理以及相應(yīng)的運算法則，構(gòu)造一個遞推關(guān)系式，能產(chǎn)

38、生意想不到的效果。</p><p>　　例11：設(shè)是方程的兩根，試求的值。</p><p><b>　　分析：令，由，可知</b></p><p>　　重復迭代，就可算出任意的值，這里，</p><p><b>　?。ㄆ撸?gòu)造等價命題</b></p><p>　　命題的表達方

39、式大多抽象復雜，如果直接論證比較困難時，可以構(gòu)造一個表達方式較為通俗明了，而且和原命題等價的新命題（比如構(gòu)造原命題的逆否命題），這樣就達到了很好的效果。</p><p>　　例12：設(shè)是兩個實數(shù),</p><p><b>　　，</b></p><p>　　是坐標平面內(nèi)的點集，那么是否存在實數(shù)使得同時成立。</p><p&g

40、t;　　分析：由可知存在整數(shù)，使得，由則，</p><p>　　所以原命題等價于新命題：討論關(guān)于的方程組是否有實數(shù)解。</p><p>　　所以不存在實數(shù)使得原命題中（1）（2）同時成立。</p><p><b>　　四、結(jié)束語</b></p><p>　　對于構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用，除了以上所列舉的這些以外，我們還需要加

41、強這方面的補充和完善，對其進行深入和廣泛的研究，將構(gòu)造法應(yīng)用于更多的數(shù)學題中。數(shù)學的發(fā)展離不開大膽的創(chuàng)新與嚴謹?shù)奶剿?，只有這樣，才能為迅速發(fā)展的數(shù)學和其他學科領(lǐng)域提供更好的幫助和服務(wù)。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]高桐樂 數(shù)學解題中的基本模型構(gòu)造（第二版） 1989（11）.</p><p>　　

42、[2]閔嗣鶴 嚴士健 初等數(shù)論2003.</p><p>　　[3]張同君 陳傳理 競賽數(shù)學解題研究[M].高等教育出版社 2005.11 </p><p>　　[4]陳自強 數(shù)學解題思維方法導引[M].中南工業(yè)大學出版社 1995.6</p><p>　　[5]王子興 數(shù)學教學論[M].廣西師范大學出版社 1992.1</p><p&

43、gt;　　[6]侯敏義 數(shù)學思維數(shù)學方法論 東北師范大學出版社.1991</p><p><b>　　致謝：</b></p><p>　　經(jīng)過一個階段的努力，本次畢業(yè)論文即將接近尾聲。論文寫作是一個系統(tǒng)再學習的過程，在知識與思想上，都使我受益匪淺。在寫作中，我也遇到了一些困難，感謝指導老師以及同學們的支持與幫助。</p><p>　　在本次