數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文---構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

1、<p>　　構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　摘要：構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)解題的一種重要的思想方法，它最大的特點(diǎn)是創(chuàng)造性地使用已知條件；實(shí)質(zhì)就是依據(jù)某些數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對象，一種新的數(shù)學(xué)形式。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富并且沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛的普遍性和特殊性的實(shí)際問題為基礎(chǔ)，針對具體問

2、題所呈現(xiàn)出的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決問題的辦法，在數(shù)學(xué)解題尤其是高等數(shù)學(xué)解題中有著極其廣泛的應(yīng)用。本文主要基于構(gòu)造法的相關(guān)理論探討它在解決數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；解題；應(yīng)用.</p><p>　　0 引言:在數(shù)學(xué)解題過程中，若按習(xí)慣性定勢思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，我們可以根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己的思維范圍。所

3、謂“構(gòu)造法”就是根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)，用已知條件中的元素和關(guān)系式構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)形式，如方程，函數(shù)，圖形等，以找到一條繞過障礙的新途徑，從而使問題得到解決的這樣一種方法。</p><p>　　構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它的最大特點(diǎn)是創(chuàng)造性地使用已知條件。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富并且沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛的普遍性和特殊性的實(shí)際問題為基礎(chǔ)，針對具體問題所呈現(xiàn)出的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決問題的辦法，在數(shù)學(xué)解

4、題尤其是高等數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用。本文主要基于構(gòu)造法的相關(guān)理論探討它在解決數(shù)學(xué)分析、幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。</p><p>　　用構(gòu)造法處理問題時(shí)，“構(gòu)造物”的表現(xiàn)形式是多種多樣的：有的是溝通問題條件和結(jié)論的“輔助元素”；有的是問題結(jié)論所敘述的數(shù)學(xué)對象；有的是從問題的結(jié)論出發(fā)，從而得出“矛盾”。因此，構(gòu)造法在求解數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的問題中有著廣泛的應(yīng)用。</p>

5、<p>　　在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化的過程中，為使問題的條件和結(jié)論能互相銜接起來，常常需要添加一些題目所給的以外的其它數(shù)學(xué)對象才能達(dá)到目的，這些已知條件以外的數(shù)學(xué)對象就是我們需要構(gòu)造的輔助元素。在解決高等數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過構(gòu)造輔助元素而獲解的問題極為普遍，常見的有構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造級數(shù)、構(gòu)造積分式、構(gòu)造圖形、構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造代數(shù)式、構(gòu)造輔助線等。</p><p>　　1 構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)分析問題中的應(yīng)用&

6、lt;/p><p><b>　　1.1 構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　函數(shù)在我們整個中學(xué)數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位,學(xué)生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇熟悉的內(nèi)容來解決高等數(shù)學(xué)中的問題,既可以訓(xùn)練人的思維,同時(shí)也增強(qiáng)了思維的靈活性、開拓性和創(chuàng)造性。所謂的構(gòu)造函數(shù)指的是由問題的條件及所給的數(shù)量關(guān)系為對象，構(gòu)想、組合一種新的關(guān)系，使問題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化而獲得解決。構(gòu)

7、造函數(shù)是比較抽象的構(gòu)造性思維，除對問題條件特點(diǎn)分析之外，還要求熟悉典型的函數(shù)及其特性。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析（上冊 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編）教材中，拉格朗日中值定理的證明就是典型的構(gòu)造函數(shù)的例子：</p><p>　　例1.若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　?。?）在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　?。?）在開區(qū)間上

8、可導(dǎo)；</p><p>　　則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.</p><p>　　證 不難看到，當(dāng)時(shí)，拉格朗日定理就成為了羅爾定理，也就是說羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況。為了應(yīng)用特殊的羅爾定理證明一般的拉格朗日定理，需要作一個輔助函數(shù)，使它滿足羅爾定理的條件，由平面解析幾何知，通過兩點(diǎn)與的割線方程是</p><p>　　設(shè)輔助函數(shù)是函數(shù)與割線的方程之差，即&l

9、t;/p><p>　　不難驗(yàn)證在上滿足羅爾定理的條件，也就是說在里存在一點(diǎn)，使得</p><p>　　從而有 . 故得證。</p><p>　　上例中的就是構(gòu)造出來的輔助函數(shù)，利用它可以運(yùn)用羅爾定理使拉格朗日中值定理得到直觀而有效的證明。</p>&

10、lt;p>　　理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個認(rèn)識上的飛躍。很多數(shù)學(xué)命題繁冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。</p><p><b>　　1.2 構(gòu)造級數(shù)</b></p><p>　　級數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、積分等諸多知識密切地聯(lián)系在一起。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出一個級數(shù), 然后依據(jù)級數(shù)

11、的理論, 使問題在新的關(guān)系下達(dá)到轉(zhuǎn)化而獲解。下面就是一個構(gòu)造級數(shù)的例子：</p><p>　　例2.設(shè)的定義如下：，，，求.</p><p>　　解 構(gòu)造級數(shù)（設(shè)），具體的寫出如下：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p&g

12、t;<b>　　，</b></p><p><b>　　……，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　……，</b></p><p><b>　　因此</b></p><p&g

13、t;　　上例中的級數(shù)就是構(gòu)造的級數(shù)，通過合適的構(gòu)造，使原問題變得簡單更易求。</p><p>　　1.3 構(gòu)造積分式</p><p>　　通過構(gòu)造積分式，利用積分的概念和性質(zhì)，把級數(shù)求和問題轉(zhuǎn)化成為定積分問題或用于計(jì)算積分等，常常都能達(dá)到化難為易、化繁為簡的效果。</p><p><b>　　例3.計(jì)算.</b></p><

14、;p>　　解 構(gòu)造積分式，于是</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，是收斂的，且當(dāng)時(shí)，，</p><p><b>　　所以在上一致收斂。</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　上例就

15、是構(gòu)造了一個積分式，從而避免了復(fù)雜的計(jì)算過程。</p><p>　　一般地, 對于定積分，想辦法引入一個在矩形區(qū)域， 上連續(xù)的函數(shù)使得，于是。如果比較容易計(jì)算, 那么由計(jì)算就可以得到定積分的值。</p><p>　　1.4 構(gòu)造輔助線</p><p>　　實(shí)際上，在不定積分的求解過程中，通過從圖形中構(gòu)造輔助線也可以讓問題轉(zhuǎn)化。下面來看一個例子：</p>

16、<p>　　例4.計(jì)算，其中由和所圍成的閉區(qū)域。</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　解析 觀察被積函數(shù)和積分域的特點(diǎn)，引入輔助線，該線將分為和，如上圖所示。而關(guān)于軸對稱并且為關(guān)于的奇函數(shù)；而關(guān)于軸對稱并且是關(guān)于的奇函數(shù)，所以</p><p>　　本例通過做輔助線使得問題順利解答。</p>

17、<p>　　2 構(gòu)造法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用</p><p><b>　　2.1 構(gòu)造圖形</b></p><p>　　華羅庚曾說過“數(shù)離開形少直觀,形離開數(shù)難入微”,利用數(shù)形結(jié)合的思想,可溝通代數(shù)與幾何的關(guān)系,使得難題巧解。</p><p>　　所謂構(gòu)造圖形指的是如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形

18、建立聯(lián)系，則可通過幾何作圖構(gòu)造圖形，將題設(shè)條件及其數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到實(shí)現(xiàn)，然后在構(gòu)造的圖形中尋求原問題的結(jié)論。</p><p>　　例5.已知,,均在內(nèi)，求證：.</p><p>　　證 構(gòu)造一個邊長為1的正三角形，，，分別是，，上的點(diǎn)，使，，，顯然，，,從而，，，則</p><p><b>　　圖2</b></p>&l

19、t;p><b>　　由圖2可知：，即。</b></p><p>　　上例中構(gòu)造了一個三角形，然后很直觀的利用幾何圖形，把數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換成形的問題，使其直觀化。解題時(shí)要觀形思數(shù)，由數(shù)想形。</p><p>　　2.2 構(gòu)造復(fù)數(shù) </p><p>　　復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的延伸，一些難以解決的實(shí)數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題。雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會變復(fù)雜，但常使

20、問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。</p><p><b>　　例6.求證：</b></p><p>　　證 從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)， ， ， 模的和，又注意到，于是由 可得</p><p>　　例6中就是構(gòu)造了復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，讓原問題輕松化解。</p><p>　　2

21、.3 構(gòu)造線性方程組</p><p>　　例7.計(jì)算行列式的值.</p><p>　　解 構(gòu)造線性方程組 （1）</p><p>　　則當(dāng)中有兩個相等時(shí)，；當(dāng)互不相等時(shí)，由行列式可知：方程組有唯一解。其中 （2）</p><p>　　再做次方程 （3）</p>&l

22、t;p>　　由（1）知（3）存在個不同的根，由韋達(dá)定理知：</p><p><b>　　故</b></p><p>　　3 構(gòu)造法在解決幾何問題中的應(yīng)用</p><p>　　3.1 構(gòu)造多元函數(shù)</p><p>　　在幾何問題中,我們往往會遇到求夾角的最小(大)值和求線段的最短(長)距離等問題,如果僅僅從幾何方

23、面去思考,往往使問題難以解決,倘若能夠靈活地運(yùn)用構(gòu)造法,問題則會趨于簡單。</p><p>　　例8.拋物面被平面截成一橢圓,求原點(diǎn)到橢圓的最長與最短距離.</p><p>　　解 設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，依題意有，</p><p>　　而且有，利用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造一個拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　?。榇ǔ?shù)）<

24、;/b></p><p><b>　　由方程組 解得</b></p><p>　　分別得到可能的極點(diǎn)為</p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　分別代入中有，</b></p><p>　　所以原點(diǎn)到橢圓的最短距離為，

25、最長距離為.</p><p><b>　　3.2 構(gòu)造復(fù)數(shù)</b></p><p>　　例9.已知雙曲線：和點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動，以為邊作正三角形，如圖3所示，且三點(diǎn)按逆時(shí)針排列，求點(diǎn)的軌跡.</p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　分析 此題如果按常用的求軌跡的方法

26、去求解，計(jì)算量相當(dāng)大。注意到可由按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，所以我們應(yīng)該想到將坐標(biāo)平面看作復(fù)平面，利用復(fù)數(shù)的相關(guān)幾何意義來求解。</p><p>　　解 根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線的復(fù)數(shù)方程為： （1）</p><p>　　設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為,又點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，于是，.</p><p><b>　　由</b></p>&l

27、t;p>　　可得 （2）</p><p>　　又點(diǎn)在雙曲線上，將（2）代入（1），整理的</p><p>　　所以點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長軸長為8的雙曲線的右支.</p><p>　　4 構(gòu)造法在解決三角函數(shù)問題中的應(yīng)用</p><p><b>　　4.1 構(gòu)造方程</b>&l

28、t;/p><p>　　例10.已知銳角滿足，</p><p><b>　　求證：.</b></p><p>　　證 已知條件可視為關(guān)于的一元二次方程，由題意可得：</p><p>　　由 </p><p>　　因?yàn)槭卿J角，所以也均為銳角，由一元二次方程求根公式得：</p>

29、<p>　　又則，再由，則有，故</p><p><b>　　4.2 構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　例11.在斜中，證明.</p><p><b>　　證 構(gòu)造函數(shù)</b></p><p><b>　　則</b></p><p>

30、;　　又因?yàn)樵谥?，，所以，?lt;/p><p>　　而，所以在上單調(diào)遞減</p><p>　　因此，在上恒有.又因?yàn)樵谥校?故，即</p><p><b>　　整理得：，故得證。</b></p><p>　　4.3 構(gòu)造不等式</p><p>　　例12.設(shè)是銳角，且滿足，求證：</p>

31、;<p><b>　　.</b></p><p>　　證 因?yàn)槭卿J角，則均大于0</p><p><b>　　所以 ①</b></p><p>　　同理得 ②</p><p><b>　　由①+②得，</b></p>

32、;<p>　　即得，于是①，②等號同時(shí)成立</p><p><b>　　即有且，所以有且</b></p><p>　　從而有，所以，故得證。</p><p><b>　　4.4 構(gòu)造復(fù)數(shù)</b></p><p><b>　　例13.已知，求.</b></p

33、><p>　　解 構(gòu)造復(fù)數(shù)，則 ①</p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　又所以，代入①式則</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　又所以</b></

34、p><p><b>　　因此，</b></p><p>　　由此可知，作為數(shù)學(xué)中解決問題的主要方法之一，構(gòu)造法具有以下三個特點(diǎn)：在構(gòu)造性思維過程中，常常要伴隨觀察、分析、綜合、聯(lián)想、猜想等思維活動而進(jìn)行；構(gòu)造性思維有時(shí)體現(xiàn)在解決問題的全過程中，也有時(shí)體現(xiàn)在解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)或步驟中；在構(gòu)造的“框架”上，必須在有限的步驟內(nèi)能具體實(shí)現(xiàn)。</p><p>

35、;<b>　　5 結(jié)語</b></p><p>　　構(gòu)造法的應(yīng)用還有許多，須針對不同的數(shù)學(xué)問題靈活采用其相應(yīng)的構(gòu)造法，這里不能一一枚舉，但通過以上幾例可見，構(gòu)造法在解題應(yīng)用中不但具有把問題由繁化簡，由難化易，由抽象化具體的轉(zhuǎn)化之功能，而且還具有保證解答正確的“保險(xiǎn)”之功能，因此構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)用甚廣的一種方法。在解決數(shù)學(xué)問題中若能巧妙恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用構(gòu)造法，則可以達(dá)到事半功倍的效果。<

36、;/p><p>　　最后，特別感謝應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院副教授xx對本論文耐心的指導(dǎo)，新銳的啟發(fā)，認(rèn)真的審閱。感謝您在百忙之中對本畢業(yè)論文從選題到寫作再到最后定稿所付出的辛勞！在此向xx表示深深的感謝和崇高的敬意！</p><p><b>　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社，2001；<

37、/p><p>　　[2]章士藻著，《中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)》，江蘇教育出版社，2004；</p><p>　　[3]章樂瑞、郝炳新著，《高等代數(shù)》，高等教育出版社，2003；</p><p>　　[4]李師正、張玉芬、李桂榮，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2008；</p><p>　　[5]王向東,賈士代，《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)用解題方法與技巧》，

38、兵器工業(yè)出版社，1989；</p><p>　　[6]沈國倉，略談構(gòu)造法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999,(1):15-19；</p><p>　　[7]錢昌本，《高等數(shù)學(xué)解題過程的分析和研究》，科學(xué)出版社，2002,77-94；</p><p>　　[8]侯敏義，《數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)方法論》，東北師范大學(xué)出版社，1991，209-224；</p>

39、;<p>　　[9]?？∮?，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課指導(dǎo)書》，高等教育出版社1991，259-175；</p><p>　　[10]楊麥秀，構(gòu)造法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，太原師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2001年,第2期:84—86；</p><p>　　[11]黃斌、楊錦偉，函數(shù)構(gòu)造法在解行列式求解中的應(yīng)用舉例，平頂山工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008年5月,第17卷第3期:47—50；</p>

40、<p>　　[12]黃善德，淺談構(gòu)造法在解三角題中的應(yīng)用，四川教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005年4月,第21卷第4期：31—32；</p><p>　　Application of Construction Method in Solving Problems</p><p>　　Abstract: As an important method of mathematical think

41、ing, construction method features in the creative use of the known conditions. The essence of the this method is to construct in the mind a relevant mathematical object ---a new kind of mathematical form on the basis of

42、the conditions or conclusions of some mathematical problems, by using the elements in the known conditions as components and the known mathematical conditions as support. Construction method is very rich in meaning, whic