畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用

1、<p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1引言1</b></p><p>　　2.方程的發(fā)展歷程及其思想價(jià)值2</p><p>　　2.1方程發(fā)展簡(jiǎn)史2</p><p>　　2.2方程思想中的教育價(jià)值4</p><p>　　2.3方程思

2、想與中學(xué)數(shù)學(xué)的密切關(guān)系5</p><p>　　3.方程思想的運(yùn)用6</p><p>　　3.1 運(yùn)用方程思想解代數(shù)題6</p><p>　　3.2運(yùn)用方程思想解幾何題7</p><p>　　3.2.1用方程思想解常見中考幾何題8</p><p>　　3.2.2運(yùn)用方程思想解答高考題中曲線方程問題9</

3、p><p>　　3.3運(yùn)用方程思想解函數(shù)題15</p><p>　　3.3.1方程思想在高考題中的應(yīng)用15</p><p>　　3.3.2方程思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用17</p><p>　　3.4運(yùn)用函數(shù)方程思想解函數(shù)題17</p><p>　　3.4.1函數(shù)方程的幾種解法17</p><p&

4、gt;　　3.4.2幾個(gè)重要的二元函數(shù)方程18</p><p>　　3.5運(yùn)用方程思想解決最值問題20</p><p>　　3.6微分線性方程思想求解矩陣的特征值和特征向量21</p><p><b>　　4.結(jié)束語(yǔ)22</b></p><p><b>　　致謝辭23</b></p&

5、gt;<p><b>　　參考文獻(xiàn)23</b></p><p>　　方程思想探究及其解題妙用</p><p>　　摘要：本文首先介紹方程的歷史發(fā)展及其思想價(jià)值，然后研究方程思想的運(yùn)用，運(yùn)用包括：方程思想在代數(shù)、幾何（中考、高考）、函數(shù)（一般函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)方程）、最值問題、特征值特征向量方面的解題應(yīng)用，揭示了方程思想在中學(xué)甚至大學(xué)數(shù)學(xué)解題中的重要地

6、位及其運(yùn)用.</p><p>　　關(guān)鍵詞：方程思想 ；解題；中考題；高考題 </p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　長(zhǎng)期以來(lái), 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育只注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的傳授, 忽視了知識(shí)發(fā)生過(guò)程中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué), 這有悖于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)客觀規(guī)律.數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更具有普遍性,在學(xué)生未來(lái)工作和生活中有更加廣泛的

7、應(yīng)用.正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育之后所說(shuō)的一句話: “學(xué)生們?cè)谥袑W(xué)所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)在進(jìn)入社會(huì)之后幾乎沒什么機(jī)會(huì)應(yīng)用, 因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)通常在出校門之后一兩年就忘了, 然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作, 那種銘刻于腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長(zhǎng)期地在他們工作和生活中發(fā)揮著作用.”</p><p>　　方程思想，顧名思義，也就是具有方程的思想，要了解方程思想，首先要知道什么是方程.目前中學(xué)數(shù)學(xué)

8、教科書中通用的方程定義是：含有未知數(shù)的等式.但是，形如，之類的等式難以界定. 給出一個(gè)可以取代的定義：方程是為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系.好處在于：</p><p>　　①它揭示了方程這一數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)：為了求未知數(shù)； </p><p>　　②陳述了“已知數(shù)”的存在，解方程需要充分利用已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系； </p><p>　?、鄯?/p>

9、程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個(gè)等式關(guān)系. </p><p>　　在高等數(shù)學(xué)中方程的定義：形如的等式叫做方程，其中，是在它們定義域的交集內(nèi)研究的兩個(gè)解析式，且至少有一個(gè)不是常函數(shù).</p><p>　　陳重穆教授指出，方程的邏輯定義不必深究，到時(shí)關(guān)于未知數(shù)的思想，需要特別關(guān)注，即幫助學(xué)生樹立方程的思想.方程和方程思想是有區(qū)別的，方程屬于知識(shí)體系，方程思想屬于思維體系.方程思想是對(duì)方程知識(shí)的全

10、面升華，是充滿活力的方程知識(shí)的體現(xiàn).那究竟什么是方程思想呢？</p><p>　　在《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于方程思想闡述了這樣一個(gè)觀點(diǎn)：（1）方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型；（2）方程沒有一般解法；（3）特殊方程用特殊解法.張奠宙顯示曾經(jīng)指出方程思想在于“方程思想是一座橋梁，一座聯(lián)系已知和未知的橋梁.”總的來(lái)說(shuō)對(duì)問題中數(shù)量關(guān)系的分析入手，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，使問題獲解的思想方法，稱為方程思想.</p&

11、gt;<p>　　2.方程的發(fā)展歷程及其思想價(jià)值</p><p><b>　　2.1方程發(fā)展簡(jiǎn)史</b></p><p>　　任何事物的發(fā)展都有一個(gè)過(guò)程,人類對(duì)方程的研究也經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月.</p><p>　　公元前2000年-公元前1700年,古埃及——紙草上的方程(如《蘭德紙草書》、《柏林紙草書》等)中就已經(jīng)用“試位法”精確

12、地得到一元一次方程的解,但對(duì)于二次以上的方程,這種方法只能給出近似解.</p><p>　　公元前2000年左右,古巴比倫人就已經(jīng)掌握了解一些一元二次方程的方法希臘數(shù)學(xué)家丟番圖《算術(shù)》中，討論了一次方程、二次方程和個(gè)別三次方程，還討論了大量的不定方程.印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在《阿耶波多歷數(shù)書》中給出了二次方程的求解方法.婆羅摩笈多在公元628年完成的《婆羅摩笈多修正體系》一書中，也給出了一般二次方程的求根公式. 花拉

13、子米的《代數(shù)學(xué)》一開頭就指出：下列的問題，都是由根、平方與數(shù)這三樣?xùn)|西組成的.該書給出了六種類型一、二次方程，分六章來(lái)敘述. </p><p>　　中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“方程”章，包含了很多關(guān)于方程的問題.“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗.問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)的符號(hào)，而

14、是用算籌將的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)（長(zhǎng)）方陣，這就是“方程”之一名稱的來(lái)源. 采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組、用直除法解線性方程組這是世界上最早的完整的線性方程組的解法,西方直到十七世紀(jì)才由萊布尼茲提出了許多隱含了函數(shù)與方程思想的著名趣題,如“五家共井”(“方程”章第十三題)、“百雞問題”(《張丘建算經(jīng)》下卷第三十八題)、“韓信點(diǎn)兵——孫子問題”(《孫子算經(jīng)》)等在民間傳說(shuō)著公元3世紀(jì),趙爽的《勾股圓方圖說(shuō)》給出了形如的二次方程的求

15、解步驟.</p><p>　　公元7世紀(jì)王孝通的《緝古算經(jīng)》中解決了不少三次方程求解的實(shí)際問題 公元13世紀(jì)的中國(guó)，在求高次方程數(shù)值解，以及解高次聯(lián)立方程上有重大貢獻(xiàn).1247年，秦九昭給出了一般高次方程的數(shù)值解法.李冶創(chuàng)立的“天元術(shù)”（1248年）和朱世杰使用的“四元術(shù)”（1303年）能夠求解一大類的高次聯(lián)立方程.16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程和四次方程的求根公

16、式</p><p>　　16世紀(jì),方程解法有了重大的突破,費(fèi)羅和塔塔利亞分別在1515年和1535年給出了三次方程的代數(shù)解法1545年，卡爾丹在《大衍術(shù)》中給出了三次方程和四次方程的解法.三次方程的解法，實(shí)質(zhì)是考慮恒等式，若選取，使得 ,</p><p>　　不難解出，,，于是得到就是所求的x，后人稱之為卡爾丹公式.</p><p>　　此后很長(zhǎng)的一段時(shí)期里,人們

17、幵始討論一般的五次方程的解法,歐拉和拉格朗日都進(jìn)行了嘗試,但都以失敗告終直到19世紀(jì),魯菲尼和阿貝爾都證明一般的五次及以上的方程沒有求根公式.</p><p>　　2.2方程思想中的教育價(jià)值</p><p>　　幫助學(xué)生樹立方程的思想，是數(shù)學(xué)“雙基”的重要內(nèi)容，不可忽視.以下是一個(gè)真實(shí)的例子.</p><p>　　20世紀(jì)70年代，上海第51中學(xué)的一位畢業(yè)生到和平飯

18、店擔(dān)任電工.工作中，他發(fā)現(xiàn)12樓客房的室溫，和地下室設(shè)定的文檔有差異.細(xì)究原因，乃是連接地下室和12樓空調(diào)器的三根導(dǎo)線不一樣長(zhǎng)，于是電阻也不同.那么如何測(cè)這三根電線的電阻？用萬(wàn)能表肯定不行.于是這位電工想到了數(shù)學(xué)，想到了方程.</p><p>　　盡管單根電線的電阻很難預(yù)測(cè)知，但是12樓上兩根電線連接起來(lái)，在地下室測(cè)量?jī)筛娋€的電阻卻是輕而易舉的.于是，他列出了以下的方程</p><p>

19、　　╱╱╱ </p><p>　　х У Ζ </p><p>　　解這樣的聯(lián)立方程是每個(gè)初中生都會(huì)做的，但是能夠在測(cè)量電阻時(shí)想到運(yùn)用方程思想求未知數(shù)，卻是很不容易的.這也是為什么要培養(yǎng)初中生方程思想的原因了</p><p>　　韋達(dá)在他的5分析方法入門6(巧91

20、)著作中,首次系統(tǒng)地使用了符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算,提出符號(hào)運(yùn)算與數(shù)的區(qū)別,規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界"韋達(dá)是第一個(gè)試圖創(chuàng)立一般符號(hào)代數(shù)的的數(shù)學(xué)家,他開創(chuàng)的符號(hào)代數(shù),在17世紀(jì)經(jīng)笛卡爾改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式笛卡爾用小寫字母a,b,C等表示己知量,而用x,y,z代表未知量這種用法己經(jīng)成為當(dāng)今的標(biāo)準(zhǔn)用法,它為方程理論的現(xiàn)代化奠定了基礎(chǔ).</p><p>　　同時(shí),笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中還提出了一種解決

21、一切問題的“萬(wàn)能方法”,其模式是:</p><p>　　(1)把任何種類的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;</p><p>　　(2)把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;</p><p>　　(3)把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題"</p><p>　　然后討論方程(組)的問題,得到解之后再對(duì)解進(jìn)行解釋就可以了"</p&

22、gt;<p>　　這一模式現(xiàn)在看來(lái)雖不能說(shuō)是萬(wàn)能,但在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)確有廣泛的應(yīng)用"</p><p>　　其中,“把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題”蘊(yùn)含了設(shè)未知數(shù)的思想,然后再“把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題”,因此這種數(shù)學(xué)思想可看成是方程的思想方法.</p><p>　　學(xué)生學(xué)習(xí)方程的意義在于：一是學(xué)習(xí)在生活中從錯(cuò)綜復(fù)雜的事情中將 最本質(zhì)的東西抽象出來(lái)

23、,這個(gè)過(guò)程是非常難的,也很有訓(xùn)練的價(jià)值;二是在運(yùn)算 中遵循最佳的途徑,將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,這種優(yōu)化思想對(duì)人的思維習(xí)慣的影響是深遠(yuǎn) .在中小學(xué)數(shù)學(xué)中最害怕將方程間題形式化.希爾伯特的形式化對(duì)數(shù)學(xué)有很大的貢獻(xiàn),但是,在中學(xué)時(shí)期,過(guò)早地形式化、過(guò)度形式化對(duì)學(xué)生害大于益!</p><p>　　方程思想包含三層意思:數(shù)與符號(hào)的統(tǒng)一關(guān)系的思想;用方程的觀念考察和解決其它知識(shí)領(lǐng)域的相關(guān)問題的思想;從其它知識(shí)體系中提取方程問題的

24、思想.中學(xué)生掌握一定的方程思想是時(shí)代的需要也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要.中學(xué)生掌握一定的方程思想是對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)文明的發(fā)展和繼承,具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.</p><p>　　2.3方程思想與中學(xué)數(shù)學(xué)的密切關(guān)系</p><p>　　高中階段對(duì)方程學(xué)習(xí)有較高的要求，無(wú)論是領(lǐng)會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系還是代數(shù)方程與幾何學(xué)圖形之間的關(guān)系，都與方程有關(guān)，包括：函數(shù)與方程，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程，二階矩陣與二元

25、一次方程組、一階線性差分方程、參數(shù)方程等等.可見方程思想無(wú)處不在，要求學(xué)生掌握方程思想，是中學(xué)生解決問題的重要途徑之一.</p><p>　　題海茫茫，何處是岸？鑒于方程在數(shù)學(xué)中的重要作用和基礎(chǔ)地位，如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》第三學(xué)段中明確提出了“方程與方程組”的教學(xué)目標(biāo).數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)有“好”數(shù)學(xué)和“不大好”的數(shù)學(xué)之分.方程，就是“好”的數(shù)學(xué)的代表，它是最基本的解題方法之一，也是中學(xué)生解

26、題的重要搭建平臺(tái).</p><p>　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》（實(shí)驗(yàn)稿）指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是中學(xué)代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法.”這里把數(shù)學(xué)思想方法列為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分體現(xiàn)了義務(wù)教育的性質(zhì)任務(wù)，有利于揭示知識(shí)的精神實(shí)質(zhì)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，必然要把數(shù)學(xué)思想方法和知識(shí)，技能融為一體，放到突出的位置上.<

27、;/p><p>　　為了更好的說(shuō)明方程思想的重要性，下面將用例子說(shuō)明.</p><p><b>　　3.方程思想的運(yùn)用</b></p><p>　　要準(zhǔn)確靈活運(yùn)用方程思想，要知道方程的種類有哪些，下面是方程的分類：</p><p>　　方程的分類多種多樣，下面從幾種典型方程作為探究對(duì)象，利用它們的性質(zhì)解題.</p>

28、;<p>　　3.1 運(yùn)用方程思想解代數(shù)題</p><p>　?。?）利用方程的韋達(dá)定理</p><p>　　例1：已知方程的兩個(gè)根，求的值.</p><p>　　解：根據(jù)韋達(dá)定理知:,所以 >0</p><p><b>　　因?yàn)?=</b></p><p><b>

29、　　又</b></p><p><b>　　所以=</b></p><p>　　評(píng)析：初中運(yùn)用韋達(dá)定理非常廣泛，在做題時(shí)要掌握兩根之和，兩根之積的值，然后直接運(yùn)用到所求問題中.</p><p>　　利用根與系數(shù)的關(guān)系求出已有跟的多項(xiàng)式</p><p>　　（高等代數(shù)第四版68頁(yè)）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，若多項(xiàng)式&

30、lt;/p><p><b>　　，，有以下形式：</b></p><p>　　..............................</p><p>　　例2：求有單根5與-2以及二重跟3的四次多項(xiàng)式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>

31、;　　，</b></p><p><b>　　因此所求多項(xiàng)式是</b></p><p><b>　　或，其中</b></p><p>　　3.2運(yùn)用方程思想解幾何題</p><p>　　有許多平面幾何問題從表面上看, 與方程沒有多少直接聯(lián)系, 但是認(rèn)真分析這些問題的數(shù)量關(guān)系, 通過(guò)建立方

32、程, 可得到問題的解.</p><p>　　3.2.1用方程思想解常見中考幾何題</p><p><b>　　（1）基礎(chǔ)題</b></p><p>　　例3：(1998 年北京市) 如圖1, 在中，</p><p>　　，D是BC邊上的一點(diǎn)，DEAB與E，</p><p>　　,若DE:AE=1：

33、5，BE=3，求的面積.</p><p>　　解析：不妨假設(shè)DE=，那么AE=此時(shí)，可求出用表示的BD邊長(zhǎng)度，在直角三角形ADE中，DE和AE知道，根據(jù)勾股定理可求出用表示的AD的長(zhǎng)度，又故AC=CD斜邊知道，，在大直角三角形ABC中，AC=，BC=+，AB=3+，可求出的值來(lái).那么AC，BD的長(zhǎng)度也可知，即ABD面積可求.</p><p>　　分析：本案例是幾何求值綜合題，因此要引導(dǎo)學(xué)生

34、仔細(xì)分析，利用正方形構(gòu)成直角三角形布列等式，從而得出解題方法.</p><p><b>　　動(dòng)點(diǎn)問題</b></p><p>　　例4：如圖，在直角梯形中</p><p><b>　　,</b></p><p>　　點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合）過(guò)點(diǎn)作//交于點(diǎn)(當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與重合）把沿對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)

35、應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)設(shè)，與梯形重疊部分的面積為</p><p><b>　　求的長(zhǎng)</b></p><p>　　若點(diǎn)恰好在上，求此時(shí)的值</p><p>　　求與支架的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？</p><p>　　解：（1）過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，因?yàn)椋?,又易知是矩形，所以</p><p

36、>　　由（1)知，且所以,故與重疊，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，可知,，，有，解得</p><p>　　如圖3所示，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積</p><p>　　等于的面積減去空白部分的面積</p><p>　　空白部分的面積與面積成比例，所以</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　

37、　3.2.2運(yùn)用方程思想解答高考題中曲線方程問題</p><p>　　“火眼金睛”看題目，方程思想最優(yōu)法</p><p>　　例5：(廣東深圳市調(diào)研考試題）如圖，</p><p>　　已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)且與軸相切，</p><p>　　點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，</p><p><b>　　動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.</b

38、></p><p><b>　　求曲線的方程；</b></p><p>　　設(shè)是曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作任意兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線相交于另外兩個(gè)點(diǎn).</p><p>　?、僮C明：直線斜率為定值；</p><p>　?、谟浨€位于兩點(diǎn)之間的那一段為，若點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離最大，求點(diǎn)的坐標(biāo).</p&

39、gt;<p>　　解：（1）解法一：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱點(diǎn)，所以，且圓的直徑為，由題意，動(dòng)圓與軸相切，所以，兩邊平方整理得，所以曲線的方程為</p><p>　　解法二：因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與軸相切，所以動(dòng)圓在軸上方，連接,因?yàn)殛P(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，所以為圓的直徑.過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為,過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為.在直角梯形中，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，又動(dòng)點(diǎn)位于軸的上方，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與

40、到定直線的距離相等.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線.</p><p><b>　　所以曲線的方程為</b></p><p>　?、僮C法一：由題意，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AP的斜率為,則直線的斜率為.因?yàn)槭乔€：上的點(diǎn)，所以，直線的方程為 .由 </p><p>　　解得 或， 所以點(diǎn)坐標(biāo)為以替換，得

41、的坐標(biāo)為</p><p><b>　　所以直線的斜率為</b></p><p><b>　　為定值.</b></p><p>　　①證法二：因?yàn)槭乔€：上的點(diǎn)，所以，.</p><p>　　又點(diǎn)在曲線：上，所以可設(shè)，而直線、</p><p>　　的傾斜角互補(bǔ)，所以它們的斜率互

42、為相反數(shù)，即整理得：</p><p>　　，所以直線的斜率為為定值</p><p>　?、诮夥ㄒ唬河散倏芍?，</p><p>　　，所以直線方程為，整理得</p><p>　　.設(shè)點(diǎn)在曲線段上，因?yàn)閮牲c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)在和之間</p><p>　　即所以，從而，點(diǎn)到直線的距離為</p>&

43、lt;p>　　當(dāng)時(shí)，又所以點(diǎn)在曲線段上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是</p><p>　　解法二：由①可知，若點(diǎn)在曲線段上，且點(diǎn)到直線的距離最大，則曲線在點(diǎn)處的切線設(shè)：，由方程組</p><p><b>　　消去，得令解得</b></p><p>　　代入方程組，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)是</p><p>　　評(píng)析：從以上的解法我們發(fā)現(xiàn)

44、，無(wú)論是第（1)問還是第（2）中的②，運(yùn)用設(shè)元解方程組的方法更有利于解答，可縮小運(yùn)算量，易理解.</p><p>　　(2）方程思想在圓錐曲線上的應(yīng)用</p><p>　　例6.【2012高考真題浙江理21】橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為．不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．</p><p>　　(Ⅰ

45、)求橢圓C的方程；</p><p>　　(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程．</p><p>　　【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。</p><p>　　解：(Ⅰ)由題：； (1)</p><p>　　左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：． (2)<

46、;/p><p>　　由(1) (2)可解得：．</p><p>　　∴所求橢圓C的方程為：．</p><p>　　(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)，，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，</p><p><b>　　∴．</b></p><p>　　設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m

47、≠0)，</p><p><b>　　代入橢圓：．</b></p><p><b>　　顯然．</b></p><p>　　∴﹣＜m＜且m≠0．</p><p>　　由上又有：＝m，＝．</p><p>　　∴|AB|＝||＝＝．</p><p>　　

48、∵點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：．</p><p>　　∴SABP＝d|AB|＝，</p><p>　　當(dāng)＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時(shí)，(SABP)max＝．</p><p>　　此時(shí)直線l的方程＝﹣</p><p>　?。?）利用參數(shù)方程思想解題</p><p>　　例7：與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存

49、在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍．</p><p>　　分析：∵、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．</p><p>　　解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，，∵，∴，即，解得或，</p><p>　　∵　∴（舍去），，又

50、</p><p><b>　　∴，∴，又，∴．</b></p><p>　　說(shuō)明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使．如何證明？當(dāng)題目的條件和問題轉(zhuǎn)化時(shí)，依然可用參數(shù)方程思想來(lái)解答，把結(jié)果逆推即可.</p><p>　　3.3運(yùn)用方程思想解函數(shù)題</p><p>　　3.3.1方程思想在高考題中的應(yīng)用</

51、p><p>　　對(duì)于大多數(shù)的高考生而言，高考的最后一道壓軸題是最令人頭痛最令人費(fèi)解的，也是得分率最低的一題.最后一道函數(shù)題通常是跟方程聯(lián)系在一起，所以如何利用方程思想解函數(shù)方程，是高考時(shí)與別人拉開距離的重中之重.下面就以茂名的模擬高考中最后一題作為分析.</p><p>　　例8：已知函數(shù)，，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（異于原點(diǎn)),與軸的交點(diǎn)為，在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，//.</p>

52、<p><b>　　求的值；</b></p><p>　　已知實(shí)數(shù),求函數(shù)，的最小值；</p><p>　　令，給定<，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)滿足：，，并且使得不等式 </p><p>　　<恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.</p

53、><p>　　解:（1）圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，的圖像與軸的交點(diǎn)</p><p>　　由題意可得，即，所以</p><p>　　令，在時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，圖象的對(duì)稱軸，拋物線開口向上</p><p><b>　?、佼?dāng)即時(shí)，</b></p><p><b>　?、诋?dāng)即時(shí)，</b&g

54、t;</p><p><b>　?、郛?dāng)即時(shí)，</b></p><p>　　，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，>0</p><p><b>　　①當(dāng)，有></b></p><p><b>　　<，得，同理</b></p><p>　　

55、所以由的單調(diào)性知從而有<，符合題設(shè)</p><p>　?、诋?dāng)時(shí)，，，由的單調(diào)性知，所以，與題設(shè)不符</p><p>　?、郛?dāng)時(shí)，同理可得得，與題設(shè)不符</p><p><b>　　綜上所述可得：</b></p><p>　　分析：此題知識(shí)點(diǎn)全面，首先要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于函數(shù)中的方程，要分類討論充分利用不等式的性質(zhì)，

56、對(duì)于復(fù)雜的在題目中反復(fù)用的未知數(shù)整體可用具體一個(gè)字母代替.</p><p>　　3.3.2方程思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用</p><p>　　例9：已知，求的值.</p><p>　　解析：首先觀察已知條件和所求式子，發(fā)現(xiàn)它們有一定的相似性，只是分子分母中的A和B換過(guò)來(lái)而已.根據(jù)，可設(shè)，那么，.那么函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為方程式，把所設(shè)代入三角函數(shù)式中得：，通過(guò)整理方程得：，故

57、，即.故其實(shí)所求式子與條件式子是同樣的，其值都是等于1.</p><p>　　看來(lái)，運(yùn)用方程思想，解題難度明顯降低了！</p><p>　　3.4運(yùn)用函數(shù)方程思想解函數(shù)題</p><p>　　函數(shù)方程的定義 含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程.如、、、等.其中是未知函數(shù)</p><p>　　3.4.1函數(shù)方程的幾種解法</p>&l

58、t;p>　　(1)代換法（或換元法）</p><p>　　把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)生變化），得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)</p><p><b>　　（2）待定系數(shù)法</b></p><p>　　當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得</p>

59、<p><b>　?。?）迭代法</b></p><p>　　由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過(guò)n次迭代得到函數(shù)方程的解法</p><p><b>　?。?）柯西法</b></p><p>　　定理 若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足、則</p><p>　　3.4.2幾個(gè)重要的二元函數(shù)方程

60、</p><p>　　在f(x)單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解</p><p>　　例10：設(shè)上是連續(xù)的且恒不等于0，求函數(shù)方程</p><p>　　(1) 的解.</p><p>　　解：由數(shù)學(xué)歸納法易知 </p><p><b>　　特別，取，則可

61、得</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　在上式中取，可得， 在(1)式中，取，可得</p><p>　　因?yàn)槲覀兗僭O(shè)不恒為0，所以 .在(2)式中，取，則可得(m為正整數(shù))</p><p>　　在(1)式中，取，則可得 </p><p>　　所以，對(duì)

62、任意的有理數(shù)，.</p><p>　　又因有理數(shù)是實(shí)數(shù)的稠密子集，且上連續(xù)，所以</p><p>　　若，則 (3)</p><p>　　例11：設(shè)在正實(shí)數(shù)域上有定義，連續(xù)且不恒等于0，試求函數(shù)方程</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b&g

63、t;　　的解.</b></p><p>　　解：由數(shù)學(xué)歸納法易知，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)；</p><p>　　特別，取時(shí)，可知 (5)</p><p>　　所以，由(4)式可知</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，對(duì)于任意的， .</p>&

64、lt;p>　　取定，對(duì)任意的，存在，使得； .</p><p><b>　　令 ，則.</b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　這是函數(shù)方程(＊)在整個(gè)正實(shí)數(shù)上連續(xù)時(shí)，唯一的解.</p><p>　　例12：設(shè)在實(shí)數(shù)上有定義，連續(xù)且不恒為0，求方程式</p

65、><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　的解？</b></p><p>　　解：任取，對(duì)任意的，存在</p><p><b>　　使得，(可取，)</b></p><p>　　將此代入(7)式可得</p><p&

66、gt;<b>　　令，則</b></p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　因?yàn)樵谏线B續(xù)上連續(xù).</p><p>　　故由例一可知，(8)有唯一的解</p><p>　　，(是一個(gè)唯一固定的常數(shù))，.</p><p><b>　　.</b

67、></p><p>　　故，令，則 (9)</p><p>　　【注】：如在例三中，不要求為連續(xù)函數(shù)，則解未必是唯一的.</p><p><b>　　例如函數(shù)</b></p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　不難看出它也是

68、(7)的解.</p><p>　　由此可見：方程思想在解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)起著不可小視的作用, 其適用的范圍相較廣，別是在處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題時(shí), 幾乎可運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分, 這從前面列舉的各個(gè)例子中可以看到, 至于在解析幾何、立體幾何等不同數(shù)學(xué)分支中, 許多問題最終都是可以通過(guò)建立方程式, 運(yùn)用方程思想來(lái)解決.</p><p>　　3.5運(yùn)用方程思想解決最值問題</p>&

69、lt;p>　　近幾年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中, 經(jīng)常出現(xiàn)最值問題, 考慮到構(gòu)造方程, 利用方程思想是解決有關(guān)最值問題的良好途徑.</p><p>　　例13：已知實(shí)數(shù)滿足 求的最大值和最小值.</p><p><b>　　解：令，則</b></p><p><b>　　所以可變式為：</b></p><p

70、><b>　　去括號(hào)整理得：</b></p><p>　　因?yàn)閤是不為0的實(shí)數(shù)</p><p><b>　　所以有：</b></p><p><b>　　整理即得：</b></p><p><b>　　所以可解得：即</b></p>&

71、lt;p>　　故的最大值是，的最小值是</p><p>　　點(diǎn)評(píng)分析：要求的最值，題中沒有直接給出關(guān)于x、y的等式，但給出了聯(lián)系x、y的方程，所以可設(shè)參數(shù)k,溝通已知和未知的聯(lián)系，這時(shí)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髃值最值的問題了，利用根的判斷定理可解出來(lái).這是解題的關(guān)鍵.</p><p>　　例14：（北京市東城區(qū)高三綜合復(fù)習(xí)）已知函數(shù)的最大值為,最小值為，則+的值為？</p>&l

72、t;p>　　解析：首先觀察題目，我們可以對(duì)變形，，那么如何求最大值、最小值呢？如果單獨(dú)求的話，似乎比較難這時(shí)我們可以利用方程思想：令，此時(shí)，，所以+的值為2</p><p>　　主要是巧妙設(shè)元代替，如果單獨(dú)算出最大最小值，不僅方法難，精確度也小.可見利用方程思想的巧妙性.</p><p>　　3.6微分線性方程思想求解矩陣的特征值和特征向量</p><p>　

73、　假設(shè)是一個(gè)常數(shù)矩陣，使得關(guān)于的線性代數(shù)方程組具有非零解的常數(shù)稱為的一個(gè)特征值而非零解則稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量次多項(xiàng)稱為的特征多項(xiàng)式，次代數(shù)方程稱為的特征方程.</p><p>　　例15：試求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量.</p><p>　　解 ： A的特征值就是特征方程的根.解之得到，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足線性方程組因此，滿足方程組</p><p&

74、gt;　　所以對(duì)應(yīng)任意常數(shù) ，有是對(duì)應(yīng)于的特征向量類似地，對(duì)應(yīng)于</p><p>　　的特征向量為其中是任意常數(shù)</p><p><b>　　4.結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　方程思想方法與方程知識(shí)的獲得是相輔相成的，方程思想是對(duì)方程知識(shí)發(fā)生過(guò)程的提煉、抽象、概括和升華，是對(duì)數(shù)學(xué)方程規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，能夠使得學(xué)生更加深刻地領(lǐng)會(huì)方程所包含的思

75、想方法及由此形成的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，切實(shí)加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力.本文通過(guò)方程思想的運(yùn)用說(shuō)明方程思想解題方面的巧妙性。</p><p><b>　　致謝辭</b></p><p>　　在論文寫作過(guò)程中，遇到諸多困難，在這里我非常感謝我的論文指導(dǎo)老師-**教授的悉心指導(dǎo)，是他一次又一次的對(duì)我的論文提出不少改正意見，使得我的論文順利完成.沒有最好,只有更好，我將不斷的去努力，

76、改變現(xiàn)狀的不足，也希望閱讀此篇論文的老師、同學(xué)多多指正，我將不勝感激！</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 張娟.初中學(xué)生對(duì)方程思想的理解[D].華東師范大學(xué),2007.</p><p>　　[2] 張奠宙，張廣祥.中學(xué)代數(shù)研究[M]. 北京:教育出版社, 2006.</p><p>

77、;　　[3] 涂釗榕.高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想的研究[D].福建師范大學(xué),2012.</p><p>　　[4] 張和瑞，郝鈵新. 高等代數(shù)[M] .北京:等教育出版社, 1997.</p><p>　　[5] 天利新課標(biāo)高考命題研究中心北京天利考試信息網(wǎng)新課標(biāo)全國(guó)各省市高考模擬試題匯編[M]. 拉薩：西藏人民出版社, 2012.</p><p>　　[6]天利新課

78、標(biāo)高考命題研究中心北京天利考試信息網(wǎng)廣東省各市模擬試題[M].拉薩：西藏人民出版社 , 2012.</p><p>　　[7] 嚴(yán)麗香. 函數(shù)與方程思想知多少(上)[J] .數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 ,2010，12（26）：12-34.</p><p>　　[8] 石含剛. 用方程思想、換元法化難為易解一道高考題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006，11（1）：24-30.</p><

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80、,(08):9-13.</p><p>　　Equation Theorist of their problem-solving and magical effect</p><p>　　Abstract: This article first introduces the historical development of its ideological value of the equ

81、ation, and then study the use of the equation thinking, the use of include: the equation thinking in algebra, geometry (in the exam, college entrance examination), function (general functions, trigonometric functions, fu

82、nction equation), the most value, eigenvalue eigenvectors of problem solving, the equation thinking reveals an important position in the secondary and even university mathematics</p><p>　　Keywords: equation