現代控制理論與經典控制理論

1、<p>　　現代控制理論與經典控制理論</p><p><b>　　一、控制理論</b></p><p>　　經典控制理論（19世紀末~1940年代）。起源于：伺服機械的調節(jié)/控制設計方法、數學界的常微分方程穩(wěn)定性理論、基于Fourier變換的頻率域分析設計。經典文獻——錢學森的《工程控制論》；主要特征——頻率域分析設計。</p><p&

2、gt;　　現代控制理論（1950年代~至今）。起源于： (美國)卡爾曼線性系統(tǒng)結構性理論和最優(yōu)濾波理論</p><p>　　(前蘇聯)龐特里亞金的極大值原理、(美國)貝爾曼的動態(tài)規(guī)劃理論。主要特——現代時間域分析設計。</p><p><b>　　經典控制理論</b></p><p>　　經典控制理論：建立在奈奎斯特的頻率響應法和伊萬斯的根軌

3、跡法基礎上的理論，也稱或稱古典控制理論、自動控制理論，為工程技術人員提供了一個設計反饋控制系統(tǒng)的有效工具。1947年控制論的奠基人美國數學家維納(N. Weiner)把控制論引起的自動化同第二次產業(yè)革命聯系起來，并與1948年出版了《控制論—關于在動物和機器中控制與通訊的科學》。我國著名科學家錢學森將控制理論應用于工程實踐，并與1954年出版了《工程控制論》。從20世紀40年代到50年代末，經典控制理論的發(fā)展與應用使整個世界的科學水平出

4、現了巨大的飛躍，幾乎在工業(yè)、農業(yè)、交通運輸及國防建設的各個領域都廣泛采用了自動化控制技術。</p><p>　　以傳遞函數作為描述系統(tǒng)的數學模型，以時域分析法、根軌跡法和頻域分析法為主要分析設計工具，構成了經典控制理論的基本框架。到20世紀50年代，經典控制理論發(fā)展到相當成熟的地步，形成了相對完整的理論體系，為指導當時的控制工程實踐發(fā)揮了極大的作用。經典控制理論主要用于解決反饋控制系統(tǒng)中控制器的分析與設計的問題。

5、</p><p>　　圖1反饋控制系統(tǒng)的簡化原理框圖。</p><p>　　經典控制理論主要研究線性定常系統(tǒng)。所謂線性控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)中各組成環(huán)節(jié)或元件的狀態(tài)或特性可以用線性微分方程描述的控制系統(tǒng)。如果描述該線性系統(tǒng)的微分方程的系數是常數，則稱為線性定常系統(tǒng)。描述自動控制系統(tǒng)輸入量、輸出量和內部量之間關系的數學表達式稱為系統(tǒng)的數學模型，它是分析和設計控制系統(tǒng)的基礎。經典控制理論中廣泛使用的

6、頻率法和根軌跡法，是建立在傳遞函數基礎上的。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數是在零初始條件下系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比，是描述系統(tǒng)的頻域模型。傳遞函數只描述了系統(tǒng)的輸入輸出間關系，沒有內部變量的表示。經典控制理論的特點是以傳遞函數為數學工具，本質上是頻域方法，主要研究“單輸入單輸出”(Single-Input Single-output， SISO)線性定?？刂葡到y(tǒng)的分析與設計，對線性定常系統(tǒng)已經形成相當成熟的理論。典型的

7、經典控制理論包括PID控制、Smith控制、解耦控制、Dalin控制、串級控制等。</p><p>　　經典控制理論雖然具有很大的實用價值，但也有著明顯的局限性，主要表現在：經典控制理論只適用于SISO線性定常系統(tǒng)，推廣到多輸入多輸出(Multi-Input Multi-Output， MIMO)線性定常系統(tǒng)非常困難，對時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)則更無能為力；用經典控制理論設計控制系統(tǒng)一般根據幅值裕度、相位裕度、超調量

8、、調節(jié)時間等頻率域里討論的指標來進行設計和分析。這些指標并不直觀易于接受，與我們通常所討論的性能指標，如最快、最小能量等，難以建立直接對應關系；經典控制理論在系統(tǒng)設計分析時無法考慮系統(tǒng)的初始條件，這對于高精度的位置、速度等控制系統(tǒng)設計難以達到要求；經典控制理論在進行控制系統(tǒng)設計和綜合時，需要豐富的經驗進行試湊以及大量的手工計算。</p><p><b>　　現代控制理論</b></p&

9、gt;<p>　　20世紀50年代中期，科學技術及生產力的發(fā)展，特別是空間技術的發(fā)展，迫切要求解決更復雜的多變量系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題(例如火箭和宇航器的導航、跟蹤和著陸過程中的高精度、低消耗控制，到達目標的控制時間最小等)。實踐的需求推動了控制理論的進步，同時，計算機技術的發(fā)展也從計算手段上為控制理論的發(fā)展提供了條件，適合于描述航天器的運動規(guī)律，又便于計算機求解的狀態(tài)空間模型成為主要的模型形式。</p>

10、;<p>　　1956年，美國數學家貝爾曼(R. Bellman)提出了離散多階段決策的最優(yōu)性原理，創(chuàng)立了動態(tài)規(guī)劃。之后，貝爾曼等人提出了狀態(tài)分析法；并于1964年將離散多階段決策的動態(tài)規(guī)劃法解決了連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。</p><p>　　美國數學家卡爾曼(R. Kalman)等人于1959年提出了著名的卡爾曼濾波器，1960年又在控制系統(tǒng)的研究中成功地應用了狀態(tài)空間法，提出系統(tǒng)的能控性和能

11、觀測性問題。</p><p>　　1956年，前蘇聯科學家龐特里亞金(L.S. Pontryagin)提出極大值原理，并于1961年證明并發(fā)表了極大值原理。極大值原理和動態(tài)規(guī)劃為解決最優(yōu)控制問題提供了理論工具。到1960年代初，一套以狀態(tài)方程作為描述系統(tǒng)的數學模型，以最優(yōu)控制和卡爾曼濾波為核心的控制系統(tǒng)分析、設計的新原理和方法基本確定，現代控制理論應運而生。</p><p>　　進入20世

12、紀60年代，英國控制理論學者羅森布洛克(H.H. Rosenbrock)、歐文斯(D.H. Owens)和麥克法輪(G.J. MacFarlane)研究了使用于計算機輔助控制系統(tǒng)設計的現代頻域法理論，將經典控制理論傳遞函數的概念推廣到多變量系統(tǒng)，并探討了傳遞函數矩陣與狀態(tài)方程之間的等價轉換關系，為進一步建立統(tǒng)一的線性系統(tǒng)理論奠定了基礎。</p><p>　　20世紀70年代瑞典控制理論學者奧斯特隆姆(K.J. A

13、strom)和法國控制理論學者朗道(L.D. Landau)在自適應控制理論和應用方面作出了貢獻。</p><p>　　與此同時，關于系統(tǒng)辨識、最優(yōu)控制、離散時間系統(tǒng)和自適應控制的發(fā)展大大豐富了現代控制理論的內容?，F代控制理論主要利用計算機作為系統(tǒng)建模分析、設計乃至控制的手段，適用于多變量、非線性、時變系統(tǒng)。它在本質上是一種“時域法”，但并不是對經典頻域法的從頻率域回到時間域的簡單再回歸，而是立足于新的分析方法，

14、有著新的目標的新理論。現代控制理論研究內容非常廣泛，主要包括三個基本內容：多變量線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論以及最優(yōu)估計與系統(tǒng)辨識理論?，F代控制理論從理論上解決了系統(tǒng)的能控性、能觀測性、穩(wěn)定性以及許多復雜系統(tǒng)的控制問題。</p><p>　　與經典控制理論相比較，現代控制理論有如下優(yōu)點：不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng)，而且易于推廣到MIMO系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等，顯示了該方法有更強的描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的能

15、力，所能處理的系統(tǒng)的范圍更大；利用時間域法容易給人以時間上的清晰性能指標，如最快、最小能量等，易于理解接受和優(yōu)化設計；易于考慮系統(tǒng)的初始條件，使得所設計的控制系統(tǒng)有更高的精度和更佳的性能品質指標；易于用計算機進行系統(tǒng)分析計算和實現計算機控制，顯示了所設計的控制系統(tǒng)的實現具有極大的可行性、優(yōu)越性、先進性。</p><p>　　經典控制理論與現代控制理論的區(qū)別與聯系</p><p>　　經典控

16、制理論與現代控制理論并不是截然對立，相輔相成、互為補充。兩者各自的長處和不足分別為：現代控制理論對描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數學模型要求較高，需要用到更多的數學知識，利于計算機實現，在控制系統(tǒng)的設計與實現時對控制設備和系統(tǒng)所處的環(huán)境要求也高一些。經典控制理論對數學模型和數學方法的要求相對較低，更依賴于控制領域設計和應用的經驗。在進行控制系統(tǒng)設計和實現時，要根據具體的要求、目標和環(huán)境條件，選擇適宜的控制理論和方法，也可以將經典控制理論和現代控制理

17、論兩者結合起來。</p><p>　　現代控制理論的主要內容</p><p>　　在工業(yè)生產過程應用中，常常遇到被控對象精確狀態(tài)空間模型不易建立、合適的最優(yōu)性能指標難以構造以及所得到最優(yōu)的、穩(wěn)定的控制器往往過于復雜等問題。為了解決這些問題，科學家們從20世紀50年代末現代控制理論的誕生至今，不斷提出新的控制方法和理論，其內容相當豐富、廣泛，極大地擴展了控制理論的研究范圍。</p>

18、;<p>　　現代控制理論的主要分支及所研究的內容：線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制、隨機系統(tǒng)理論和最優(yōu)估計、系統(tǒng)辨識、自適應控制、非線性系統(tǒng)理論、魯棒性分析與魯棒控制、分布參數控制、離散事件控制、智能控制。</p><p>　　線性系統(tǒng)是一類最為常見系統(tǒng)，也是控制理論中討論得最為深刻的系統(tǒng)。該分支著重于研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和改變這種運動規(guī)律的可能性和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結構、參數、行為和性能間的確定

19、的和定量的關系。通常，研究系統(tǒng)運動規(guī)律的問題稱為分析問題，研究改變運動規(guī)律的可能性和方法的問題則為綜合問題。線性系統(tǒng)理論的主要內容有：系統(tǒng)結構性問題，如能控性、能觀性、系統(tǒng)實現和結構性分解等；線性狀態(tài)反饋及極點配置；鎮(zhèn)定；解耦；狀態(tài)觀測器等。</p><p>　　最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學科。具體地說就是研究被控系統(tǒng)在給定的約束條件和性能指標下，尋求使性能指標達到最佳值的控制

20、規(guī)律問題。例如要求航天器達到預定軌道的時間最短、所消耗的燃料最少等。該分支的基本內容和常用方法為：變分法；龐特里亞金的極大值原理；貝爾曼的動態(tài)規(guī)劃方法。</p><p>　　隨機系統(tǒng)理論和最優(yōu)估計。實際工業(yè)、農業(yè)、社會及經濟系統(tǒng)的內部本身含有未知或不能建模的因素，外部環(huán)境上亦存在各種擾動因素，以及信號或信息的檢測與傳輸上往往不可避免地帶有誤差和噪音。隨機系統(tǒng)理論將這些未知的或未建模的內外擾動和誤差，用不能直接測量

21、的隨機變量及過程以概率統(tǒng)計的方式來描述，并利用隨機微分方程和隨機差分方程作為系統(tǒng)動態(tài)模型來刻劃系統(tǒng)的特性與本質。隨機系統(tǒng)理論就是研究這類隨機動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、優(yōu)化與控制。最優(yōu)估計討論根據系統(tǒng)的輸入輸出信息估計出或構造出隨機動態(tài)系統(tǒng)中不能直接測量的系統(tǒng)內部狀態(tài)變量的值。由于現代控制理論主要以狀態(tài)空間模型為基礎，構成反饋閉環(huán)多采用狀態(tài)變量，因此估計不可直接測量的狀態(tài)變量是實現閉環(huán)控制系統(tǒng)重要的一環(huán)。該問題的困難性在于系統(tǒng)本身受到多種內外隨

22、機因素擾動，并且各種輸入輸出信號的測量值含有未知的、不可測的誤差。最優(yōu)估計的早期工作是維納在1940年代提出的維納濾波器，較系統(tǒng)完整的工作是卡爾曼在1960年代初提出的濾波器理論。該分支的基礎理論為概率統(tǒng)計理論、線性系統(tǒng)理論和最優(yōu)控制理論。系統(tǒng)辨識就是利用系統(tǒng)在試驗或實際運行中所測得的輸入輸出數據，運用數學方法歸納和</p><p>　　無論是采用經典控制理論或現代控制理論，在進行系統(tǒng)分析、綜合和控制系統(tǒng)設計時，

23、都需要事先知道系統(tǒng)的數學模型。</p><p>　　系統(tǒng)辨識包括兩個方面：結構辨識和參數估計。在實際的辨識過程中，隨著使用的方法不同，結構辨識和參數估計這兩個方面并不是截然分開的，而是可以交織在一起進行的。系統(tǒng)辨識是重要的建模方法，因此亦是控制理論實現和應用的基礎。系統(tǒng)辨識是控制理論中發(fā)展最為迅速的領域，它的發(fā)展還直接推動了自適應控制領域及其他控制領域的發(fā)展。自適應控制研究當被控系統(tǒng)的數學模型未知或者被控系統(tǒng)的結

24、構和參數隨時間和環(huán)境的變化而變化時，通過實時在線修正控制系統(tǒng)的結構或參數使其能主動適應變化的理論和方法。</p><p>　　自適應控制系統(tǒng)通過不斷地測量系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)、輸出或性能參數，逐漸了解和掌握對象，然后根據所得的信息按一定的設計方法，做出決策去更新控制器的結構和參數以適應環(huán)境的變化，達到所要求的控制性能指標。該分支誕生于1950年代末，是控制理論中近60年發(fā)展最為迅速、最為活躍的分支。自適應控制系統(tǒng)應具

25、有三個基本功能：辨識對象的結構和參數，以便精確地建立被控對象的數學模型；給出一種控制律以使被控系統(tǒng)達到期望的性能指標；自動修正控制器的參數。因此自適應控制系統(tǒng)主要用于過程模型未知或過程模型結構已知但參數未知且隨機的系統(tǒng)。自校正控制系統(tǒng)，模型參考自適應控制系統(tǒng)，自尋最優(yōu)控制系統(tǒng)，學習控制系統(tǒng)等。最近，非線性系統(tǒng)的自適應控制，基于神經網絡的自適應控制得到重視，提出了一些新的方法。自適應控制領域是少數幾個中國人取得較大成就的領域。中國科學院陳

26、翰馥院士與郭雷院士在1990年代初圓滿解決自適應控制的收斂性問題。</p><p>　　圖2模型參考自適應控制系統(tǒng)的主要結構為</p><p>　　非線性系統(tǒng)。實際的工程和社會經濟系統(tǒng)大多為非線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)只是實際系統(tǒng)的一種近似或理想化。因此，研究非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、綜合和控制的非線性系統(tǒng)理論亦是現代控制理論的一個重要分支。微分幾何方法目前主要研究非線性系統(tǒng)的結構性理論，主要成果：能

27、控能觀性；基于非線性變換(同胚變換)的線性化；狀態(tài)反饋線性化；解耦；結構性分解；反饋鎮(zhèn)定等。</p><p>　　魯棒。系統(tǒng)的數學模型與實際系統(tǒng)存在著參數或結構等方面的差異，而我們設計的控制律大多都是基于系統(tǒng)的數學模型，為了保證實際系統(tǒng)對外界干擾、系統(tǒng)的不確定性等有盡可能小的敏感性，導致了研究系統(tǒng)魯棒控制問題。系統(tǒng)的魯棒性是指所關注的系統(tǒng)性能指標對系統(tǒng)的不確定性(如系統(tǒng)的未建模動態(tài)、系統(tǒng)的內部和外部擾動等)的不敏

28、感性。魯棒性分析討論控制系統(tǒng)對所討論的性能指標的魯棒性，給出系統(tǒng)能保持該性能指標的最大容許建模誤差和內外部擾動的上確界。</p><p>　　分布參數控制。自1970年代開始，國內外學者開始重視分布參數系統(tǒng)的研究。分布參數系統(tǒng)是無窮維系統(tǒng)，一般由偏微分方程、積分方程、泛函微分方程或抽象空間中的微分方程所描述。分布參數控制系統(tǒng)的典型實例有：電磁場﹑引力場﹑溫度場等物理場，大型加熱爐、水輪機和汽輪機，化學反應器中的物

29、質分布狀態(tài)，長導線中的電壓和電流等控制對象，環(huán)境系統(tǒng)(如污染物在一區(qū)域內的分布)，生態(tài)系統(tǒng)(如物種的空間分布)，社會系統(tǒng)(如人口密度分布)等。分布參數系統(tǒng)廣泛應用于熱工﹑化工﹑導彈﹑航天﹑航空﹑核裂變﹑聚變等工程系統(tǒng)；生態(tài)系統(tǒng)﹑環(huán)境系統(tǒng)﹑社會系統(tǒng)等。分布參數控制系統(tǒng)有三種控制方式，點控制方式——將控制作用加在控制對象的幾個孤立點處；分布控制方式——將控制作用加在控制對象的幾個區(qū)域內；邊界控制方式——將控制作用加在控制對象邊界上，這種控制

30、又有點控制和分布控制之分。類似地，測量方式也可分為點測量﹑分布測量和邊界測量。分布參數控制系統(tǒng)既有計算機控制系統(tǒng)控制算法靈活，精度高的優(yōu)點，又有儀表控制系統(tǒng)安全可靠，維護方便的優(yōu)點。它的主要特點是：真正實現了分散控制；具有高度的靈活性和可擴展性；較強的數據通信能力；友好而豐富的人機聯系</p><p>　　離散事件控制。系統(tǒng)的狀態(tài)隨離散事件發(fā)生而瞬時改變，不能用通常的微分方程描述的動力學模型來表示，一般稱這類系統(tǒng)

31、為離散事件動態(tài)系統(tǒng)(DEDS)。對它的研究始于1980年代初。目前已發(fā)展了多種處理離散事件系統(tǒng)的方法和模型，例如，有限狀態(tài)馬爾科夫鏈、Petri網、排隊網絡、自動機理論、擾動分析法、極大代數法等。其理論已經應用于柔性制造系統(tǒng)、計算機通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)等。離散事件系統(tǒng)的研究雖然取得較大進展，但還沒有一套完整的理論體系來評價離散時間系統(tǒng)模型與實際對象的差異。離散事件動態(tài)系統(tǒng)自然延伸就是混合動態(tài)系統(tǒng)。</p><p>

32、　　智能控制。1970年代，傅京孫教授提出把人工智能的直覺推理方法用于機器人控制和學習控制系統(tǒng)，并將智能控制概括為自動控制和人工智能的結合。傅京孫、Glorioso和Sardi等人從控制理論的角度總結了人工智能技術與自適應、自學習和自組織控制的關系，正式提出了建立智能控制理論的構想。1967年，Leondes和Mendel首次正式使用“智能控制”一詞。1985年8月在美國紐約IEEE召開的智能控制專題討論會，標志著智能控制作為一個新的學

33、科分支正式被控制界公認。智能控制不同于經典控制理論和現代控制理論的處理方法，它研究的主要目標不僅僅是被控對象，同時也包含控制器本身。控制器不再是單一的數學模型，而是數學解析和知識系統(tǒng)相結合的廣義模型，是多種知識混合的控制系統(tǒng)。智能控制系統(tǒng)有如下基本特點：容錯性——對復雜系統(tǒng)(如非線性、快時變、復雜多變量和環(huán)境擾動等)能進行有效的全局控制，并具有較強的容錯能力；多模態(tài)性——定性決策和定量控制相結合的多模態(tài)組合控制。全局性——從系統(tǒng)的功能和

34、整體優(yōu)化的角度來分析和綜合系統(tǒng)。混合模型和混合計算——對象是以知識表示的非數學廣義模型和以數學模型表示的混合控制過程，人的智</p><p>　　二、控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型</p><p>　　控制理論主要是研究動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、優(yōu)化和綜合等問題。所謂動態(tài)系統(tǒng)(又稱為動力學系統(tǒng))，抽象來說是指能儲存輸入信息(或能量)的系統(tǒng)。例如，含有電感和電容等儲存電能量的元件的電網絡系統(tǒng)，含有彈簧和質

35、量體等通過位移運動來儲存機械能量的剛體力學系統(tǒng)，存在熱量和物料信息平衡關系的化工熱力學系統(tǒng)等。與靜態(tài)系統(tǒng)(靜力學系統(tǒng))的區(qū)別在于：靜態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于當前系統(tǒng)的瞬時輸入，而動態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于系統(tǒng)當前及過去的輸入信息的影響的疊加。如，電阻的電流直接等于當前的電壓輸入與電阻值之比，而電容兩端的電壓則是通過電容的當前及過去的電流的積分值與電容值之比。</p><p>　　在進行動態(tài)系統(tǒng)的分析和綜合時，首先應建立該系統(tǒng)

36、的數學模型，它是我們進行系統(tǒng)分析、預報、優(yōu)化及控制系統(tǒng)設計的基礎。在系統(tǒng)和控制科學領域內，數學模型是指能描述動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)特性的數學表達式，它包含數值型的和邏輯型的，線性的和非線性的，時變的和定常的，連續(xù)時間型的和離散時間型的，集中參數的和分布參數的等等。這種描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數學表達式亦稱為系統(tǒng)的動態(tài)方程。</p><p>　　建立數學模型的主要方法有：機理分析建?！凑障到y(tǒng)的實際結構，工作原理，并通過某些決

37、定系統(tǒng)動態(tài)行為的物理定律、化學反應定律、社會和經濟發(fā)展規(guī)律，以及各種物料和能量的平衡關系等來建立系統(tǒng)模型。實驗建模(系統(tǒng)辨識)——通過對系統(tǒng)的實驗或實際運行過程中取得能反映系統(tǒng)的動態(tài)行為的信息與數據，用數學歸納處理的方法來建立系統(tǒng)模型。</p><p>　　若在建立數學模型中考慮這些復雜因素，必然將使所建立的模型中含有復雜的非線性微分方程或偏微分方程，這樣就給模型在系統(tǒng)分析、控制系統(tǒng)的設計和實現上帶來相當大的困難

38、性。在給定的容許誤差范圍內，如果將這些復雜因素用線性特性、集中參數的形式去近似描述系統(tǒng)，將大大簡化系統(tǒng)模型的復雜程度，從而使所建立的模型能有效地運用到系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設計等方面。一個合理的數學模型應是對其準確性和簡化程度作折中考慮，它是在忽略次要因素，在現實條件和可能下，在一定精度范圍內的，盡可能抓住主要因素，并最終落腳于實際應用的目標、條件(工具)與環(huán)境的結果。模型并不是越精確越好、越復雜越好。</p><p&g

39、t;　　傳遞函數是經典控制理論中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的主要數學模型，它適用于SISO線性定常系統(tǒng)，能便利地處理這一類系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析或頻率法的分析和設計。但是，對于MIMO系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，這種數學模型就無能為力。傳遞函數僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線性動態(tài)特性，不能反映系統(tǒng)內部的動態(tài)變化特性。因而是一種對系統(tǒng)的外部動態(tài)特性的描述，這就使得它在實際應用中受到很大的限制?，F代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上發(fā)展起來的

40、。在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構成的一階微分方程組來描述的。它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化，從而能同時確定系統(tǒng)的全部內部運動狀態(tài)，而且還可以方便地處理初始條件。因而，狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信息，是對系統(tǒng)行為的一種完全描述。狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等，適用范圍廣，對各種不同的系統(tǒng)，其數學表達形式簡單而且統(tǒng)一。更突出的優(yōu)點是

41、，它能夠方便地利用數字計算機進行運算和求解，甚至直接用計算機進行實時控制，從而顯示了它的極大優(yōu)越性。</p><p>　　動態(tài)(亦稱動力學)系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現在將來的運動狀況。動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，是指能夠完全描述系統(tǒng)時間域動態(tài)行為的一個最小變量組。該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量的個數稱為系統(tǒng)的階數。若要完全描述n階系統(tǒng)，則其最小變量組必須由n個變量(即狀態(tài)變量)所

42、組成，一般記這n個狀態(tài)變量為x1(t)， x2 (t)， …，xn(t).若以這n個狀態(tài)變量為分量，構成一個n維變量向量，則稱這個向量為狀態(tài)變量向量，簡稱為狀態(tài)向量，并可表示如下：（MIMO系統(tǒng)示意圖）</p><p>　　狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內部動態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測量或觀測的量，也可以是不能直接測量或觀測的量；可以是物理的，甚至可以是非物理的，沒有實際物理量與之直接相對應的抽象的數學變量。<

43、/p><p>　　狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內部動態(tài)特性行為的變量。而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時所關心的系統(tǒng)外在表現的動態(tài)特性，并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。因此，狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內在變化規(guī)律。</p><p>　　狀態(tài)空間模型是應用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數學模型，它是應用現代控制理論對系統(tǒng)進行分析和綜合的基礎。狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)

44、的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關系的輸出方程所組成。</p><p>　　某電網絡系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入，電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。</p><p>　　對本例，針對RLC網絡的回路電壓和節(jié)點電流關系，列出各電壓和電流所滿足的方程。</p><p>　　將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起，即

45、為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型：</p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　總結出狀態(tài)空間模型的形式為：</p><p>　　其中：x為n維的狀態(tài)向量；u為r維的輸入向量；y為m維的輸出向量；A為nn維的系統(tǒng)矩陣；B為nr維的輸入矩陣；C為mn維的輸出矩陣；D為mr維的直聯矩陣(前饋矩陣，直接轉移矩陣)。<

46、/p><p>　　狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性，其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量的關系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內部各狀態(tài)變量之間的關聯情況，它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣，它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關系。直聯矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響，許多系統(tǒng)不存在這種直聯關系，即直聯矩陣D=0。</p><p

47、><b>　　非線性時變系統(tǒng)</b></p><p>　　其中f(x，u，t)和g(x，u，t)分別為如下n維和m維關于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數f(x，u，t)=[f1(x，u，t) f2(x，u，t) … fn(x，u，t)] ，g(x，u，t)=[g1(x，u，t) g2(x，u，t) … gm(x，u，t)]。</p><p>　

48、　線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結構圖</p><p>　　線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結構圖的方式表達出來，以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關系。在采用模擬或數字計算機仿真時，它是一個強有力的工具。系統(tǒng)結構圖主要有三種基本元件：積分器，加法器和比例器，</p><p>　　線性時變系統(tǒng)： 的結構圖如下：</p><p>　　根據系

49、統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型</p><p>　　根據系統(tǒng)的物理機理建立對象的數學模型的方法稱為機理建模。機理建模主要根據系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關系，以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關系，如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關系。</p><p>　　在實際工程系統(tǒng)中，許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如，機械動力學系統(tǒng)中的彈簧和運動中的

50、質量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞；化工熱力學系統(tǒng)中的物質中的熱量的儲存與傳遞；化工反應系統(tǒng)中的反應物質的物料傳遞和平衡的信息。對這些系統(tǒng)，根據其物理和化學變化的機理，由相應描述這些變化的物理和化學的定理、定律和規(guī)律等，可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關系式.因此，在選擇適宜的狀態(tài)變量后，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.</p><p>　　建立動態(tài)系統(tǒng)數學模型的主要機理/依據有：電網絡系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電

51、流平衡關系，電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關系.機械動力學系統(tǒng)中的牛頓第二定律，彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關系.對旋轉運動，則相應的為轉矩、角位移和角速度.化工熱力學系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存，化工反應工程系統(tǒng)中參加反應的物料的傳遞和平衡關系.經濟系統(tǒng)中的投入產出方程。</p><p>　　剛體動力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述</p><p>　　下圖表示由彈簧、質量體、阻尼器組

52、成的剛體動力學系統(tǒng)的物理模型.其中：外力u(t)為系統(tǒng)輸入，質量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.</p><p>　　根據牛頓第二定律，系統(tǒng)的內部機理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關系式：</p><p>　　可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型</p><p>　　機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 </p><p><b>　

53、　選擇狀態(tài)變量如下：</b></p><p>　　經整理，可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型</p><p>　　狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對系統(tǒng)的一種描述，它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同，并不具有唯一性和不變性。系統(tǒng)的特征結構對系統(tǒng)運動的特性和行為具有重要的影響，決定了系統(tǒng)的基本特性。系統(tǒng)經狀態(tài)線性變換后，其本質特征之一的特征值應保持不變，亦即狀態(tài)線性變換不改變系統(tǒng)

54、的基本特性。</p><p>　　MIMO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為</p><p>　　其中：x為n維狀態(tài)向量；u為r維輸入向量；y為m維輸出向量。</p><p>　　對于許多復雜的生產過程與設備，其系統(tǒng)結構可以等效為多個子系統(tǒng)的組合結構，這些組合結構可以由并聯、串聯和反饋3種基本組合聯結形式表示。</p><p><b>

55、　　并聯結構：</b></p><p><b>　　串聯結構：</b></p><p><b>　　反饋聯結：</b></p><p>　　和連續(xù)系統(tǒng)不同，離散系統(tǒng)中各部分的信號不再都是時間變量t的連續(xù)函數。在系統(tǒng)的一處或多處，其信號呈現斷續(xù)式的脈沖串或數碼的形式。事實上，大量的連續(xù)系統(tǒng)通常被通過采樣化為時間離

56、散化系統(tǒng)，再來進行分析和控制。離散系統(tǒng)成為控制理論與控制工程中重要的一類系統(tǒng)模型。</p><p>　　自動控制系統(tǒng)可以分為調節(jié)系統(tǒng)和伺服系統(tǒng)兩類。調節(jié)系統(tǒng)要求被控對象的狀態(tài)保持不變，一般輸入信號不作頻繁調節(jié)；而伺服系統(tǒng)則要求被控對象的狀態(tài)能自動、連續(xù)、精確地跟隨輸入信號的變化。而命令是根據需要不斷變化的，因此伺服系統(tǒng)又稱為隨動系統(tǒng)。對于機械運動控制系統(tǒng)，被控對象狀態(tài)主要有速度和位置，如速度伺服系統(tǒng)、位置伺服系統(tǒng)

57、。 </p><p>　　引入計算機控制的伺服系統(tǒng)叫做計算機控制伺服系統(tǒng)，也可以稱為數字伺服系統(tǒng)。伺服系統(tǒng)中引入計算機代替誤差的求取和控制器的功能，構成計算機控制伺服系統(tǒng)，如下2圖所示。 </p><p><b>　　位置伺服系統(tǒng)示意圖</b></p><p>　　計算機伺服控制系統(tǒng)示意圖</p><p>　　計算機伺服

58、控制系統(tǒng)的工作過程是：實時數據采集——對被控參數的瞬時值進行檢測、轉換并輸入到計算機中；實時決策——對采集到的表征被控參數的狀態(tài)變量進行分析，并按已給的控制規(guī)律進行計算，決定進一步的控制策略；實時控制——根據決策的結果，適時地對控制機構發(fā)出控制信號。</p><p>　　建立了系統(tǒng)的數學描述之后，接著而來的是對系統(tǒng)作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統(tǒng)對給定輸入信號的響應問題，也就是對描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸

59、出方程的求解問題。定性分析主要包括研究系統(tǒng)的結構性質，如：能控性、能觀性、穩(wěn)定性等。</p><p>　　動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型分析的兩個基本結構性質----狀態(tài)能控性和能觀性。動態(tài)系統(tǒng)的能控性和能觀性是揭示動態(tài)系統(tǒng)不變的本質特征的兩個重要的基本結構特性。</p><p>　　系統(tǒng)能控性指的是控制作用對被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進行控制的可能性。</p><p>　　能觀

60、性反映由能直接測量的輸入輸出的量測值來確定反映系統(tǒng)內部動態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。</p><p>　　現代控制理論中著眼于對表征MIMO系統(tǒng)內部特性和動態(tài)變化的狀態(tài)進行分析、優(yōu)化和控制。狀態(tài)變量向量的維數一般比輸入向量的維數高，這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問題。此外，狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動態(tài)變化的一組內部變量，有時并不能直接測量或間接測量，故存在能否利用可測量或觀測的輸出輸出的信息來構造系統(tǒng)狀態(tài)的問題。<

61、;/p><p>　　如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時刻的任意初始狀態(tài)引起的運動都能由輸入(控制項)來影響，并能在有限時間內控制到空間原點，那么稱系統(tǒng)是能控的，或者更確切地說，是狀態(tài)能控的。否則，就稱系統(tǒng)為不完全能控的。</p><p>　　若電橋系統(tǒng)是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4)，電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的，即狀態(tài)變量x2(t)是不能控的，則系統(tǒng)是不完全能控

62、的。若電橋系統(tǒng)是不平衡的， 兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制，則系統(tǒng)是能控的。</p><p>　　狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時刻之后的輸入，與輸出y(t)無關。因此研究討論狀態(tài)能控性問題，即輸入u(t)對狀態(tài)x(t)能否控制的問題，只需考慮系統(tǒng)在輸入u(t)的作用和狀態(tài)方程的性質，與輸出y(t)和輸出方程無關。</p><p>　　某一時刻狀態(tài)

63、完全能控，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，即，若邏輯關系式t0T x(t0) t1T(t1>t0) u(t) (t[t0，t1]) (x(t1)=0)為真，則稱線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B)狀態(tài)完全能控。</p><p>　　對狀態(tài)不完全能控又不完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，類似于能控性分解和能觀性分解過程構造變換矩陣的方法，可構造系統(tǒng)的能控又能觀子空間、能控但不能觀子空間、不能控但能觀子空間以及不能控又不能觀子空間。等

64、4個子空間的基底，組成變換矩陣對系統(tǒng)作線性變換，將系統(tǒng)分解為4個子系統(tǒng)：能控又能觀子系統(tǒng)、能控但不能觀子系統(tǒng)、不能控但能觀子系統(tǒng)以及不能控又不能觀子系統(tǒng)。</p><p>　　能控性結構分解示意圖</p><p><b>　　系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。</b></p><p>　　一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如，電壓自動調解

65、系統(tǒng)中保持電機電壓為恒定的能力；電機自動調速系統(tǒng)中保持電機轉速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。</p><p>　　可以說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后，系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調量偏離平衡位

66、置的數值)過渡過程的收斂性，用數學方法表示就是</p><p>　　式中，x(t)為系統(tǒng)被調量偏離其平衡位置的變化量；為任意小的規(guī)定量。如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來越大，顯然它不可能是一個穩(wěn)定系統(tǒng)。</p><p>　　現代控制系統(tǒng)的結構比較復雜，大都存在非線性或時變因素，即使是系統(tǒng)結構本身， 往往也需要根據性能指標的要求而加以改變，才能適應新的情況，保證系統(tǒng)的正常或最佳運行狀態(tài)。在解決

67、這類復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時，最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論，即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。</p><p>　　控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩(wěn)定性。經典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性 。內部穩(wěn)定性：是關于動力學系統(tǒng)的內部狀態(tài)變化所呈現穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的內部狀態(tài)穩(wěn)定性。本節(jié)討論的

68、李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)，內部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。對于同一個線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。</p><p>　　第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化，然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。這是一種較簡捷的方法，與經典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法，亦

69、稱為李雅普諾夫第一法。第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性，而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數的標量函數來分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，所以第二種方法稱為直接法，亦稱為李雅普諾夫第二法。</p><p>　　李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來分析線性定常系統(tǒng)，而且也能用來研究時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，甚至離散時間系統(tǒng)、離散事件動態(tài)系統(tǒng)、邏輯動力學系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這正是其優(yōu)勢所

70、在。</p><p>　　系統(tǒng)穩(wěn)定性是動態(tài)系統(tǒng)一個重要的，可以用定量方法研究和表示的定性指標。它反映的是系統(tǒng)的一種本質特征。這種特征不隨系統(tǒng)變換而改變，但可通過系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。這也是控制理論和控制工程的精髓。</p><p>　　非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的，我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。對于非線性系統(tǒng)，其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性，故只能分別

71、討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，由于只存在唯一的孤立平衡態(tài)，所以只有對線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論討論的是動態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問題。它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、分布參數系統(tǒng)。</p><p>　　李雅普諾夫第二法又稱為直接法。它是在用能量觀點分析穩(wěn)定性的基礎上建立起來的。若系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)

72、經激勵后，其儲存的能量將隨著時間推移而衰減。當趨于平衡態(tài)時，其能量達到最小值。反之，若平衡態(tài)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量，其儲存的能量將越來越大?；谶@樣的觀點，只要能找出一個能合理描述動態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數，通過考察該函數隨時間推移是否衰減，就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。</p><p><b>　　系統(tǒng)綜合</b></p><p>　　系

73、統(tǒng)綜合問題為已知系統(tǒng)系統(tǒng)結構和參數，以及所期望的系統(tǒng)運動形式或關于系統(tǒng)運動動態(tài)過程和目標的某些特征，所需要確定的是則需要施加于系統(tǒng)的外部輸入的大小或規(guī)律。</p><p>　　一般情況下，控制理論發(fā)展與控制系統(tǒng)設計的追求目標為解析的反饋控制作用規(guī)律(反饋控制律)。對復雜的動力學被控系統(tǒng)，在解析反饋控制規(guī)律難于求解的情形下，需要求系統(tǒng)的數值反饋控制規(guī)律或外部輸入函數的數值解序列(開環(huán)控制輸入)。</p>

74、<p>　　系統(tǒng)綜合首先需要確定關于系統(tǒng)運動形式，或關于系統(tǒng)運動動態(tài)過程和目標的某些特征的性能指標函數，然后據此確定控制規(guī)律。綜合問題的性能指標函數可分為優(yōu)化型和非優(yōu)化型性能指標，兩者差別在于：優(yōu)化性能指標是一類極值型指標，綜合的目的是使該性能指標函數取極小(極大)；而非優(yōu)化型性能指標是一類由不等式及等式約束的性能指標凸空間，一般只要求解的控制規(guī)律對應的性能指標到達該凸空間即可。對優(yōu)化型性能指標，需要函數優(yōu)化理論和泛函理論

75、求解控制規(guī)律；而對非優(yōu)化型性能指標一般存在解析方法求解控制規(guī)律，如極點配置方法。</p><p>　　對于非優(yōu)化型性能指標，按照對閉環(huán)系統(tǒng)期望的運動形式從不同的角度去規(guī)定性能，可以有多種提法和形式。常用的非優(yōu)化型性能指標提法有以下幾種：以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定作為性能指標，相應的綜合問題為鎮(zhèn)定問題：以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點位置或極點凸約束區(qū)域(空間)為性能指標，相應的綜合問題為極點配置問題。對線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各

76、種性能的品質指標(如過渡過程的快速性、超調量、周期性)，在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置所決定的。</p><p>　　因此，在進行系統(tǒng)設計時，設法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質指標的期望極點上，可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質指標。將一個MIMO系統(tǒng)通過反饋控制實現一個輸入只控制一個輸出的系統(tǒng)綜合問題稱為系統(tǒng)解耦問題。系統(tǒng)解耦對于高維復雜系統(tǒng)尤為重要。以使系統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地

77、跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標，相應得綜合問題稱為跟蹤問題。優(yōu)化型性能指標一般定義為關于狀態(tài)x(t)和輸入u(t)的積分型性能指標函數或關于末態(tài)x(tf)的末值型性能指標函數。而綜合的任務，就是要確定使性能指標函數取極值的控制規(guī)律，即最優(yōu)控制律。相應地性能指標函數值則稱為最優(yōu)性能。</p><p>　　系統(tǒng)綜合問題，無論是對優(yōu)化型還是非優(yōu)化型性能指標函數，首先存在2個主要問題。一個是控制的存在性問題，即所

78、謂可綜合條件、控制規(guī)律存在條件。顯然，只有對可綜合的問題，控制命題才成立，才有必要去求解控制規(guī)律。對不可綜合的問題，可以考慮修正性能指標函數，或改變被控系統(tǒng)的機理、結構或參數，以使系統(tǒng)可綜合條件成立。另一個是如何求解控制規(guī)律，即構造求解控制律的解析求解方法或計算機數值算法。利用這些算法，對滿足可綜合條件的系統(tǒng)，可確定控制規(guī)律，如確定相應的狀態(tài)反饋或輸出反饋矩陣。以現代技術的觀點，這些方法應方便地使用計算機實現，其相應的數值計算方法具有較

79、好的數值穩(wěn)定性，即在計算過程中可能出現的計算誤差是否被不斷放大、傳播，還是被抑制在一個小的范圍，其影響逐漸減弱。在綜合問題中，不僅存在可綜合問題和算法求解問題，還存在控制系統(tǒng)在工程實現上所涌現的一些理論問題。如：</p><p><b>　　狀態(tài)獲取問題</b></p><p>　　對狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，要實現已求解的狀態(tài)反饋規(guī)律，需要獲取被控系統(tǒng)的狀態(tài)信息，以構成反饋

80、。但對許多實際系統(tǒng)，所考慮的狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內部信息的一組變量，可能并不完全能直接測量或以經濟的方式測量。這就需要基于狀態(tài)觀測理論，根據系統(tǒng)模型，利用直接測量到的輸入輸出信息來構造或重構狀態(tài)變量信息。相應的理論問題稱為狀態(tài)重構問題，即觀測器問題。</p><p>　　建模誤差和參數攝動問題</p><p>　　對系統(tǒng)綜合問題，首先需建立一個描述系統(tǒng)動力學特性的數學模型。并且，系統(tǒng)分析與綜

81、合都是建立在模型基礎上的。系統(tǒng)模型是理想與現實，精確描述與簡化描述的折中，任何模型都會有建模誤差。此外，由于系統(tǒng)本身的復雜性及其所處環(huán)境的復雜性，系統(tǒng)的動力學特性會產生緩慢變化。這種變化在一定程度上可視為系統(tǒng)模型的參數攝動。這樣，基于理想模型綜合得到的控制器，運用于實際系統(tǒng)中所構成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，對這些建模誤差和參數攝動是否具有良好的抗干擾性(不敏感性)，是否使系統(tǒng)保持穩(wěn)定，是否使系統(tǒng)達到或接近預期的性能指標成為控制系統(tǒng)實現的關鍵問題。

82、該問題稱為系統(tǒng)魯棒性問題。基于提高系統(tǒng)魯棒性的控制綜合方法也稱為魯棒控制方法。</p><p><b>　　狀態(tài)反饋與輸出反饋</b></p><p>　　控制理論最基本的任務是，對給定的被控系統(tǒng)設計能滿足所期望的性能指標的閉環(huán)控制系統(tǒng)，即尋找反饋控制律。狀態(tài)反饋和輸出反饋是控制系統(tǒng)設計中兩種主要的反饋策略，其意義分別為將觀測到的狀態(tài)和輸出取作反饋量以構成反饋律，實現

83、對系統(tǒng)的閉環(huán)控制，以達到期望的對系統(tǒng)的性能指標要求。在經典控制理論中，一般只考慮由系統(tǒng)的輸出變量來構成反饋律，即輸出反饋。在現代控制理論的狀態(tài)空間分析方法中，多考慮采用狀態(tài)變量來構成反饋律，即狀態(tài)反饋。之所以采用狀態(tài)變量來構成反饋律，是因為狀態(tài)空間分析中所采用的模型為狀態(tài)空間模型，其狀態(tài)變量可完全描述系統(tǒng)內部動態(tài)特性。由于由狀態(tài)變量所得到的關于系統(tǒng)動靜態(tài)的信息比輸出變量提供的信息更豐富、更全面。因此，若用狀態(tài)來構成反饋控制律，與用輸出反

84、饋構成的反饋控制律相比，則設計反饋律有更大的可選擇的范圍，而閉環(huán)系統(tǒng)能達到更佳的性能。另一方面，從狀態(tài)空間模型輸出方程可以看出，輸出反饋可視為狀態(tài)反饋的一個特例。因此，采用狀態(tài)反饋應能達到更高的性能指標。</p><p><b>　　狀態(tài)反饋的描述式</b></p><p>　　對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B，C)，若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量來構成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為

85、狀態(tài)反饋系統(tǒng)。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結構可如圖6-1所示</p><p><b>　　輸出反饋的描述式</b></p><p>　　對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B，C)，若取系統(tǒng)的輸出變量來構成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為輸出反饋控制系統(tǒng)。輸出反饋控制系統(tǒng)的結構圖如下圖所示。</p><p>　　輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。</p

86、><p>　　帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)</p><p>　　帶全維狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，可得該閉環(huán)系統(tǒng)的如下幾點特性：</p><p><b>　　1. 分離特性</b></p><p>　　由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征值由矩陣塊A-BK的特征值和矩陣塊A-GC的特征值所組成，

87、即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測器部分的特征值所組成。這兩部分的特征值可單獨設計(配置)，互不影響，這種特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測器的分離特性。一般在工程上，為保證有較好的控制精度、快速性和超調量等動態(tài)指標，狀態(tài)觀測器部分A-GC的特征值的實部應遠小于狀態(tài)反饋部分A-BK的特征值的實部，即更遠離虛軸。</p><p>　　2. 傳遞函數的不變性</p><p>　　帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)

88、的傳遞函數陣完全等于直接采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數陣，即狀態(tài)觀測器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數陣，也就是不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性。</p><p>　　3. 狀態(tài)觀測誤差不能控</p><p>　　由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測誤差是不能控的，即不能由外部輸入去影響它。</p><p><b>　　最優(yōu)控制 </b>&l

89、t;/p><p>　　最優(yōu)控制問題的描述，就是將通常的最優(yōu)控制問題抽象成一個統(tǒng)一描述的數學問題，并用數學語言嚴格地表述出來。最優(yōu)控制問題的描述包括：被控系統(tǒng)的數學模型、目標集、容許控制、性能指標、最優(yōu)控制問題的描述。對許多實際被控系統(tǒng)，在一定精度范圍內，其最優(yōu)控制問題中的數學模型也可以分別采用線性定常系統(tǒng)、線性時變系統(tǒng)和非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式來描述。</p><p>　　目標集：動態(tài)系

90、統(tǒng)在控制u(t)的作用下總要發(fā)生從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉移，這種轉移可以理解為狀態(tài)空間的一個點或系統(tǒng)狀態(tài)的運動。在最優(yōu)控制問題中，系統(tǒng)運動的初始狀態(tài)(稱初態(tài))通常是已知的，即x(t0)=x0為已知，而所要達到的最終狀態(tài)(稱末態(tài))是控制所要求達到的目標。末態(tài)可以是狀態(tài)空間的一個點，更為一般的情況是末態(tài)要落在事先規(guī)定的范圍內，如要求末態(tài)滿足如下約束條件：g1(x(tf)，tf)=0 g2(x(tf)，tf)0。式中，g1(x(tf)

91、，tf)和g2(x(tf)，tf)為關于末態(tài)時刻tf和末態(tài)狀態(tài)x(tf)的非線性向量函數。實際上，該末態(tài)約束條件規(guī)定了狀態(tài)空間中的一個時變的或時不變的集合，此種滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱為目標集，記為M，并可表示為M={x(tf)：x(tf)Rn，g1(x(tf)，tf)=0，g2(x(tf)，tf)0}。有些最優(yōu)控制問題并沒有對末態(tài)加以約束，則該問題的目標集為整個狀態(tài)空間Rn，但此時并不意味著對末態(tài)沒有要求，系統(tǒng)還可以通過下面要介紹的性

92、能指標等約束末態(tài)。至于末態(tài)時刻tf，它可以事先規(guī)定，也可以由對末態(tài)的約束條件和性能指標等約束。</p><p>　　容許控制：輸入向量u(t)的各個分量ui(t)往往是具有不同的物理屬性和意義的控制量，在實際系統(tǒng)中，大多數控制量受客觀條件的限制，只能在一定范圍內取值。如飛船控制系統(tǒng)中控制量有大小范圍的限制；又如在控制量為開關量的控制系統(tǒng)中，輸入僅能取有限的幾個值，如-1，+1。由控制量約束條件所規(guī)定的點集稱為控制

93、域，并記為U。凡在閉區(qū)間[t0，tf]上有定義，且在控制域U內取值的每一個控制函數u(t)稱為容許控制，并記為u(t)U。通常假定容許控制u(t)是一個有界連續(xù)函數或者是分段連續(xù)函數。</p><p>　　性能指標：從前面的應用實例可以看出，最優(yōu)控制問題最后歸結到從所有容許控制中找出一種效果最好的控制律，這就需要一個能衡量控制效果好壞或評價控制品質優(yōu)劣的性能指標函數。例如， 飛船控制系統(tǒng)要求所攜帶的燃料最少或到達

94、末態(tài)的時間最短，而連續(xù)攪拌槽系統(tǒng)的性能指標為一個帶函數積分的指標，需求其最小。由于各種最優(yōu)控制問題所要解決的主要矛盾不同，設計者的著眼點不同，因此歸結出的性能指標是不同的。一般形式的性能指標為</p><p>　　式中，右邊第1項稱為末態(tài)性能指標，體現了對末態(tài)的要求；第2項稱為積分性能指標，體現了對系統(tǒng)狀態(tài)變化過程中的狀態(tài)x(t)和u(t)的要求。在通常情況下，可將各種不同的性能指標視為一般形式的性能指標的一種特

95、例。如飛船控制系統(tǒng)的性能指標可以視為當S(x(tf)，tf)=m(tf) L(x，u，t)=0時上述一般形式性能指標的一個特例。性能指標函數又稱為指標泛函、目標函數、代價函數和評價函數等。</p><p>　　最優(yōu)控制問題的描述：總結上述最優(yōu)控制問題的數學模型、目標集、容許控制以及性能指標，則最優(yōu)控制問題的描述可敘述為“已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)為</p><p>　　規(guī)定的末態(tài)

96、目標集為M={x(tf)： x(tf)Rn， g1(x(tf)，tf)=0， g2(x(tf)，tf)0}。求一容許控制u(t)U，t[t0，tf]，使被控系統(tǒng)由給定的初態(tài)x0出發(fā)，在tf>t0時刻轉移到目標集M，并使如下性能指標為最小。所謂的“最優(yōu)性”，是指被控系統(tǒng)相對于性能指標函數意義下的最優(yōu)性。不同的性能指標函數，最優(yōu)控制結果是不相同的。</p><p>　　動態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制</p&g

97、t;<p>　　所謂連續(xù)系統(tǒng)，即系統(tǒng)方程是用線性或非線性微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)。該類系統(tǒng)的控制問題是與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)和控制元件的模擬式實現相適應的，如模擬式電子運算放大器件、模擬式自動化運算儀表、模擬式液壓放大元件等。隨著計算機技術的發(fā)展及計算機控制技術的日益深入，離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題也必然成為最優(yōu)控制中需深入探討的控制問題，而且成為現代控制技術更為關注的問題。離散系統(tǒng)的控制問題為人們所重視的原因有二。1) 有些連續(xù)系統(tǒng)

98、的控制問題在應用計算機控制技術、數字控制技術時，通過采樣后成為離散化系統(tǒng)，如許多現代工業(yè)控制領域的實際計算機控制問題。2) 有些實際控制問題本身即為離散系統(tǒng)，如某些經濟計劃系統(tǒng)、人口系統(tǒng)的時間坐標只能以小時、天或月等標記；再如機床加工中心的時間坐標是以一個事件(如零件加工活動)的發(fā)生或結束為標志的。</p><p>　　最優(yōu)性原理與離散系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃法</p><p>　　基于對多階段決策

99、過程的研究，貝爾曼在20世紀50年代首先提出了求解離散多階段決策優(yōu)化問題的動態(tài)規(guī)劃法。如今，這種決策優(yōu)化方法在許多領域得到應用和發(fā)展，如在生產計劃、資源配置、信息處理、模式識別等方面都有成功的應用。下面要介紹的是，貝爾曼本人將動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化方法成功地應用于動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，即構成最優(yōu)控制的兩種主要求解方法之一的最優(yōu)控制動態(tài)規(guī)劃法。動態(tài)規(guī)劃的核心是貝爾曼最優(yōu)性原理。這個原理歸結為一個基本的遞推公式，求解多階段決策問題時，要從末端開始，

100、逆向遞推，直至始端。動態(tài)規(guī)劃的離散基本形式受到問題的維數的限制，應用有一定的局限性。但是，它用于解決線性離散系統(tǒng)的二次型性能指標的最優(yōu)控制問題特別有效。至于連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃法，不僅是一種可供選擇的有充分性的最優(yōu)控制求解法，它還揭示了動態(tài)規(guī)劃與變分法、極大值原理之間的關系，具有重要的理論價值。</p><p>　　最優(yōu)性原理一般問題的問題描述</p><p>　　在函數空間中

101、描述N階段的決策過程，為此先引進下述概念與定義。</p><p>　　1) 狀態(tài)向量x(k)，表示過程在k時刻的狀態(tài)。對控制問題，相當于狀態(tài)變量向量。</p><p>　　2) 決策向量u(k)，表示過程在k時刻的從某一狀態(tài)轉變?yōu)榱硪粻顟B(tài)的動因。對控制問題，則相當于控制輸入向量。</p><p>　　3) 策略{u(0)，u(1)，…，u(N-1)}，是個階段的決策

102、所組成的決策集合。</p><p>　　4) 代價J，由于狀態(tài)發(fā)生轉移所耗費的代價。對控制問題，相當于性能指標。設在決策u(k)的作用下，發(fā)生了狀態(tài)從x(k)到x(k+1)的轉移。顯然新的狀態(tài)x(k+1)完全取決于原來的狀態(tài)x(k)和所采取的決策u(k)。也可以把這種轉移看成是在決策u(k)作用下的狀態(tài)從x(k)到x(k+1)的一種變換，且這種變換關系是唯一的，并用x(k+1)=f(x(k)，u(k)，k)表示。