數(shù)學(xué)建模論文：投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題

1、<p>　　投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題</p><p>　　王萌 201011212813</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本論文主要討論并解決了在組合投資問題中的投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的有關(guān)問題。分別在不考慮投資項(xiàng)目之間的影響和考慮投資項(xiàng)目之間的影響以及不考慮風(fēng)險(xiǎn)和考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來使得

2、投資所獲得的總利潤(rùn)達(dá)到最大。</p><p>　　問題一是一典型的線性規(guī)劃問題。根據(jù)題目要求，要求第五年末的最大利潤(rùn)，則建立線性規(guī)劃模型，在LINDO中編程求得第五年末的最大利潤(rùn)為1418.704萬(wàn)元。第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，5，6，投資額分別為50000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，7，投資額分別為10083

3、.00，30000.00，40000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，8，投資額分別為50307.08，30000.00，30000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為30625.39，30000.00，40000.00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為30689.01，30000.00萬(wàn)元。</p><p>　　問題二是在問題一的基礎(chǔ)上，增加了約束條件（考慮項(xiàng)目間

4、的影響）的組合投資問題。建立非線性規(guī)劃模型，在LINGO中求解得到第五年末的最大利潤(rùn)為231762.8萬(wàn)元。第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，5，投資額分別為60000.00，60000.00， 30000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，6，投資額分別為60000.00，60000.00，40000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目

5、有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。</p><p>　　問題三在問題二的基礎(chǔ)上考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，要求風(fēng)險(xiǎn)最小，收益最大，是一雙目標(biāo)函數(shù)問題，求解過程中假設(shè)投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題。在LINGO中求解得到第五年末的最大利潤(rùn)為175244.8萬(wàn)元。第

6、一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6投資額分別為60000.00，60000.00，11670.25，30000.00，7784.336萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，3，5，6投資額分別為57395.06，54729.02，12711.78，2500.000，1342.021萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6，投資額分別為60000.00，60000.00，13511.02，30000.00，9012.173萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，

7、2，3，投資額分別為60000.00，60000.00，17037.64萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。</p><p>　　最后，對(duì)本文所建模型及求解方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)。</p><p><b>　　1 問題重述</b></p><p>　　由題意知，現(xiàn)有一筆20億的資金作為未來5年的投資資金，不

8、是將其投資于一個(gè)項(xiàng)目上，而是有8個(gè)項(xiàng)目可供選擇投資，并要求：項(xiàng)目1、項(xiàng)目2每年初投資，當(dāng)年年末回收本利（本金和利潤(rùn)）；項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項(xiàng)目5、項(xiàng)目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項(xiàng)目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。</p><p>　　1.公司財(cái)務(wù)分析人員的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求怎樣安排投資，使得第五年末的利潤(rùn)最大，也即

9、是五年累計(jì)的利潤(rùn)最大？</p><p>　　2.考慮各項(xiàng)目投資的相互影響的同時(shí)又考慮了其他的因素：項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資；對(duì)投資項(xiàng)目1，公司管理層爭(zhēng)取到一筆資金捐贈(zèng)，若在項(xiàng)目1中投資超過20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資。每年對(duì)各個(gè)項(xiàng)目投資的到期利潤(rùn)率各不相同且受到某些項(xiàng)目同時(shí)投資的影響，如同時(shí)對(duì)項(xiàng)目3和項(xiàng)目4投資時(shí)的到期利潤(rùn)率與項(xiàng)目3和項(xiàng)目4獨(dú)立投資不

10、同。所以應(yīng)在模型一中加以更多的限制來求解第五年末所得最大利潤(rùn)。</p><p>　　3.本題考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，并用這筆資金投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量，來求如何投資，使得總體風(fēng)險(xiǎn)最小，第五年末的利潤(rùn)最大。其它約束條件與二問相同。</p><p><b>　　2 條件假設(shè)</b></p><p>　　1.假設(shè)市場(chǎng)經(jīng)

11、濟(jì)在五年內(nèi)基本穩(wěn)定。</p><p>　　2. 無交易費(fèi)和投資費(fèi)用等的費(fèi)用開支。</p><p>　　3. 假設(shè)在五年內(nèi)產(chǎn)生的利潤(rùn)可作為下一年的投資資金。</p><p><b>　　4.對(duì)問題一：</b></p><p>　?。?）假設(shè)不考慮各投資項(xiàng)目間的影響以及存在的風(fēng)險(xiǎn)。</p><p>　

12、?。?）假設(shè)在五年內(nèi)各投資項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率不變。</p><p><b>　　5.對(duì)問題二：</b></p><p>　?。?）假設(shè)不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)。</p><p>　?。?）假設(shè)仍然考慮一問條件，如項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利。</p><p><b>　　6. 對(duì)問題三：</b&

13、gt;</p><p>　　（1）某些項(xiàng)目單獨(dú)投資或共同投資的風(fēng)險(xiǎn)損失率（標(biāo)準(zhǔn)差）每年基本相同。</p><p>　?。?）假設(shè)仍然考慮一問條件，如項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利。</p><p>　?。?）投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度。</p><p><b>　　3 符號(hào)說明</b></p>

14、;<p>　　下面將會(huì)用到以下符號(hào)：</p><p>　　----第五年末所得的利潤(rùn)。 ----第年末回收的本利。</p><p>　　----每年年初的可用來投資的資金。 ----第年初對(duì)第個(gè)項(xiàng)目的投資金額。 </p><p>　　----問題一中第個(gè)項(xiàng)目的預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率（）。 ----第個(gè)項(xiàng)目的投資上限。</p><

15、;p>　　-----問題二中各項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)，第年第個(gè)項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率。</p><p>　　-----問題二中某些兩個(gè)項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，第年第個(gè)項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率。</p><p>　　-----問題二中五六八項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率。</p><p>　　-----問題二中實(shí)際采用的第年第個(gè)項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率。</p><p>　　--

16、---問題二中第一項(xiàng)目獲得的捐贈(zèng)資金。 -----問題二中第年項(xiàng)目五可以重復(fù)投資的次數(shù)。</p><p>　　-----問題三中的總體投資風(fēng)險(xiǎn)。 -----問題三中實(shí)際采用的風(fēng)險(xiǎn)損失率。</p><p>　　-----問題三中第個(gè)項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率。</p><p>　　-----問題三中某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率。</p><p

17、>　　-----問題三中投資者能夠承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度。</p><p><b>　　4 問題分析</b></p><p>　　題目背景：隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來越多的人把目光轉(zhuǎn)移到投資上。為了獲得最大的利益，組合投資的風(fēng)險(xiǎn)與收益成為投資者必須考慮的問題。投資者在考慮投資項(xiàng)目的預(yù)期收益率的同時(shí)，也要考慮投資項(xiàng)目存在的風(fēng)險(xiǎn)。如何使利潤(rùn)最大化，風(fēng)險(xiǎn)最小化是投資者首要考慮

18、的問題。下面是對(duì)該問題的分析與解答。在分析解答之前給出以下定義：</p><p>　　預(yù)期收益率：預(yù)期收益率也稱為期望收益率，是指如果事件不發(fā)生的話可以預(yù)計(jì)到的收益率。本題中到期收益率與之類似，即到期利潤(rùn)率是指對(duì)某項(xiàng)目的一次投資中，到期回收利潤(rùn)與本金的比值。</p><p>　　風(fēng)險(xiǎn)：風(fēng)險(xiǎn)可以用收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來進(jìn)行衡量：方差越大，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越大；方差越小，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越小。在一定的假

19、設(shè)下，有收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量風(fēng)險(xiǎn)確實(shí)是合適的。風(fēng)險(xiǎn)損失率和風(fēng)險(xiǎn)一樣也可以用收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來進(jìn)行衡量。</p><p>　　1.題一，根據(jù)題意，在不考慮各項(xiàng)投資之間的相互影響以及投資存在的風(fēng)險(xiǎn)情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，即五年內(nèi)利潤(rùn)的和的最大值。則第五年末的最大利潤(rùn)就等于五年中各項(xiàng)投資項(xiàng)目的金額與該項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率的乘積之和。還應(yīng)考慮的限制條件為：</p><p>　　限制

20、條件1：每年可用來投資的最大金額。第一年為20億元。</p><p>　　限制條件2：對(duì)每項(xiàng)項(xiàng)目投資的最大金額。</p><p>　　2.題二, 根據(jù)題意, 在考慮各項(xiàng)投資之間的相互影響且不考慮在投資中的風(fēng)險(xiǎn)情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，即五年內(nèi)利潤(rùn)的和的最大值。</p><p>　　首先，應(yīng)根據(jù)附表數(shù)據(jù)求得各年對(duì)各項(xiàng)目的單獨(dú)投資的到期的利潤(rùn)率，以及各年對(duì)某些項(xiàng)目同

21、時(shí)投資的到期利潤(rùn)率，如同時(shí)對(duì)項(xiàng)目5、項(xiàng)目6和項(xiàng)目8投資的到期利潤(rùn)率與它們單獨(dú)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率不同，應(yīng)分情況考慮，即它們是否同時(shí)投資。然后，對(duì)投資項(xiàng)目1應(yīng)單獨(dú)考慮，因?yàn)楫?dāng)項(xiàng)目一投資大于20000萬(wàn)時(shí)，可以獲得1%的捐贈(zèng)，這是我們必須考慮的。其次，項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資。所以應(yīng)考慮項(xiàng)目5在五年內(nèi)的投資次數(shù)。</p><p>　　限制條件1：每年可用來投資的最大金額。</p><

22、;p>　　限制條件2：對(duì)每項(xiàng)項(xiàng)目投資的最大金額。</p><p>　　限制條件3：同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率不同。</p><p>　　3.題三,根據(jù)題意考慮各投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，即五年內(nèi)利潤(rùn)的和的最大值，并且使得風(fēng)險(xiǎn)最小。此問題為一雙目標(biāo)規(guī)劃問題。</p><p>　　首先，應(yīng)該把總的風(fēng)險(xiǎn)表示出來，即總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)

23、險(xiǎn)來度量。風(fēng)險(xiǎn)可以用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來衡量。其次，在考慮風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上來求解如何組合投資使得風(fēng)險(xiǎn)最小而利潤(rùn)最大。</p><p>　　限制條件1：每年可用來投資的最大金額。限制條件2：對(duì)每項(xiàng)項(xiàng)目投資的最大金額。</p><p>　　限制條件3：同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率不同。</p><p>　　限制條件4：同時(shí)投資與非同時(shí)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率（標(biāo)準(zhǔn)差）不同。</p

24、><p><b>　　5 模型建立</b></p><p>　　問題一：不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)和各投資項(xiàng)目間的相互影響，建立線形規(guī)劃模型求解。</p><p>　?。?）目標(biāo)函數(shù)：第五年末所得利潤(rùn)，即五年內(nèi)各項(xiàng)目產(chǎn)生的總利潤(rùn)</p><p>　　（2）約束條件1：每年年初可用來投資的金額應(yīng)大于等于每年年初投資各項(xiàng)目的總額：</

25、p><p>　　第年年初可用來投資的資金等于第年初未投資的資金加上第年末回收的本利。</p><p>　　第一年初可用來投資的資金</p><p>　　第一年末回收第一年投資中一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第二年初可用來投資的資金</p><p>　　第二年末回收第一年三四項(xiàng)目和第二年一二項(xiàng)目的本利</p>

26、;<p>　　第三年初可用來投資的資金</p><p>　　第三年末回收第一年五六項(xiàng)目、第二年三四項(xiàng)目和第三年一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第四年初可用來投資的資金</p><p>　　第四年末回收第二年五六項(xiàng)目、第三年三四項(xiàng)目和第四年一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第五年初可用來投資的資金</p>&l

27、t;p>　　第五年末回收第二年七項(xiàng)目、第三年五六八項(xiàng)目、第四年三四項(xiàng)目、第五年一二項(xiàng)目的本利 </p><p>　　約束條件2：每項(xiàng)項(xiàng)目在投資期間不能超過項(xiàng)目最大金額的限制</p><p>　　第一二項(xiàng)目每年均可以投資，可以投五次：</p><p>　　第三四項(xiàng)目每年初投資，第二年末才可回收本利，可投資四次：</p><

28、p>　　第五六項(xiàng)目每年初投資，第三年末才可回收本利，可投資三次：</p><p>　　第七項(xiàng)目第二年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次：</p><p>　　第八項(xiàng)目第三年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次：</p><p>　　所以可以建立線形規(guī)劃模型，利用LINGO軟件或LINGDO軟件求解。</p><p>　　問題二：不

29、考慮投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，建立非線性規(guī)劃模型求解。</p><p>　　根據(jù)題目中表二、表三分別求得各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)的投資額及到期利潤(rùn)率（見表一）以及一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的投資額及到期利潤(rùn)（見表二）。</p><p>　　表一. 各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)的到期利潤(rùn)率</p><p>　　表二. 一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)到期利潤(rùn)率</p><p>　　（

30、2）目標(biāo)函數(shù)：第五年末所得利潤(rùn)，即五年內(nèi)各項(xiàng)目產(chǎn)生的總利潤(rùn)</p><p>　?。?xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)，某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)）</p><p>　?。?）約束條件1：某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率。</p><p>　　1）當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，第年可得捐贈(zèng)資金，作為第年初的投資資金，當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，第年可得捐贈(zèng)資金。</p><p>　　2）當(dāng)三四項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，

31、 ，此時(shí)， 否則。</p><p>　　3）同理：當(dāng)五六項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)， ，此時(shí)，否則 。</p><p>　　4）當(dāng)?shù)谌瓿跷辶隧?xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，，此時(shí)，否則。</p><p>　　5）項(xiàng)目五為固定投資500萬(wàn)且可以重復(fù)投資，，。</p><p>　　約束條件2：每年年初可用來投資的金額應(yīng)大于等于每年年初投資各項(xiàng)目的總額：</p

32、><p>　　第一年初可用來投資的資金</p><p>　　第一年末回收第一年投資中一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第二年初可用來投資的資金</p><p>　　第二年末回收第一年三四項(xiàng)目和第二年一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第三年初可用來投資的資金</p><p>　　第三年末回收第一年

33、五六項(xiàng)目、第二年三四項(xiàng)目和第三年一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第四年初可用來投資的資金</p><p>　　第四年末回收第二年五六項(xiàng)目、第三年三四項(xiàng)目和第四年一二項(xiàng)目的本利</p><p>　　第五年初可用來投資的資金</p><p>　　第五年末回收第二年七項(xiàng)目、第三年五六八項(xiàng)目、第四年三四項(xiàng)目、第五年一二項(xiàng)目的本利

34、 </p><p>　　約束條件2：每項(xiàng)項(xiàng)目在投資期間不能超過項(xiàng)目最大金額的限制</p><p>　　第一二項(xiàng)目每年均可以投資，可以投五次：</p><p>　　第三四項(xiàng)目每年初投資，第二年末才可回收本利，可投資四次：</p><p>　　第五六項(xiàng)目每年初投資，第三年末才可回收本利，可投資三次：</p><p>　　

35、第七項(xiàng)目第二年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次：</p><p>　　第八項(xiàng)目第三年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次：</p><p>　　所以可以建立非線性規(guī)劃模型，利用LINGO軟件或LINDO軟件求解。</p><p>　　問題三：考慮投資風(fēng)險(xiǎn)的情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，并使風(fēng)險(xiǎn)最小。為此建立雙目標(biāo)規(guī)劃，但為計(jì)算簡(jiǎn)便，通過一定的假設(shè)條件將其轉(zhuǎn)化

36、為單目標(biāo)規(guī)劃問題。</p><p>　　根據(jù)題目，我們用預(yù)計(jì)到期收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量風(fēng)險(xiǎn)損失率。根據(jù)各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)的到期利潤(rùn)率（表一）和一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)到期利潤(rùn)率（表二），利用EXCEL中的STDEV函數(shù)，求得各項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率（表三）以及某些項(xiàng)目同時(shí)投資的風(fēng)險(xiǎn)損失率（表四）：</p><p>　　表三. 各項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率</p><p

37、>　　表四.某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率</p><p>　　在這里我們定義項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)度=項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)損失率*項(xiàng)目投資額/投資資金總額。則可以得到目標(biāo)函數(shù)：風(fēng)險(xiǎn)最小</p><p><b>　　利潤(rùn)最大</b></p><p>　　為了簡(jiǎn)化模型，我們給定投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)，則將雙目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)。也就是說：在滿足投資者能承受的最大

38、風(fēng)險(xiǎn)的情況下，如何使收益最大。</p><p><b>　　目標(biāo)函數(shù)：</b></p><p><b>　　約束條件：</b></p><p>　　約束條件1：與問題二中約束條件完全一樣，這里不再重復(fù)。</p><p>　　約束條件2：總體投資風(fēng)險(xiǎn)不能超過投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)</p>

39、<p>　　則項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)度應(yīng)小于投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)。</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　6 模型求解</b></p><p><b>　　問題一：</b></p><p>　　根據(jù)上面的分析和建立的模型知：</p>

40、<p>　　模型化解:實(shí)際在本題中</p><p><b>　　可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。</b></p><p>　　由以上分析并在LINDO中編程（源程序見附件一）得到第五年末所得利潤(rùn)的最大值為1418.704萬(wàn)元。各年的投資項(xiàng)目見下表（單位：萬(wàn)元）：</p><p>　　由上表可知：第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，5，6，投資額分別為5

41、0000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，7，投資額分別為10083.00，30000.00，40000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，8，投資額分別為50307.08，30000.00，30000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為30625.39，30000.00，40000.00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目

42、有1，2，投資額分別為30689.01，30000.00萬(wàn)元。</p><p><b>　　問題二：</b></p><p>　　根據(jù)上面的分析和建立的模型知：</p><p>　　由以上分析并在LINGO中編程（源程序見附件二）得到第五年末所得利潤(rùn)的最大值為231762.8萬(wàn)元。各年的投資項(xiàng)目見下表（單位：萬(wàn)元）：</p>&l

43、t;p>　　由上表可知：第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，5，投資額分別為60000.00，60000.00， 30000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，6，投資額分別為60000.00，60000.00，40000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.

44、00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。</p><p><b>　　問題三：</b></p><p>　　根據(jù)上面的分析和建立的模型知：</p><p>　　由以上分析并在LINGO中編程（源程序見附件三）得到第五年末所得利潤(rùn)的最大值為175244.8萬(wàn)元。各年的投資項(xiàng)目見下表（

45、單位：萬(wàn)元）：</p><p>　　由上表可知：第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6投資額分別為60000.00，60000.00，11670.25，30000.00，7784.336萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，3，5，6投資額分別為57395.06，54729.02，12711.78，2500.000，1342.021萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6，投資額分別為60000.00，60000.00，13

46、511.02，30000.00，9012.173萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，投資額分別為60000.00，60000.00，17037.64萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。</p><p><b>　　7 模型檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)</b></p><p>　　本文均采用規(guī)劃模型實(shí)現(xiàn)了組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題的優(yōu)化投資方案。

47、</p><p>　　問題一：?jiǎn)栴}一是一典型的線性規(guī)劃問題，在不考慮投資項(xiàng)目間的影響和投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，不難得到目標(biāo)函數(shù)和約束條件，在LINDO中很快得到全局最優(yōu)解。</p><p>　　問題二：?jiǎn)栴}二在問題一的基礎(chǔ)上，把投資項(xiàng)目間的影響考慮了進(jìn)來，增加了約束條件。由于各項(xiàng)目各年的收益率不同，增加了求解模型的難度。且將模型變得非線性化。在本模型中用LINGO的if選擇語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)其在組合投資中對(duì)個(gè)項(xiàng)

48、目是否同時(shí)投資的選擇，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了非線性模型的建立,并借助第一問的約束條件，在LINGO中編程，求得局部最優(yōu)解。</p><p>　　問題三：?jiǎn)栴}三在以上兩問的基礎(chǔ)上，又把投資風(fēng)險(xiǎn)考慮進(jìn)來，要求在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下建立模型求得投資方案以獲得最大利潤(rùn)，為雙目標(biāo)規(guī)劃模型，但在求解上有一定的難度，于是在此轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型。即假設(shè)投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度，這樣將雙目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為與二問類似的問題，并且投資越分散說明

49、投資風(fēng)險(xiǎn)越小。進(jìn)而得到各年的投資計(jì)劃，從投資計(jì)劃中看出，該投資計(jì)劃相對(duì)比一二問的投資項(xiàng)目分散，這說明該模型的假設(shè)還是比較合理的。</p><p>　　當(dāng)改變假設(shè)的最大風(fēng)險(xiǎn)度時(shí)，第五年末的最大利潤(rùn)也發(fā)生相應(yīng)的變化。</p><p><b>　　時(shí)，最大利潤(rùn)；</b></p><p><b>　　時(shí)，最大利潤(rùn)；</b><

50、/p><p><b>　　時(shí)，最大利潤(rùn)；</b></p><p>　　由上面的數(shù)據(jù)分析可知，投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度越大，所得的利潤(rùn)就越大。</p><p>　　但這還是有一定的局限性，對(duì)此還可以考慮以下方案：（1）在投資者要求的最低利潤(rùn)條件下，來求風(fēng)險(xiǎn)的最小值。即給定一個(gè)最小利潤(rùn)，在以此為約束的條件下來求風(fēng)險(xiǎn)的最小值，這樣也能在一定程度上將雙目標(biāo)

51、函數(shù)優(yōu)化為單目標(biāo)函數(shù)。（2）采用加權(quán)法，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和投資利潤(rùn)加于權(quán)重因子構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，再以一定的約束條件以及權(quán)重因子的約束為條件，用LINGO軟件編程求解相應(yīng)的投資方案。</p><p><b>　　8 參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]韓中庚。數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用。北京：高等教育出版社，2006.</p><p>　　[2]謝金星，薛

52、毅。優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件。北京：清華大學(xué)出版社，2006.</p><p><b>　　9 附錄</b></p><p>　　附源程序一：（LINDO中求解）</p><p><b>　　max </b></p><p>　　0.001x11+0.001x21+0.001x31+0

53、.001x41+0.001x51+0.0011x12+0.0011x22+ 0.0011x32+0.0011x42+0.0011x52+0.0025x13+0.0025x23+0.0025x33+0.0025x43+ 0.0027x14+0.0027x24+0.0027x34+0.0027x44+0.0045x15+0.0045x25+0.0045x35</p><p>　　+0.005x16+0.005x26+

54、0.005x36+0.008x27+0.0055x38</p><p><b>　　ST</b></p><p>　　x11<60000 x21<60000 x31<60000</p><p>　　x41<60000 x51<60000 x12<30000

55、</p><p>　　x22<30000 x32<30000 x42<30000</p><p>　　x52<30000 x23+x13<40000 x33+x23<40000</p><p>　　x43+x33<40000 x24+x14<30000 x34+x

56、24<30000</p><p>　　x44+x34<30000 x25+x15+x35<30000 x26+x16+x36<20000</p><p>　　x27<40000 x38<30000</p><p>　　x11+x12+x13+x14+x15+x16<200000</p>&l

57、t;p>　　x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27-0.001x11-0.0011x12+x13+x14+x15+x16<200000</p><p>　　x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38-0.001x21-0.0011x22-0.001x11-0.0011x12-0.0025x13-0.0027x14+x23+x24+x15+x16+x25+x26+x27<

58、;200000</p><p>　　x41+x42+x43+x44-0.001x31-0.0011x32-0.001x21-0.0011x22-0.001x11-0.0011x12-0.0025x23-0.0027x24-0.0025x13-0.0027x14-0.0045x15-0.005x16+x33+x34+x25+x26+x35+x36+x27+x38<200000</p><p

59、>　　x51+x52-0.001x41-0.0011x42-0.001x31-0.0011x32-0.001x21-0.0011x22-0.001x11-0.0011x12-0.0025x33-0.0027x34-0.0025x23-0.0027x24-0.0025x13-0.0027x14-0.0045x25-0.005x26-0.0045x15-0.005x16+x43+x44+x35+x36+x27+x38<20000

60、0</p><p><b>　　END</b></p><p>　　附源程序二：（LINGO中求解）</p><p>　　max=0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16+ 0.18431*x21+0.18962*x22+b23*x23+b24*x24+b25*x25+b

61、26*x26+(-4.27695)*x27+</p><p>　　0.1037*x31+0.18551*x32+b33*x33+b34*x34+b35*x35+b36*x36+b38*x38+</p><p>　　0.14449*x41+0.21065*x42+b43*x43+b44*x44+</p><p>　　0.18171*x51+0.24581*x52;&l

62、t;/p><p>　　x15=500*n1;x25=500*n2;x35=500*n3;</p><p>　　b13=@if(x13*x14#EQ#0,0.23334,0.30961);</p><p>　　b14=@if(x13*x14#EQ#0,0.29422,0.44849);</p><p>　　b15=@if(x15*x16#EQ#0,

63、0.69895,-0.01668);</p><p>　　b16=@if(x15*x16#EQ#0,0.75153,2.1279);</p><p>　　b23=@if(x23*x24#EQ#0,0.25128,0.73186);</p><p>　　b24=@if(x23*x24#EQ#0,0.3317,0.39391);</p><p>

64、　　b25=@if(x25*x26#EQ#0,0.73702,0.9724);</p><p>　　b26=@if(x25*x26#EQ#0,1.3867,0.36539);</p><p>　　b33=@if(x33*x34#EQ#0,0.25557,0.5624);</p><p>　　b34=@if(x33*x34#EQ#0,0.30819,0.43641);

65、</p><p>　　b35=@if(x35*x36#EQ#0,-0.16136,@if(x38#EQ#0,1.9492,-0.24845));</p><p>　　b36=@if(x35*x36#EQ#0,1.49251,@if(x38#EQ#0,-0.65437,2.06485));</p><p>　　b38=@if(x35*x36*x38#NE#0,-0.5

66、4385,-1.37174);</p><p>　　b43=@if(x43*x44#EQ#0,0.51921,0.26359);</p><p>　　b44=@if(x43*x44#EQ#0,0.25982,0.39107);</p><p>　　x11<60000;x21<60000;x31<60000;x41<60000;x51<6

67、0000;</p><p>　　x12<60000;x22<60000;x32<60000;x42<60000;x52<60000;</p><p>　　x23+x13<35000;x33+x23<35000;x43+x33<35000;</p><p>　　x24+x14<30000;x34+x24<30

68、000;x44+x34<30000;</p><p>　　x25+x15+x35<30000;x26+x16+x36<40000;</p><p>　　x27<30000;x38<30000;</p><p>　　g11=@if(x11#LT#20000,0,x11*0.01);</p><p>　　g21=@i

69、f(x21#LT#20000,0,x21*0.01);</p><p>　　g31=@if(x31#LT#20000,0,x31*0.01);</p><p>　　g41=@if(x41#LT#20000,0,x41*0.01);</p><p>　　g51=@if(x51#LT#20000,0,x51*0.01);</p><p>　　x1

70、1+x12+x13+x14+x15+x16-g11<200000;</p><p>　　x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27-0.14716*x11-0.15209*x12+x13+x14+x15+x16-g21<200000;</p><p>　　x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14

71、716*x11-0.15209*x12-b13*x13-b14*x14+x23+x24+x15+x16+x25+x26+x27-g31<200000;</p><p>　　x41+x42+x43+x44-0.1037*x31-0.18551*x32-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-

72、b15*x15-b16*x16+x33+x34+x25+x26+x35+x36+x27+x38-g41<200000;</p><p>　　x51+x52-0.14449*x41-0.21065*x42-0.1037*x31-0.18551*x32-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-x33*b33-x34*b34-b23*x23-b24*x24-

73、b13*x13-b14*x14-x25*b25-x26*b26-x15*b15-x16*b16+x43+x44+x35+x36+x27+x38-g51<200000;</p><p>　　@gin(n1);@gin(n2);@gin(n3);</p><p>　　@free(b13);@free(b23);@free(b33);@free(b43);</p><p

74、>　　@free(b14);@free(b24);@free(b34);@free(b44);</p><p>　　@free(b15);@free(b25);@free(b35);@free(b16);</p><p>　　@free(b26);@free(b36);@free(b38);@free(b27);</p><p><b>　　end&

75、lt;/b></p><p>　　附源程序三：（LINGO中求解）</p><p>　　max=0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16+ 0.18431*x21+0.18962*x22+b23*x23+b24*x24+b25*x25+b26*x26+(-4.27695)*x27+</p>

76、<p>　　0.1037*x31+0.18551*x32+b33*x33+b34*x34+b35*x35+b36*x36+b38*x38+</p><p>　　0.14449*x41+0.21065*x42+b43*x43+b44*x44+</p><p>　　0.18171*x51+0.24581*x52;</p><p>　　y0=200000;x

77、15=500*n1;x25=500*n2;x35=500*n3;</p><p>　　b13=@if(x13*x14#EQ#0,0.23334,0.30961);</p><p>　　b14=@if(x13*x14#EQ#0,0.29422,0.44849);</p><p>　　b15=@if(x15*x16#EQ#0,0.69895,-0.01668);<

78、/p><p>　　b16=@if(x15*x16#EQ#0,0.75153,2.1279);</p><p>　　b23=@if(x23*x24#EQ#0,0.25128,0.73186);</p><p>　　b24=@if(x23*x24#EQ#0,0.3317,0.39391);</p><p>　　b25=@if(x25*x26#EQ#0

79、,0.73702,0.9724);</p><p>　　b26=@if(x25*x26#EQ#0,1.3867,0.36539);</p><p>　　b33=@if(x33*x34#EQ#0,0.25557,0.5624);</p><p>　　b34=@if(x33*x34#EQ#0,0.30819,0.43641);</p><p>　

80、　b35=@if(x35*x36#EQ#0,-0.16136,@if(x38#EQ#0,1.9492,-0.24845));</p><p>　　b36=@if(x35*x36#EQ#0,1.49251,@if(x38#EQ#0,-0.65437,2.06485));</p><p>　　b38=@if(x35*x36*x38#NE#0,-0.54385,-1.37174);</p&

81、gt;<p>　　b43=@if(x43*x44#EQ#0,0.51921,0.26359);</p><p>　　b44=@if(x43*x44#EQ#0,0.25982,0.39107);</p><p>　　o13=@if(x13*x14#EQ#0,0.133006,0.171890);</p><p>　　o23=@if(x23*x24#EQ#

82、0,0.133006,0.171890);</p><p>　　o33=@if(x33*x34#EQ#0,0.133006,0.171890);</p><p>　　o43=@if(x43*x44#EQ#0,0.133006,0.171890);</p><p>　　o14=@if(x13*x14#EQ#0,0.024686,0.026737);</p>

83、<p>　　o24=@if(x23*x24#EQ#0,0.024686,0.026737);</p><p>　　o34=@if(x33*x34#EQ#0,0.024686,0.026737);</p><p>　　o44=@if(x43*x44#EQ#0,0.024686,0.026737);</p><p>　　o15=@if(x15*x16#EQ

84、#0,0.474215,0.636234);</p><p>　　o25=@if(x25*x26#EQ#0,0.474215,0.636234);</p><p>　　o35=@if(x35*x36#EQ#0,0.474215,@if(x38#EQ#0,0.636234,0.853814));</p><p>　　o16=@if(x15*x16#EQ#0,0.257

85、697,1.259849);</p><p>　　o26=@if(x25*x26#EQ#0,0.257697,1.259849);</p><p>　　o36=@if(x35*x36#EQ#0,0.257697,@if(x38#EQ#0,1.259849,0.904451));</p><p>　　o38=@if(x35*x36*x38#NE#0,1.510221,

86、2.508485);</p><p>　　o11=0.029458;o21=0.029458;o31=0.029458;o41=0.029458;o51=0.029458;</p><p>　　o12=0.030893;o22=0.030893;o32=0.030893;o42=0.030893;o52=0.030893;</p><p>　　o27=9.68890

87、9;a=0.01;</p><p>　　o11*x11/(y0+g11)<a;</p><p>　　o21*x21/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;</p><p>　　o31*x31/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x1

88、2+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><p>　　o41*x41/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x2

89、5-x26-x35-x36-x27-x38+g41)<a;</p><p>　　o51*x51/(y0+0.14449*x41+0.21065*x42+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+x33*b33+x34*b34+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+x25*b25+x2

90、6*b26+x15*b15+x16*b16-x43-x44-x35-x36-x27-x38+g51)<a;</p><p>　　o12*x12/(y0+g11)<a;</p><p>　　o22*x22/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;</p><p>　　o32*x32/(y0

91、+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><p>　　o42*x42/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24

92、*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36- x27-x38+g41)<a;</p><p>　　o52*x52/(y0+0.14449*x41+0.21065*x42+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+x33*b33+

93、x34*b34+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+x25*b25+x26*b26+x15*b15+x16*b16-x43-x44-x35-x36-x27-x38+g51)<a;</p><p>　　o13*x13/(y0+g11)<a;</p><p>　　o23*x23/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x1

94、5-x16+g21)<a;</p><p>　　o33*x33/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><p>　　o43*x43/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x

95、21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36- x27-x38+g41)<a;</p><p>　　o14*x14/(y0+g11)<a;</p><p>　　o24*x24/(y0+0.14716*

96、x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;</p><p>　　o34*x34/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><p>　　o44*x44/(y0+0.1037

97、*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36- x27-x38+g41)<a;</p><p>　　o15*x15/(y0+g11)<a;</p><p

98、>　　o25*x25/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;</p><p>　　o35*x35/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><

99、;p>　　o16*x16/(y0+g11)<a;</p><p>　　o26*x26/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;</p><p>　　o36*x36/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x2

100、4-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><p>　　o27*x27/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;</p><p>　　o38*x38/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-

101、x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;</p><p>　　x11<60000;x21<60000;x31<60000;x41<60000;x51<60000;</p><p>　　x12<60000;x22<60000;x32<60000;x42<60000;x52<60000;</p>

102、<p>　　x23+x13<35000;x33+x23<35000;x43+x33<35000;</p><p>　　x24+x14<30000;x34+x24<30000;x44+x34<30000;</p><p>　　x25+x15+x35<30000;x26+x16+x36<40000;</p><p

103、>　　x27<30000;x38<30000;</p><p>　　g11=@if(x11#LT#20000,0,x11*0.01);</p><p>　　g21=@if(x21#LT#20000,0,x21*0.01);</p><p>　　g31=@if(x31#LT#20000,0,x31*0.01);</p><p>

104、;　　g41=@if(x41#LT#20000,0,x41*0.01);</p><p>　　g51=@if(x51#LT#20000,0,x51*0.01);</p><p>　　x11+x12+x13+x14+x15+x16-g11<200000;</p><p>　　x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27-0.14716*x11-0.15

105、209*x12+x13+x14+x15+x16-g21<200000;</p><p>　　x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-b13*x13-b14*x14+x23+x24+x15+x16+x25+x26+x27-g31<200000;</p><p>　　x4

106、1+x42+x43+x44-0.1037*x31-0.18551*x32-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-b15*x15-b16*x16+x33+x34+x25+x26+x35+x36+x27+x38-g41<200000;</p><p>　　x51+x52-0.14449*x4

107、1-0.21065*x42-0.1037*x31-0.18551*x32-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-x33*b33-x34*b34-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-x25*b25-x26*b26-x15*b15-x16*b16+x43+x44+x35+x36+x27+x38-g51<200000;</p><p

108、>　　@gin(n1);@gin(n2);@gin(n3);</p><p>　　@free(b13);@free(b23);@free(b33);@free(b43);</p><p>　　@free(b14);@free(b24);@free(b34);@free(b44);</p><p>　　@free(b15);@free(b25);@free(b3