對非輕質(zhì)彈簧性質(zhì)的研究

1、<p><b>　　期末小組力學(xué)課題</b></p><p>　　題目：對計入自身質(zhì)量彈簧性質(zhì)的研究 </p><p>　　背景引入：從中學(xué)到大學(xué)，我們見過無數(shù)的物理題目，其中更是包含著許多與彈簧有關(guān)的習(xí)題，它們都有著一個共同的特點：彈簧是輕質(zhì)彈簧。將彈簧視為沒有重力，胡克定律則可以在很小的誤差范圍內(nèi)精確地成立。但生活中的問題并不是理想化情況，絕對的輕彈簧并

2、不存在，而且現(xiàn)實中的彈簧則大多是由金屬材料制作的，擁有著較大的質(zhì)量，毫無疑問，在這種情況下，我們不能忽略彈簧本身的質(zhì)量，應(yīng)當(dāng)在計算時將其質(zhì)量納入，這樣一來所得到的解的誤差就會大幅減小。</p><p>　　因此，我們小組準(zhǔn)備從理論上對彈簧在不同狀態(tài)下自身質(zhì)量對受力的影響，嘗試解在不同實際情境下的運(yùn)動情況，并對以上計算結(jié)果進(jìn)行實驗驗證。</p><p>　　同類問題當(dāng)前研究進(jìn)展：此問題典型的

3、經(jīng)典力學(xué)問題，由于涉及到的量不是很多，因此現(xiàn)在已有許多研究成果。此類問題一般會有多種解決方案，我們小組的目標(biāo)是利用這一學(xué)期以來學(xué)習(xí)的微積分知識對此問題進(jìn)行獨立研究與分析，并進(jìn)行實驗對自己的研究成果進(jìn)行檢驗。</p><p>　　最簡單的情況——豎直靜止受力</p><p>　　一根質(zhì)量為m的彈簧，其勁度系數(shù)為k，在沒有任何外力作用下的原長度為l，分析其在被豎直懸掛時的伸長量，并懸掛重物，再

4、次分析。</p><p>　　1.利用力學(xué)和數(shù)學(xué)原理進(jìn)行計算：</p><p>　　我們嘗試以下兩種思路解決這個問題：</p><p>　　將彈簧視作為質(zhì)點系，利用質(zhì)心進(jìn)行等效代替從而計算：</p><p>　　如上圖所示，A，B為彈簧的兩端，C為彈簧的質(zhì)心，當(dāng)緩慢放開B點使彈簧自由下垂時，彈簧便會伸長。假設(shè)彈簧的質(zhì)量均集中在C點，則等效為A

5、C彈簧承受重力mg，由彈簧的勁度系數(shù)特點知，AC段的勁度系數(shù)為2k。由胡克定律知伸長量。</p><p>　　思考：這樣做似乎是正確的，但如果仔細(xì)推敲就會發(fā)現(xiàn)，這種等效代替是不嚴(yán)密的，因為在彈簧處于豎直狀態(tài)時，彈簧每一處的拉力都不同。很明顯，下面部分的受力比上面的?。ㄔ娇拷鼞覓禳c所要拉起的質(zhì)量越大，從而伸長量越大）。因此彈簧每一點的伸長量都不同，因此胡克定律應(yīng)該只對每一段小微元是成立的，而此種等效代替則直接對一整

6、段彈簧運(yùn)用胡克定律，從方法上看是不嚴(yán)密的，因此我們考慮換一種做法。</p><p>　　b.考慮彈簧各點的伸長量不同，利用微積分方法進(jìn)行求解：</p><p>　　如上圖所示，將彈簧的懸掛點設(shè)為O點，向下作一條坐標(biāo)軸。設(shè)彈簧在自由狀態(tài)時其上某點為D，其坐標(biāo)為x，則在D點，長度為dx的微小段彈簧受到了其下方彈簧的拉力，此力的大小等于下方彈簧的重力。</p><p>　

7、　這是一小段彈簧的伸長量，要得到整根彈簧的伸長量需要對其積分：</p><p>　　我們可以看出，此種解法于上一種解法所得答案相同，因此我們有如下思考：在這種情況下，盡管彈簧的重力不能被忽略，但是在僅僅受到重力作用的情況下，彈簧受到的力和它的坐標(biāo)是線性關(guān)系，第一種嘗試實際上是一種平均值的計算，但恰好由于嚴(yán)格的線性關(guān)系，平均值不需要加權(quán)，與微積分方法所得結(jié)果相同。</p><p>　　2.利

8、用實驗驗證計算所得的結(jié)論</p><p><b>　　a．實驗器材</b></p><p>　　三種規(guī)格不同的勁度系數(shù)較小的較長金屬彈簧、米尺、彈簧測力計、天平</p><p><b>　　b．試驗方案</b></p><p>　　先用米尺測出彈簧的原長并用天平測量彈簧的質(zhì)量，再用彈簧測力計水平將彈

9、簧拉伸至不同的長度，算出其勁度系數(shù)。將彈簧懸掛起來，待其靜止后測量其長度得到彈簧的伸長量。</p><p>　　由于伸長量過小難以測出，我們決定將若干個相同的長彈簧進(jìn)行串聯(lián)從而增大質(zhì)量并減小勁度系數(shù)。</p><p>　　C．實驗結(jié)果（每組均由五個相同的彈簧串聯(lián)而成）</p><p>　　將其懸掛后測得長度如下（g取為9.8）：</p><p&g

10、t;　　實驗結(jié)論：可見，在誤差允許范圍內(nèi)（米尺的精確度不足）計算結(jié)論與實驗結(jié)果吻合。</p><p><b>　　掛著物體水平運(yùn)動</b></p><p>　　如上圖所示，水平面光滑，彈簧連著一個質(zhì)量為M的滑塊作勻加速直線運(yùn)動，拉力的大小為恒定值F，現(xiàn)分析其伸長程度。</p><p><b>　　進(jìn)行理論分析計算</b>&

11、lt;/p><p>　　仍然使用前面的等效代替法進(jìn)行計算</p><p>　　先計算質(zhì)心到彈簧端點的距離：</p><p>　　則端點到質(zhì)心的等效勁度系數(shù)：</p><p>　　則彈簧伸長的長度為：</p><p>　　利用微積分算法進(jìn)行計算：</p><p>　　與上一個情況的思路相似進(jìn)行計算：&

12、lt;/p><p>　　則D處微小彈簧伸長:</p><p><b>　　則</b></p><p>　　思考：我們可以看出，兩種算法的計算結(jié)果是相同的，這就是說，只要加速度是一定的，彈簧各處受力便和位置成線性關(guān)系，無論是否掛有重物，均可以用質(zhì)點系及質(zhì)心的相關(guān)知識將其解出。</p><p>　　利用實驗進(jìn)行結(jié)果驗證</

13、p><p>　　由于在這種情況下，彈簧處于運(yùn)動之中，表面摩擦力不能忽略，而且伸長的長度較小，我們無法準(zhǔn)確測出，以現(xiàn)有實驗條件無法較為準(zhǔn)確的進(jìn)行實驗。</p><p>　　應(yīng)用：探究水平狀態(tài)彈簧振子的周期</p><p><b>　　理論計算</b></p><p>　　如上圖所示，地面光滑，左端固定，下面嘗試解其振動的周期：

14、</p><p>　　彈簧單位長度的質(zhì)量為</p><p>　　我們分析彈簧振子，彈簧上各部分可看作與A的振動同相，對距離固定點的一小段彈簧，其速度可以表示為.</p><p>　　使用能量守恒進(jìn)行分析：</p><p>　　總的機(jī)械能由3部分組成：振子的動能、彈簧的勢能、彈簧的動能，其中：</p><p>　　則振子

15、的總機(jī)械能為：</p><p>　　其中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有，即：</p><p><b>　　由上式子可以得到：</b></p><p>　　上式即為簡諧振動的方程，由此可以得到振動的圓頻率為：</p><p><b>　　由此得其周期為：</b></p><p><

16、;b>　　實驗驗證</b></p><p><b>　　實驗器材</b></p><p>　　彈簧、小車（不同配重）、天平、閃頻攝像機(jī)、秒表</p><p><b>　　實驗方案</b></p><p>　　我們采用如上圖所示的裝置進(jìn)行實驗，考慮到應(yīng)該盡可能減小阻尼，我們于是采用了

17、較為光滑的地面和小車進(jìn)行實驗，因為滾動的阻力很小。將彈簧拉伸后使其振動，借助閃頻攝像機(jī)測出其運(yùn)動周期。</p><p><b>　　實驗數(shù)據(jù)如下</b></p><p>　　我們對組成彈簧1的一節(jié)小彈簧（m=23.0g,k=2135N/m）進(jìn)行實驗</p><p><b>　　結(jié)論</b></p><p

18、>　　可以看出，在誤差允許的范圍之內(nèi)實驗結(jié)果和計算結(jié)果吻合。</p><p><b>　　課題完成感想</b></p><p>　　我國的應(yīng)試教育使得我們在中學(xué)階段很少有機(jī)會能夠自己提出一些問題并解決之，但大學(xué)給我們提供了這樣的平臺，學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)以及更為深入的物理，我們有能力去解決一些生活中的物理問題，上述課題雖然你不是生活中常見問題的研究，但它很有代表性，我