2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、<p>  導數(shù)與微分在經(jīng)濟中的簡單應用</p><p><b>  作者:****</b></p><p><b>  一、邊際和彈性</b></p><p> ?。ㄒ唬┻呺H與邊際分析</p><p>  邊際概念是經(jīng)濟學中的一個重要概念,通常指經(jīng)濟變量的變化率,即經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)稱為邊際

2、。而利用導數(shù)研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法,就是邊際分析方法。</p><p>  1、總成本、平均成本、邊際成本</p><p>  總成本是生產(chǎn)一定量的產(chǎn)品所需要的成本總額,通常由固定成本和可變成本兩部分構成。用c(x)表示,其中x表示產(chǎn)品的產(chǎn)量,c(x)表示當產(chǎn)量為x時的總成本。</p><p>  不生產(chǎn)時,x=0,這時c(x)=c(o),c(o)就是固定成本

3、。</p><p>  平均成本是平均每個單位產(chǎn)品的成本,若產(chǎn)量由x0變化到,則:</p><p>  稱為c(x)在內(nèi)的平均成本,它表示總成本函數(shù)c(x)在內(nèi)的平均變化率。</p><p>  而稱為平均成本函數(shù),表示在產(chǎn)量為x時平均每單位產(chǎn)品的成本。</p><p>  例1,設有某種商品的成本函數(shù)為:</p><p&

4、gt;  其中x表示產(chǎn)量(單位:噸),c(x)表示產(chǎn)量為x噸時的總成本(單位:元),當產(chǎn)量為400噸時的總成本及平均成本分別為:</p><p>  如果產(chǎn)量由400噸增加到450噸,即產(chǎn)量增加=50噸時,相應地總成本增加量為:</p><p>  這表示產(chǎn)量由400噸增加到450噸時,總成本的平均變化率,即產(chǎn)量由400噸增加到450噸時,平均每噸增加成本13.728元。</p>

5、;<p>  類似地計算可得:當產(chǎn)量為400噸時再增加1噸,即=1時,總成本的變化為:</p><p>  表示在產(chǎn)量為400噸時,再增加1噸產(chǎn)量所增加的成本。</p><p>  產(chǎn)量由400噸減少1噸,即=-1時,總成本的變化為:</p><p>  表示產(chǎn)量在400噸時,減少1噸產(chǎn)量所減少的成本。</p><p>  在經(jīng)

6、濟學中,邊際成本定義為產(chǎn)量增加或減少一個單位產(chǎn)品時所增加或減少的總成本。即有如下定義:</p><p>  定義1:設總成本函數(shù)c=c(x),且其它條件不變,產(chǎn)量為x0時,增加(減少)1個單位產(chǎn)量所增加(減少)的成本叫做產(chǎn)量為x0時的邊際成本。即:</p><p><b>  其中=1或=-1。</b></p><p>  由例1的計算可知,在

7、產(chǎn)量x0=400噸時,增加1噸的產(chǎn)量時,邊際成本為13.7495;減少1噸的產(chǎn)量時,邊際成本為13.7505。由此可見,按照上述邊際成本的定義,在產(chǎn)量x0=400噸時的邊際成本不是一個確定的數(shù)值。這在理論和應用上都是一個缺點,需要進一步的完善。</p><p>  注意到總成本函數(shù)中自變量x的取值,按經(jīng)濟意義產(chǎn)品的產(chǎn)量通常是取正整數(shù)。如汽車的產(chǎn)量單位“輛”,機器的產(chǎn)量單位“臺”,服裝的產(chǎn)量單件“件”等,都是正整數(shù)

8、。因此,產(chǎn)量x是一個離散的變量,若在經(jīng)濟學中,假定產(chǎn)量的單位是無限可分的,就可以把產(chǎn)量x看作一個連續(xù)變量,從而可以引人極限的方法,用導數(shù)表示邊際成本。</p><p>  事實上,如果總成本函數(shù)c(x)是可導函數(shù),則有:</p><p>  由極限存在與無窮小量的關系可知:</p><p><b> ?。?)</b></p>&l

9、t;p><b>  其中,當很小時有:</b></p><p><b>  (2)</b></p><p>  產(chǎn)品的增加=1時,相對于產(chǎn)品的總產(chǎn)量而言,已經(jīng)是很小的變化了,故當=1時(2)成立,其誤差也滿足實際問題的需要。這表明可以用總成本函數(shù)在x0處的導數(shù)近似地代替產(chǎn)量為x0時的邊際成本。如在例1中,產(chǎn)量x0=400時的邊際成本近似地為

10、,即:</p><p>  誤差為0.05,這在經(jīng)濟上是一個很小的數(shù),完全可以忽略不計。而且函數(shù)在一點的導數(shù)如果存在就是唯一確定的。因此,現(xiàn)代經(jīng)濟學把邊際成本定義為總成本函數(shù)c(x)在x0處的導數(shù),這樣不僅克服了定義1邊際成本不唯一的缺點,也使邊際成本的計算更為簡便。</p><p>  定義2:設總成本函數(shù)c(x)為一可導函數(shù),稱</p><p>  為產(chǎn)量是x0

11、時的邊際成本。</p><p>  其經(jīng)濟意義是:近似地等于產(chǎn)量為x0時再增加(減少)一個單位產(chǎn)品所增加(減少)的總成本。</p><p>  若成本函數(shù)c(x)在區(qū)間I內(nèi)可導,則為c(x)在區(qū)間I內(nèi)的邊際成本函數(shù),產(chǎn)量為x0時的邊際為邊際成本函數(shù)在x0處的函數(shù)值。</p><p>  例2:已知某商品的成本函數(shù)為:</p><p><

12、b> ?。≦表示產(chǎn)量)</b></p><p>  求:(1)當Q=10時的平均成本及Q為多少時,平均成本最???</p><p> ?。?)Q=10時的邊際成本并解釋其經(jīng)濟意義。</p><p>  解:(1)由得平均成本函數(shù)為:</p><p><b>  當Q=10時:</b></p>

13、<p><b>  記,則</b></p><p>  令 得:Q=20</p><p>  而,所以當Q=20時,平均成本最小。</p><p>  這個不能省去的,見課本P155(第二充分條件)</p><p> ?。?)由得邊際成本函數(shù)為:</p><p>  則當產(chǎn)量Q=

14、10時的邊際成本為5,其經(jīng)濟意義為:當產(chǎn)量為10時,若再增加(減少)一個單位產(chǎn)品,總成本將近似地增加(減少)5個單位。</p><p>  2、總收益、平均收益、邊際收益</p><p>  總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得以的全部收入,表示為R(x),其中x表示銷售量(在以下的討論中,我們總是假設銷售量、產(chǎn)量、需求量均相等)。</p><p>  平均收益函數(shù)為,

15、表示銷售量為x時單位銷售量的平均收益。</p><p>  在經(jīng)濟學中,邊際收益指生產(chǎn)者每多(少)銷售一個單位產(chǎn)品所增加(減少)的銷售總收入。</p><p>  按照如上邊際成本的討論,可得如下定義。</p><p>  定義3:若總收益函數(shù)R(x)可導,稱</p><p>  為銷售量為x0時該產(chǎn)品的邊際收益。</p>&l

16、t;p>  其經(jīng)濟意義為在銷售量為x0時,再增加(減少)一個單位的銷售量,總收益將近似地增加(減少)個單位。</p><p>  稱為邊際收益函數(shù),且</p><p>  3、總利潤、平均利潤、邊際利潤</p><p>  總利潤是指銷售x個單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入,即總收益與總成本之差,記L(x)為總利潤,則:</p><p> ?。?/p>

17、其中x表示銷售量)</p><p><b>  稱為平均利潤函數(shù)</b></p><p>  定義4:若總利潤函數(shù)L(x)為可導函數(shù),稱</p><p>  為L(x)在x0處的邊際利潤。</p><p>  其經(jīng)濟意義為在銷售量為x0時,再多(少)銷售一個單位產(chǎn)品所增加(減少)的利潤。</p><p

18、>  根據(jù)總利潤函數(shù),總收益函數(shù)、總成本函數(shù)的定義及函數(shù)取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結(jié)論。</p><p><b>  由定義,</b></p><p><b>  令</b></p><p>  結(jié)論1:函數(shù)取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本。</p><p>  又

19、由L(x)取得最大值的充分條件:</p><p><b>  可得:</b></p><p>  結(jié)論2:函數(shù)取得最大利潤的充分條件是:邊際收益等于邊際成本且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。</p><p>  結(jié)論1與結(jié)論2稱為最大利潤原則。</p><p>  例3:某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本2000元,每生

20、產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元。已知總收益R為年產(chǎn)量Q的函數(shù),且</p><p>  問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時,總利潤最大?此時總利潤是多少?</p><p>  解:由題意總成本函數(shù)為:</p><p>  從而可得利潤函數(shù)為:</p><p><b>  令</b></p><p>  所以Q=3

21、00時總利潤最大,此時L(300)=25000,即當年產(chǎn)量為300個單位時,總利潤最大,此時總利潤為25000元。</p><p>  若已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=P(x),P為單位產(chǎn)品售價,x為產(chǎn)品需求量,則需求與收益之間的關系為:</p><p><b>  這時</b></p><p>  其中為邊際需求,表示當需求量為x時,再增加一個單

22、位的需求量,產(chǎn)品價格近似地增加個單位。關于其它經(jīng)濟變量的邊際,這里不再贅述。我們以一道例題結(jié)束邊際的討論。</p><p>  例4:設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其中P為價格,x為需求量,求邊際收入函數(shù)以及x=20、50和70時的邊際收入,并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。</p><p>  解:由題設有,于是,總收入函數(shù)為:</p><p>  于是邊際收入函數(shù)為:</

23、p><p>  由所得結(jié)果可知,當銷售量(即需求量)為20個單位時,再增加銷售可使總收入增加,多銷售一個單位產(chǎn)品,總收入約增加12個單位;當銷售量為50個單位時,總收入的變化率為零,這時總收入達到最大值,增加一個單位的銷售量,總收入基本不變;當銷售量為70個單位時,再多銷售一個單位產(chǎn)品,反而使總收入約減少8個單位,或者說,再少銷售一個單位產(chǎn)品,將使總收入少損失約8個單位。</p><p>  

24、(二)彈性與彈性分析</p><p>  彈性概念是經(jīng)濟學中的另一個重要概念,用來定量地描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的反應程度。</p><p><b>  1.問題的提出</b></p><p>  設某商品的需求函數(shù)為,其中P為價格。當價格P獲得一個增量時,相應地需求量獲得增量,比值表示Q對P的平均變化率,但這個比值是一個與度量單位

25、有關的量。</p><p>  比如,假定該商品價格增加1元,引起需求量降低10個單位,則;若以分為單位,即價格增加100分(1元),引起需求量降低10個單位,則。由此可見,當價格的計算單位不同時,會引起比值的變化。為了彌補這一缺點,采用價格與需求量的相對增量,它們分別表示價格和需求量的相對改變量,這時無論價格和需求量的計算單位怎樣變化,比值都不會發(fā)生變化,它表示Q對P的平均相對變化率,反映了需求變化對價格變化的

26、反應程度。</p><p><b>  2、彈性的定義</b></p><p>  定義1:設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,且,如果極限</p><p>  存在,則稱此極限值為函數(shù)在點x0處的點彈性,記為;</p><p><b>  稱比值</b></p><p>  為函數(shù)

27、在之間的平均相對變化率,經(jīng)濟上也叫做點之間的弧彈性。</p><p>  由定義可知:,且當時,有:</p><p>  即點彈性近似地等于弧彈性。</p><p>  如果函數(shù)在區(qū)間(a、b)內(nèi)可導,且,則稱為函數(shù)在區(qū)間(a、b)內(nèi)的點彈性函數(shù),簡稱為彈性函數(shù)。</p><p>  函數(shù)在點x0處的點彈性與之間的弧彈性的數(shù)值可以是正數(shù),也可

28、以是負數(shù),取決于變量y與變量x是同方向變化(正數(shù))還是反方向變化(負數(shù))。彈性數(shù)值絕對值的大小表示變量變化程度的大小,且彈性數(shù)值與變量的度量單位無關。下面給出證明。</p><p>  設為一經(jīng)濟函數(shù),變量x與y的度量單位發(fā)生變化后,自變量由x變?yōu)?,函?shù)值由y變?yōu)椋?,則。</p><p><b>  證明:</b></p><p><b

29、>  即彈性不變。</b></p><p>  由此可見,函數(shù)的彈性(點彈性與弧彈性)與量綱無關,即與各有關變量所用的計量單位無關。這使得彈性概念在經(jīng)濟學中得到廣泛應用,因為經(jīng)濟中各種商品的計算單位是不盡相同的,比較不同商品的彈性時,可不受計量單位的限制。</p><p>  下面介紹幾個常用的經(jīng)濟函數(shù)的彈性。</p><p><b> 

30、 3、需求的價格彈性</b></p><p>  需求指在一定價格條件下,消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品量。消費者對某種商品的需求受多種因素影響,如價格、個人收入、預測價格、消費嗜好等,而價格是主要因素。因此在這里我們假設除價格以外的因素不變,討論需求對價格的彈性。</p><p>  定義2:設某商品的市場需求量為Q,價格為P,需求函數(shù)Q=Q(P)可導,則稱</

31、p><p>  為該商品的需求價格彈性,簡稱為需求彈性,通常記為。</p><p>  需求彈性表示商品需求量Q對價格P變動的反應強度。由于需求量與價格P反方向變動,即需求函數(shù)為價格的減函數(shù),故需求彈性為負值,即。因此需求價格彈性表明當商品的價格上漲(下降)1%時,其需求量將減少(增加)約。</p><p>  在經(jīng)濟學中,為了便于比較需求彈性的大小,通常取的絕對值,并

32、根據(jù)的大小,將需求彈性化分為以下幾個范圍。</p><p> ?、?當=1(即)時,稱為單位彈性,這時當商品價格增加(減少)1%時,需求量相應地減少(增加)1%,即需求量與價格變動的百分比相等。</p><p> ?、?當>1(即)時,稱為高彈性(或富于彈性),這時當商品的價格變動1%時,需求量變動的百分比大于1%,價格的變動對需求量的影響較大。</p><p&g

33、t;  ③ 當<1(即)時,稱為低彈性(或缺乏彈性),這時當商品的價格變動1%,需求量變動的百分比小于1%,價格的變動對需求量的影響不大。</p><p> ?、?當=0(即)時,稱為需求完全缺乏彈性,這時,不論價格如何變動,需求量固定不變。即需求函數(shù)的形式為Q=K(K為任何既定常數(shù))。如果以縱坐標表示價格,橫坐標表示需求量,則需求曲線是垂直于橫坐標軸的一條直線(如圖(1))。</p><

34、;p> ?、?當(即)時,稱為需求完全富于彈性。表示在既定價格下,需求量可以任意變動。即需求函數(shù)的形式是P=K(K為任何既定常數(shù)),這時需求曲線是與橫軸平行的一條直線(如圖(2))。</p><p>  圖(1) 圖(2)</p><p>  在商品經(jīng)濟中,商品經(jīng)營者關心的是提價()或降價()對總收益的影響。下面我們就利用彈性的概念

35、,來分析需求的價格彈性與銷售者的收益之間的關系。</p><p><b>  事實上,由于</b></p><p>  可見,由價格P的微小變化(很小時)而引起的銷售收益R=PQ的改變量為</p><p><b>  由可知,,于是</b></p><p>  當時(單位彈性)收益的改變量是較價格改

36、變量的高階無窮小,價格的變動對收益沒有明顯的影響。當(高彈性),需求量增加的幅度百分比大于價格下降(上浮)的百分比,降低價格()需求量增加即購買商品的支出增加,即銷售者總收益增加(),可以采取薄利多銷多收益的經(jīng)濟策略;提高價格()會使消費者用于購買商品的支出減少,即銷售收益減少()。</p><p>  當時,(低彈性)需求量增加(減少)的百分低于價格下降(上?。┑陌俜直?,降低價格()會使消費者用于購買商品的支出

37、減少,即銷售收益減少();提高價格會使總收益增加()。</p><p>  綜上所述,總收益的變化受需求彈性的制約,隨著需求彈性的變化而變化,其關系如圖(3)</p><p><b>  圖(3)</b></p><p>  例1:設某商品的需求函數(shù)為</p><p>  (1)求需求彈性函數(shù)及P=6時的需求彈性,并給出

38、經(jīng)濟解釋。</p><p> ?。?)當P取什么值時,總收益最大?最大總收益是多少?</p><p><b>  解:(1)</b></p><p><b>  低彈性</b></p><p>  經(jīng)濟意義為當價格P=6時,若增加1%,則需求量下降1/3%,而總收益增加()。</p>

39、<p><b>  (2)</b></p><p><b>  令 </b></p><p>  且當P=12時,R’’<0</p><p>  故當價格P =12時,總收益最大,最大總收益為72。</p><p>  例2:已知在某企業(yè)某種產(chǎn)品的需求彈性在1.3-2.1之間,如

40、果該企業(yè)準備明年將價格降低10%,問這種商品的需求量預期會增加多少?總收益預期會增加多少?</p><p>  解:由前面的分析可知</p><p><b>  于是當時</b></p><p><b>  當時</b></p><p>  可見,明年降價10%時,企業(yè)銷售量預期將增加約13% -

41、21%;總收益預期將增加約3% - 11%。</p><p><b>  4、供給的價格彈性</b></p><p>  定義3:設某商品供給函數(shù)可導,(其中P表示價格,Q表示供給量)則稱:</p><p>  為該商品的供給價格彈性,簡稱供給彈性,通常用表示。</p><p>  由于同方向變化,故>0。它表明當

42、商品價格上漲1%時,供給量將增加%。</p><p>  對的討論,完全類似于需求彈性,這里不再重復。</p><p>  至于其它經(jīng)濟變量的彈性,讀者可根據(jù)上面介紹的需求彈性與供給彈性,進行類似的討論。</p><p><b>  練習題</b></p><p>  1、設某商品的需求函數(shù)和成本函數(shù)分別為:</p

43、><p>  其中x為銷售量(產(chǎn)量),P為價格。求邊際利潤函數(shù),并計算x=150和x=400時的邊際利潤,解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。</p><p>  2.某種商品的需求量Q與價格P(單位:元)的關系式為:</p><p> ?。?)求需求彈性函數(shù)</p><p> ?。?)當價格P=10元時,再增加1%,該商品的需求量Q如何變化。</p&

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