階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用

1、第8章微分方程與差分方程8.4一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用習(xí)題解答11某商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為（其中均為正常數(shù)）。dQabP??sQcdP???abcd假設(shè)商品價格是時間的函數(shù)，已知初始價格，且在任一時刻，價格的Pt0(0)PP?t()Pt變化率與這一時刻的超額需求成正比（比例常數(shù)為）。dsQQ?0k?⑴求供需相等時的價格（均衡價格）；eP⑵求價格的表達(dá)式；()Pt⑶分析價格隨時間的變化情況。()Pt【解】⑴供需相等時的價格

2、，即為滿足的值，dsQQ?P即由已知得，解出得：。abPcdP????PeacPbd???⑵求價格的表達(dá)式；()Pt由題設(shè)得關(guān)系式，即為，()dsdPkQQdt??[()()]dPkabPcdPdt?????整理得一階線性微分方程，()()dPkbdPkacdt????其齊次部份的解為，整理得()0dPkbdPdt???1ln()PkbdtC????，()kbdtPCe???即設(shè)方程的解為，()dPbdPacdt????()()kbdt

3、PCte???將代入方程，()()kbdtPCte???()()dPkbdPkacdt????得，()()()()()()()()()kbdtkbdtkbdtCtekbdCtekbdCtekac????????????即為，積分得，()()()kbdtCtkace???()()kbdtacCteCbd?????即得通解，()()[]kbdtkbdtacPeCebd???????()kbdtacCebd??????由于初始價格，0(0)P

4、P?即有，即，00acPCebd????0acCPbd????0ePP??即知價格的表達(dá)式為。()Pt()0()()kbdteePtPPPe?????⑶分析價格隨時間的變化情況：()Pt第8章微分方程與差分方程8.4一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用習(xí)題解答322(2)yxC???把初始條件代入解得，0|1xy??3C??于是總成本函數(shù)為－。22(2)3yx???說明：其中建模方法關(guān)系到邏輯斯蒂方程，是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。邏輯斯諦方程是

5、一種非線性的微分方程，它的數(shù)學(xué)模型屬于一條連續(xù)的，單調(diào)遞增的，單參數(shù)k為上漸近線的S型曲線。眾所周知，經(jīng)濟(jì)學(xué)上存在著大量的S型變化的現(xiàn)象，而邏輯斯諦方程是可以描述這種變化的數(shù)學(xué)模型。其特點是一開始增長較慢，中間段增長速度較快，以后的增長速度下降并趨于穩(wěn)定。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，如果問題的基本特征是：在時間t很小時，呈指數(shù)型增長；而當(dāng)t不斷增大，增長速度卻隨之下降，且越來越接近一個確定的值時，可以考慮運用邏輯斯諦方程加以解決。利用邏輯斯諦方程的思想

6、可以很好地分析一些經(jīng)濟(jì)問題，例如新產(chǎn)品在市場中的發(fā)展。根據(jù)邏輯斯諦方程，建立數(shù)學(xué)模型，我們可以建立一個新產(chǎn)品的推廣模型。例如：某種新產(chǎn)品問世，t時刻的銷量為x(t)，由于產(chǎn)品屬于新型產(chǎn)品，沒有可替代的產(chǎn)品，因此t時刻產(chǎn)品銷售量的增長率與x(t)成正比。同時，產(chǎn)品的銷售量存在著一定的市場容量N，統(tǒng)計表明與尚未購買的此新產(chǎn)品的潛在客戶數(shù)量Nx(t)也呈正比，于是有=kx(Nx)符合邏輯斯諦方程的模型，于是有通解=kx（Nx）。其中k為比例系

7、數(shù).4在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中，發(fā)現(xiàn)某地區(qū)的國民收入，國民儲蓄和投資均是時間的函ySIt數(shù)，且儲蓄額是國民收入的，投資額為國民收入增長率的，若當(dāng)時，國民收S110130t?入為5億元，試求國民收入函數(shù)（假定在時間的儲蓄額全部用于投資）。t在時間的儲蓄額全部用于投資t【解】由題設(shè)得：，，110Sy?13Iy?題目假定在時間的儲蓄額全部用于投資，即，tSI?于是得，即為，積分得，11103yy?1310dydty?310tyCe?代入初始條件，，得