數(shù)值插值與擬合課程設(shè)計(jì)論文

1、<p>　　《科學(xué)與工程計(jì)算課程設(shè)計(jì)》報(bào)告書</p><p>　　題 目： 數(shù)值插值與擬合 </p><p>　　姓 名： XXX </p><p>　　同組人員： XXXXXXXXX XXX </p><p>　　班 級： XXXX

2、XX </p><p>　　學(xué) 號： 08100XXX </p><p>　　指導(dǎo)教師： XXXX </p><p>　　2010年06月 21 日</p><p><b>　　目 錄</b></p><

3、;p><b>　　引言</b></p><p>　　插值 ------------------------------------------------------------- 1 </p><p>　　擬合 --------------------------------------------------------------1</p&

4、gt;<p><b>　　理論描述</b></p><p>　　1.插值法的基本原理 -------------------------------------------------2</p><p>　　2．常見插值法 ---------------------------------------------------------3</p&g

5、t;<p>　　3.插值法公式描述-------------------------------------------------------3</p><p>　　插值與擬合的Matlab或C程序?qū)崿F(xiàn)------------------------6</p><p>　　插值及擬合實(shí)際應(yīng)用例-----------------------------------------

6、-7</p><p>　　插值及擬合優(yōu)缺點(diǎn)------------------------------------------------11</p><p>　　六、參考文獻(xiàn)--------------------------------------------------------------11</p><p><b>　　一 引言</b&g

7、t;</p><p>　　1、在我們生活中許多實(shí)際問題都是用函數(shù)y=f(x)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的關(guān)心，其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過實(shí)驗(yàn)或觀測得到的。雖然f(x)在某個(gè)區(qū)間[a,b]上存在的，有的還是連續(xù)的，但卻只能給出[a,b]上一系列點(diǎn)xi的函數(shù)值yi=f(xi)（i=0,1,…,n），這只是一張函數(shù)表，為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表上的函數(shù)值，因此我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表構(gòu)造一個(gè)既能反映函數(shù)f(x)的

8、特性、又便于計(jì)算的簡單函數(shù)P(x)，用P(x)近似f(x)。通常選一類較簡單的函數(shù)如代數(shù)多項(xiàng)式或分段函數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式作為P(x)并使P(xi)=f(xi)對于i=0,1…，n成立,這樣確定的P(x)就是我們希望得到的插值函數(shù)。</p><p>　　插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來自于生產(chǎn)實(shí)踐，早在一千多年前我國科學(xué)家在研究歷法中就應(yīng)用里線性插值與二次插值，但它的基本理論和結(jié)果卻是在微積分產(chǎn)生以后逐步完善的，其應(yīng)用也

9、日益增多。特別是在電子計(jì)算機(jī)廣泛使用以后，由于航空、造船、精密機(jī)械加工等實(shí)際問題的需要，插值法在實(shí)踐上和理論上顯得更為重要。</p><p>　　例如：在現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中用計(jì)算機(jī)程序控制加工機(jī)械零件，根據(jù)設(shè)計(jì)可給出零件外形曲線的某些型值點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，加工時(shí)為控制每步走刀方向及步數(shù)，就要算出零件外形曲線其他點(diǎn)的函數(shù)值，才能加工出外表光滑的零件，這就是求插值函數(shù)的問題。</p>

10、<p>　　2、在科學(xué)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法研究中，往往要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=0,1,…,n)中尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系y=F(x)。由于觀測數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)往往不準(zhǔn)確，因此不要求y=F(x)經(jīng)過所有點(diǎn)(xi,yi),而只要求在給定點(diǎn)xi上的誤插i=F(xi)—yi (i=0,1…,m) 按某種標(biāo)準(zhǔn)最小。求擬合曲線時(shí)首先要確定F(x)的形式，這不是單純的數(shù)學(xué)問題，還與所研究的問題的運(yùn)動規(guī)律及所得觀測數(shù)據(jù)(xi,yi

11、)有關(guān)，通常要從問題的運(yùn)動規(guī)律及給定數(shù)據(jù)描述圖來確定F(xi)的形式，并通過實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果。如果待定函數(shù)是線性的就叫做線性擬合或線性回歸，否則叫做非線性擬合或非線性回歸，表達(dá)式也可以是分段函數(shù)這種情況下叫做樣條擬合。  本文主要就插值與擬合的常用方法進(jìn)行簡要的分析與程序?qū)嶒?yàn)及 實(shí)際例題分析。</p><p><b>　　二 理論算法描述</b></p><

12、;p>　　1．插值法的基本原理</p><p>　　設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間[a, b]上, X0 X1 …Xn是[a, b]上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值為已知 f(x0) f(x1) …f(xn) ,</p><p>　　即 yi=f(xi) 若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù) 滿足 </p><p><b>　　

13、（2.1）</b></p><p>　　則稱 為f(x)的一個(gè)插值函數(shù), f(x)為被插函數(shù), 點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn), 稱(2.1)式為插值條件, 而誤差函數(shù)R(x)= 稱為插值余項(xiàng), 區(qū)間[a, b]稱為插值區(qū)間, 插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插, 否則稱外插 </p><p>　　插值函數(shù) 在n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn) xi (i=0

14、,1,…,n )處與f(xi)相等,在其它點(diǎn)x就用 的值作為f(x) 的近似值。這一過程稱為插值，點(diǎn)x稱為插值點(diǎn)。換句話說, 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用 的值作為f(x)的近似值。</p><p>　　2.常見插值法與擬合曲線</p><p>　　1代數(shù)插值法，2 Lagrange插值，3逐次線性插值，4 Newon插值，</p>

15、<p>　　5等距節(jié)點(diǎn)插值，6 Hermite, 7 分段低次插值，8三次樣條插值，9多元函數(shù)插值，10切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值 11三角插值。</p><p>　　1直線 2 多項(xiàng)式 一般n=2,3 不宜過高 3雙曲線 (一支) 4指數(shù)曲線 </p><p>　　3.插值與擬合公

16、式描述</p><p><b>　　1）代數(shù)插值法</b></p><p>　　設(shè) </p><p>　　若滿足P(xi)=f(xi) ai R (i=0,1,…n) 則稱P(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式。</p><p>　　由插值條件P

17、(xi)=f(xi) (i=0,1,…n)知</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p>　　稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（當(dāng)i≠j），故V≠0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆（Gramer）法則，方程組的解存在惟一，從而P(x)被惟一確定。 </p><p>　　2.Lagrange插值法</p&g

18、t;<p>　　兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式,而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí),也就是通過n+1個(gè)不同的已知點(diǎn)(xi yi) (i=0,1,…n)來構(gòu)造一個(gè)次數(shù)為n的代數(shù)多項(xiàng)式P(x)。與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式 的插值問題,使其在各節(jié)點(diǎn) xi上滿足 </p><p><b>　　即</b></p>&

19、lt;p>　　由條件 ( ) 知, 都是n次 的零點(diǎn),故可設(shè)</p><p>　　其中 為待定常數(shù)。由條件 ,可求得 </p><p>　　由 知 代入上式有</p><p>　　稱

20、 為關(guān)于基點(diǎn) xi的n次插值基函數(shù)(i=0,1,…,n) </p><p>　　以n+1個(gè)n次基本插值多項(xiàng)式</p><p>　　為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件</p><p>　　的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。</p><p>　　事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)</p><p>　　都是n次值多項(xiàng)式,所以他們的線性組合

21、</p><p>　　是次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式 , 稱形如上式的插值多項(xiàng)式為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。并記為 </p><p><b>　　引入記號</b></p><p><b>　　則得 </b></p><p><b>　　于是</b></p><p&g

22、t;<b>　　插值余項(xiàng)為 </b></p><p>　　3.Newton 插值法</p><p>　　由線性代數(shù)知,任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式, 都可以表示成函數(shù)</p><p>　　的線性組合, 也就是說, 可以把滿足插值條件P(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多項(xiàng)式, 寫成如下形式</p><p>

23、;　　其中ak (k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù),這種形式的插值多項(xiàng)式我們把它記為Nn(x)即 (3.1) 它滿足</p><p>　　其中ak (k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù)，形如

24、(3.1)插值多項(xiàng)式稱為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式。 </p><p><b>　　m階插商</b></p><p><b>　　經(jīng)數(shù)學(xué)證明知 </b></p><p>　　所以n次牛頓(Newton)插值公式為 </p><p><b>　　其余項(xiàng)為</b></p&

25、gt;<p><b>　　4.三次樣條插值法</b></p><p>　　對于給定節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b,若存在函數(shù)S(x)滿足：</p><p>　　1)在每個(gè)小區(qū)間是一個(gè)次數(shù)不超過3次得多項(xiàng)式；</p><p>　　2)在每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱s(x)是節(jié)點(diǎn)x0,x1,…xn上的

26、三次樣條函數(shù)，若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)f(xj)=yj (j=0,…，n)，并滿足</p><p>　　3）S(xj)=yj,j=0,1,…，n</p><p>　　則稱S(x)是三次樣條插值函數(shù)。</p><p><b>　　5.最小二乘擬合</b></p><p>　　線性最小二乘問題一般提法：對于給定的數(shù)據(jù)，要求在給定函

27、數(shù)類中找一個(gè)函數(shù)使?jié)M足 </p><p>　　更一般提法，要求問題歸結(jié)為求，既求系數(shù)使得取得最小值。引進(jìn)內(nèi)積記號 </p><p>　　此方程組稱為法方程，因線性無關(guān)，故法方程系數(shù)行列式，法方程有唯一解，可見系數(shù)滿足正規(guī)方程。反之亦然。常用代數(shù)多項(xiàng)式擬合，。正規(guī)方程為</p><p>　　三Matlab或 C程序?qū)崿F(xiàn)</p><p>　　

28、1, Lagrange 插值法</p><p>　　x=input('請輸入x=');</p><p>　　y=input('請輸入y=');</p><p>　　n=length(x);</p><p>　　z=input('請輸入節(jié)點(diǎn)z=');</p><p><

29、;b>　　L=0;</b></p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p><b>　　t=1;</b></p><p>　　for j=1:n;</p><p><b>　　if j~=i;</b></p><p&

30、gt;　　t=t*(z-x(j))/(x(i)-x(j));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　L=L+t*y(i);</p><p><b>　　end</b></p><p>

31、　　fprintf('函數(shù)L(%6.2f)=%10.6f\n',z,L);</p><p>　　2. Newton插值法</p><p>　　x=input('x=');</p><p>　　y=input('y=');</p><p>　　z=input('所求函數(shù)值的點(diǎn)z='

32、);;</p><p>　　n=length(x);</p><p>　　for j=2:1:n</p><p>　　for i=n:-1:j</p><p>　　y(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-j+1));</p><p><b>　　end</b></p>

33、<p><b>　　end</b></p><p><b>　　u=y(n);</b></p><p>　　for i=n-1:-1:1</p><p>　　u=y(i)+u*(z-x(i));</p><p><b>　　end</b></p>&

34、lt;p><b>　　r=y(n);</b></p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p>　　r=r*(z-x(i));</p><p><b>　　end</b></p><p>　　fprintf('f(%8.5f)=%8.5f\n

35、',z,u);</p><p>　　fprintf('截?cái)嗾`插R(%8.5f)=%15.14f\n',z,abs(r));</p><p><b>　　3 艾爾米特插值法</b></p><p>　　function y=hermite(x0,y0,y1,x)</p><p>　　n=length

36、(x0); m=length(x);</p><p>　　for k=1:m yy=0.0;</p><p>　　for i=1:n h=1.0; a=0.0;</p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　if j~=i</b><

37、/p><p>　　h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;</p><p>　　a=1/(x0(i)-x0(j))+a;</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　yy=yy+h*((

38、x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　y(k)=yy;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　4. 線性最小二乘法擬合</p&g

39、t;<p>　　已知n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi) (i=0,1,…,n)構(gòu)造多項(xiàng)式擬合曲線</p><p>　　function c=lspoly(x,y,m)</p><p>　　n=length(x);</p><p>　　b=zeros(1:m+1);</p><p>　　f=zeros(n,m+1);</p>

40、<p>　　from k=1:m+1</p><p>　　f(:,k)=x’.^(k-1);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　a=f’*f;</b></p><p><b>　　b=f’*y’;</b></p>&

41、lt;p><b>　　c=a\b;</b></p><p>　　c=flipud(c);</p><p>　　四 插值及擬合實(shí)際應(yīng)用例</p><p>　　1 設(shè)人們對物理背景下的一平板上的溫度分布估計(jì)感興趣，給定的溫度值取自平板表面均勻分布的特點(diǎn)，假設(shè)采集了下列的數(shù)據(jù)：</p><p>　　Width=1:5；&

42、lt;/p><p>　　Depth=1:3；</p><p>　　Temps=[80 82 81 84；78 67 60 64 81；84 86 82 81 83]</p><p>　　要求平板高度為2處個(gè)點(diǎn)的溫度、平板的溫度分布并繪制溫度曲線。</p><p>　　三次多項(xiàng)式插值求解程序</p><p>　　>&g

43、t; width=1:5;</p><p>　　>> depth=1:3;</p><p>　　>> temps=[80 82 80 81 84;78 67 60 64 81;84 86 82 81 83];</p><p>　　>> dd=1:0.1:3;</p><p>　　>> ww=1:

44、0.2:5;</p><p>　　>> [wi,di]=meshgrid(ww,dd);</p><p>　　>> zcubic=interp2(width,depth,temps,wi,di,'cubic');</p><p>　　>> mesh(width,depth,temps) %畫原始數(shù)據(jù)圖</p&

45、gt;<p><b>　　>> pause</b></p><p>　　>> mesh(wi,di,zcubic);%畫立方插值分布圖</p><p><b>　　原始數(shù)據(jù)圖</b></p><p><b>　　立方插值分布圖</b></p><

46、;p>　　當(dāng)數(shù)據(jù)不能構(gòu)成矩陣時(shí)，要使用 griddata（）它采用三角形插值法</p><p>　　調(diào)用格式 zi=griddata(x,y,z,xi,yi,’method’)</p><p><b>　　2 水深測量問題</b></p><p>　　在某海域測得一些點(diǎn)(x,y)處得水深z（單位：英尺）見下表。水深數(shù)據(jù)是低潮時(shí)測得的。船吃

47、水深度為5英尺，問在矩形區(qū)域（75,200）*（-50,150）里的哪些地方船只能避免進(jìn)入？</p><p>　　解水深數(shù)據(jù)是低潮時(shí)測得的，畫出水道的的地形圖和等高線圖，就可得到船要避免進(jìn)入的區(qū)域，</p><p>　　x=[129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 </p><p>　　81

48、.0 162.0 162.0 117.5] </p><p>　　y=[7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5]</p><p>　　z=[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]</p><p>　　xi=linspace(min(x),ma

49、x(x),40);</p><p>　　yi=linspace(min(y),max(y),40);</p><p>　　[XI,YI]=meshgrid(xi,yi);</p><p>　　[XI,YI,ZI]=griddata(x,y,z,XI,YI,’cubic’);</p><p>　　mesh(XI,YI,ZI);</p>

50、;<p>　　xlabel(‘X’); ylabel(‘Y’); zlabel(‘Depth’);</p><p>　　figure;[c,h]=contour(XI,YI,ZI);</p><p>　　clabel(c,h);xlabel(‘X’);ylabel(‘Y’);   </p><p>　　運(yùn)行結(jié)果知 等高線圖中水

51、深淺于5英尺的區(qū)域，船要避免進(jìn)入。</p><p><b>　　擬合</b></p><p>　　用切削機(jī)床進(jìn)行金屬品加工時(shí), 為了適當(dāng)?shù)卣{(diào)整機(jī)床, 需要測定刀具的磨損速度. 在一定的時(shí)間測量刀具的厚度, 得數(shù)據(jù)如表所示:</p><p><b>　　解 描出散點(diǎn)圖</b></p><p>　　t=

52、[0:1:16]</p><p>　　y=[30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0]</p><p>　　plot(t,y,’*’)</p><p>　　a=polyfit(t,y,1)</p><p>　　a =

53、 -0.3012 29.3804</p><p><b>　　hold on</b></p><p>　　y1=-0.3012*t+29.3804</p><p>　　plot(t, y1), hold off</p><p>　　2在化學(xué)反應(yīng)過程中，測得不同時(shí)間某化合物的濃度，如下表，試建立該化合物的濃度隨時(shí)間

54、變化的函數(shù)f(t)，并計(jì)算f(20).</p><p>　　解 與maltab命令行中輸入</p><p><b>　　t=[1:16];</b></p><p>　　y=[4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6]</p>

55、<p>　　p=ployfit(t,y,2)</p><p>　　p=-0.0445 1.0711 4.3252</p><p>　　即最小二乘擬合二次多項(xiàng)式為f(t)=-0.0445t^2+1.0711t+4.3252</p><p><b>　　再輸入 </b></p><p>　　t0=20;f0=pol

56、yval(p,t0)</p><p>　　得到輸出結(jié)果為 f0=7.9502</p><p>　　再輸入 ti=0:0.1:16;yi=polyval(p,ti);plot(t,y,’?！?ti,yi)</p><p>　　則輸出 數(shù)據(jù)點(diǎn)和和最小二乘擬合二次多項(xiàng)式的圖形。</p><p><b>　　3非線性擬合</b>

57、;</p><p>　　x=lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata)</p><p>　　[x, resnorm]=lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata)</p><p>　　功能 根據(jù)給定的數(shù)據(jù) xdata, ydata (對應(yīng)點(diǎn)的橫, 縱坐標(biāo)), 按函數(shù)文件 fun 給定的函數(shù), 以x0為初值作最小二乘擬

58、合, 返回函數(shù) fun中的系數(shù)向量x和殘差的平方和resnorm.</p><p>　　已知觀測數(shù)據(jù)點(diǎn)如表所示</p><p>　　求三個(gè)參數(shù) a, b, c的值, 使得曲線 f(x)=aex+bx2+cx3 與已知數(shù)據(jù)點(diǎn)在最小二乘意義上充分接近.</p><p><b>　　程序</b></p><p>　　x=0:0

59、.1:1;</p><p>　　y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17];</p><p>　　x0=[0,0,0];</p><p>　　[beta,r,J]=nlinfit(x',y','nihehanshu',x0);</p><p>

60、　　結(jié)果 beta = 3.0022 4.0304 0.9404</p><p>　　說明: 最小二乘意義上的最佳擬合函數(shù)為</p><p>　　f(x)= 3ex+ 4.03x2 + 0.94 x3.</p><p>　　此時(shí)的殘差是: 0.0912.</p><p>　　五、插值及擬合評價(jià)分析</p>&l

61、t;p>　　1.代數(shù)插值多項(xiàng)式 在n較小時(shí)能得到較好結(jié)果，但當(dāng)n較大時(shí)解方程組的計(jì)算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的狀態(tài)數(shù)一般較大，不容易得到精度較高的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。</p><p>　　2.用Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)計(jì)算函數(shù)近似值時(shí)要確定f(x)在某一點(diǎn)x*處的近似值預(yù)先不知道要選擇多少個(gè)插值節(jié)點(diǎn)為宜。如需增加插值節(jié)點(diǎn)那么原來算出的數(shù)據(jù)均不能利用，必須重新計(jì)算。它是數(shù)值積分與常微分方程數(shù)值解的重要

62、工具，理論上較重要。</p><p>　　3.Newton插值法比Lagrange插值能節(jié)省計(jì)算量，且便于程序設(shè)計(jì)。它對于f是由離散點(diǎn)給出的情形或f導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)均適用。</p><p>　　4.不少實(shí)際問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是Hermite插值多項(xiàng)式。</p><p>　　5.分段多

63、項(xiàng)式插值 特別是三次樣條插值具有良好的的穩(wěn)定性與收斂性，又有二階光滑度 因此便于應(yīng)用特別是樣條差值函數(shù)的理論與應(yīng)用。</p><p>　　在實(shí)際應(yīng)用中采用哪種插值較好必須經(jīng)過對實(shí)際插值節(jié)點(diǎn)分析與實(shí)際問題結(jié)合 多次實(shí)驗(yàn)才能確定較好的插值法。</p><p>　　擬合實(shí)際問題時(shí)要從描繪散點(diǎn)圖開始 經(jīng)過對散點(diǎn)圖的分析試確定擬合哪種曲線精度較好 通過軟件分析 最后確定擬合曲線。</p>

64、<p><b>　　六、參考書籍</b></p><p>　　數(shù)值分析第四版 華中科技大學(xué)出版社</p><p>　　數(shù)值分析第五版 清華大學(xué)出版社</p><p>　　數(shù)值分析及實(shí)驗(yàn) 科學(xué)出版社</p><p>　　Matlab數(shù)值分析及應(yīng)用</p><p>　　應(yīng)用計(jì)算方法教程