課程設(shè)計(jì)---hermite 插值法的程序設(shè)計(jì)及應(yīng)用

1、<p><b>　　課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)</b></p><p>　　題 目：Hermite 插值法的程序設(shè)計(jì)及應(yīng)用</p><p><b>　　學(xué)生姓名： </b></p><p><b>　　學(xué) 院： </b></p><p><b>　　班 級(jí)：

2、 </b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師： </b></p><p>　　2012年 1月 5日</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　Hermite 插值是數(shù)值分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，在相同的節(jié)點(diǎn)下得到比拉格朗日插值更高次的插值多項(xiàng)式，而且，相應(yīng)的曲線(xiàn)

3、在部分節(jié)點(diǎn)處也更光滑.在我們所學(xué)課程中，只給出了當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)均已知時(shí)的Hermite 插值.但在實(shí)際應(yīng)用中，并不是所有節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)都是已知的.為此，通過(guò)查閱文獻(xiàn)、學(xué)習(xí)總結(jié)，給出了更具一般性的Hermite 插值公式.已有的Hermite 插值公式成為本文所得結(jié)果的一個(gè)特例.</p><p>　　本次課程設(shè)計(jì)，對(duì)Hermite 插值法進(jìn)行了總結(jié),包括Hermit插值法的理論推導(dǎo)，不同情形下的例，以及在解

4、決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.同時(shí)也給出了Hermite插值公式的Matlab算法.</p><p>　　關(guān)鍵詞 Hermite 插值；Matlab 實(shí)現(xiàn)；數(shù)值分析</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　引言..............................................................

5、. 1</p><p>　　Hermite插值................................................. 2</p><p>　　§1.1 Hermite插值的概念........................................ 2</p><p>　　§1.2 Hermite插值簡(jiǎn)單情形.

6、..................................... 3</p><p>　　§1.2.1簡(jiǎn)單情形解的存在性.................................. 3</p><p>　　§1.2.2 簡(jiǎn)單情形解的存在唯一性............................. 5</p><p>　　&#

7、167;1.2.3插值余項(xiàng)............................................ 5</p><p>　　§1.3 Hermite插值其他情形................................ .......5 </p><p>　　第二章 Hermite插值的Matlab實(shí)現(xiàn)............................

8、.........9 </p><p>　　§2.1 導(dǎo)數(shù)完全情形Hermite插值的Matlab實(shí)現(xiàn)................... ..9</p><p>　　§2.2導(dǎo)數(shù)不完全情形Hermite插值的Matlab實(shí)現(xiàn)....................10 </p><p>　　§2.3 Hermite插值在實(shí)際問(wèn)題中的

9、應(yīng)用............................13 </p><p>　　參考文獻(xiàn).......................................................... 15 </p><p>　　附錄A......................................................... 16 </p>

10、<p>　　附錄B......................................................... 17 </p><p>　　附錄C......................................................... 19 </p><p><b>　　引言</b></p>

11、<p>　　在實(shí)際工作中, 人們得到的一些數(shù)據(jù)通常是一些不連續(xù)的點(diǎn), 在土木工程、流體力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)等學(xué)科中經(jīng)常要遇到這樣的問(wèn)題. 此時(shí), 這些數(shù)據(jù)如果不加以處理, 就難以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律性. 如果用戶(hù)想得到這些分散點(diǎn)外的其他數(shù)值, 就必須運(yùn)用這些已知的點(diǎn)進(jìn)行插值.因此，對(duì)近似公式的構(gòu)造產(chǎn)生了插值問(wèn)題.</p><p>　　在實(shí)際問(wèn)題中，兩個(gè)變量的關(guān)系經(jīng)常要靠實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)獲得，而在通常的情況下

12、只能得到在有限個(gè)點(diǎn)上的值</p><p>　　人們希望找到的一個(gè)近似函數(shù)，使得</p><p>　　， </p><p>　　此時(shí)，稱(chēng)為被插值函數(shù)，點(diǎn)稱(chēng)為插值結(jié)點(diǎn)，稱(chēng)為插值函數(shù)，為插值條件.</p><p>　　常用的插值法有Lagrange插值、Newton插值、最近鄰插值、Hermite 插值和三次樣條

13、插值插值法等. Lagrange插值在向量X 區(qū)域內(nèi)的插值較準(zhǔn)確, 但向量X區(qū)域之外則不太準(zhǔn)確.Newton插值僅適用于等距節(jié)點(diǎn)下的牛頓向前(后) 插值. 最近鄰插值是最簡(jiǎn)便的插值, 在這種算法中, 每一個(gè)插值輸出像素的值就是在輸入圖像中與其最臨近的采樣點(diǎn)的值, 當(dāng)圖像中包含像素之間灰度級(jí)變化的細(xì)微結(jié)構(gòu)時(shí), 最近鄰插值法會(huì)在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡. 最近鄰插值的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、快速, 缺點(diǎn)是誤差較大; 三次樣條插值一階和二階連續(xù)可導(dǎo), 插值曲

14、線(xiàn)光滑, 插值效果比較好, 應(yīng)用較廣Newton 插值和Lagrange 插值雖然構(gòu)造比較簡(jiǎn)單, 但都存在插值曲線(xiàn)在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)、不光滑、插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn). </p><p>　　為了保證插值多項(xiàng)式 能更好地逼近, 對(duì)增加一些約束條件, 例如要求在某些結(jié)點(diǎn)處與的微商相等, 這樣就產(chǎn)生了切觸插值問(wèn)題.切觸插值即為Hermite插值.它與被插函數(shù)一般有更高的密合度.</p><p&g

15、t;　　本課程設(shè)計(jì)主要對(duì)Hermite插值法進(jìn)行總結(jié)，對(duì)其一般情況，特殊情況進(jìn)行更進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，盡量實(shí)現(xiàn)其在Matlab及C++上的程序運(yùn)行.</p><p><b>　　Hermite插值</b></p><p>　　實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用較廣為Newton 插值和Lagrange 插值，雖然這輛種插值法構(gòu)造比較簡(jiǎn)單, 但都存在插值曲線(xiàn)在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)、不光滑、插值多項(xiàng)式在節(jié)

16、點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn).為了克這些缺點(diǎn)，我們引入了Hermite插值.</p><p>　　§1.1 Hermite插值的概念</p><p>　　定義1.1 許多實(shí)際插值問(wèn)題中，為使插值函數(shù)能更好地和原來(lái)的函數(shù)重合，不但要求二者在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求相切，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等.這類(lèi)插值稱(chēng)作切觸插值，或埃爾米特(Hermite)插值.</p>

17、<p>　　該定義給出了Hermite插值的概念，由此得出Hermite插值的幾何意義，如圖1.1.</p><p>　　定義1.2 滿(mǎn)足上述要求的插值多項(xiàng)式是埃爾米特插值多項(xiàng)式.記為H (x).</p><p>　　定義1.3 求一個(gè)次數(shù)不大于的代數(shù)多項(xiàng)式 H(x) ,滿(mǎn)足:</p><p><b>　?。?-1）</b><

18、/p><p>　　則（1-1）為Hermite插值條件.</p><p><b>　　定義1.4 令</b></p><p><b>　　(1-2)</b></p><p>　　其中，都是次待定多項(xiàng)式并且它們滿(mǎn)足如下條件：</p><p>　　稱(chēng)（1-2）為Hermite插值公式

19、.</p><p>　　解決Hermite插值問(wèn)題，就是在給定結(jié)點(diǎn)處函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值的基礎(chǔ)上根據(jù)插值公式構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式，并根據(jù)已知條件解出多項(xiàng)式系數(shù).</p><p>　　§1.2 Hermite插值簡(jiǎn)單情形</p><p><b>　　已知函數(shù)表：</b></p><p>　　求一個(gè)插值多項(xiàng)式,使

20、其滿(mǎn)足條件數(shù)表.由于數(shù)表中包含個(gè)條件,所以能夠確定次數(shù)不大于的代數(shù)多項(xiàng)式 .</p><p>　　此情形為導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)與函數(shù)值個(gè)數(shù)相等的情形,即 Hermite 插值問(wèn)題的最簡(jiǎn)單也是最常用情形.</p><p>　　1.2.1簡(jiǎn)單情形解的存在性</p><p>　　由于Hermite插值公式（1-2）已給出，接下來(lái)只需構(gòu)造出及，即認(rèn)為其存在.在此簡(jiǎn)介L(zhǎng)agrange-H

21、ermite插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式.</p><p>　　Step1 構(gòu)造（）</p><p>　　由條件知是的二重零點(diǎn).已知Lagrange插值基函數(shù)是次多項(xiàng)式，且具有性質(zhì)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則2次多項(xiàng)式也具有性質(zhì)，而的一階導(dǎo)數(shù)在處的值所以當(dāng)時(shí)，也都是的兩重零點(diǎn).注意到是次多項(xiàng)式

22、，而是次多項(xiàng)式，因此可設(shè)其中為待定常數(shù).顯然時(shí)滿(mǎn)足，現(xiàn)只要求出滿(mǎn)足時(shí)，滿(mǎn)足即可.由此得到確定的兩個(gè)方程：</p><p><b>　　解出</b></p><p><b>　　于是.</b></p><p><b>　　Step2 構(gòu)造 </b></p><p>　　由條件知是

23、的二重零點(diǎn).因此可設(shè)也含因子，又，所以還含有因式,因此設(shè)，其中A為待定常數(shù).</p><p>　　顯然是次多項(xiàng)式，且當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足，由可確定A如下：</p><p>　　所以 .</p><p>　　到此為止，Hermite插值問(wèn)題的解為</p><p>　　特別地，當(dāng)1時(shí)，滿(mǎn)足的三階Hermite插值多項(xiàng)

24、式為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　§1.2.2 簡(jiǎn)單情形解的存在唯一性</p><p>　　為了簡(jiǎn)便理解，下面用流程圖來(lái)說(shuō)明解的存在唯一性.詳見(jiàn)附錄A.</p><p>　　§1.2.3 插值余項(xiàng)</p><p>　　定理1.1 設(shè)在包含個(gè)插值結(jié)

25、點(diǎn)的最小區(qū)間[]上次連續(xù)可微，則存在與有關(guān)的，，使得</p><p>　　其中.由此可得到三階Hermite插值多項(xiàng)式的誤差為：</p><p><b>　　在與之間.</b></p><p>　　§1.3 Hermite插值其他情形</p><p><b>　　已知函數(shù)表：</b><

26、;/p><p>　　求一個(gè)插值多項(xiàng)式,使其滿(mǎn)足條件數(shù)表.該問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)與函數(shù)值個(gè)數(shù)不相等.我們稱(chēng)之為Hermite插值中其他情形.在此簡(jiǎn)介Newton-Hermite插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式.</p><p>　　先分析插值條件的個(gè)數(shù)：個(gè)，那么，所構(gòu)造的多項(xiàng)式的次數(shù)一般不能超.于是，按牛頓差值的思想，可設(shè) </p><p>　　其中，為n次牛頓差值多項(xiàng)式;為待定的次數(shù)不

27、超過(guò)m次的多項(xiàng)式. 顯然：</p><p><b>　　為確定，對(duì)求導(dǎo)：</b></p><p><b>　　根據(jù)插值條件，有 </b></p><p><b>　　得到</b></p><p>　　于是，把求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為又一個(gè)插值問(wèn)題</p><p>

28、<b>　　已知的函數(shù)表</b></p><p>　　確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的插值多項(xiàng)式，使其滿(mǎn)足.</p><p><b>　　根據(jù)牛頓差值公式.</b></p><p>　　將上式帶回，即得到滿(mǎn)足條件</p><p>　　的Newton-Hermite插值多項(xiàng)式.</p><p&

29、gt;　　例1.1 已知函數(shù)表：</p><p>　　求一個(gè)插值多項(xiàng)式H (x)，使其滿(mǎn)足條件：</p><p>　　該問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)與函數(shù)值個(gè)數(shù)不相等.我們稱(chēng)之為Hermite插值中其他情形.在此簡(jiǎn)介Newton-Hermite插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式.</p><p><b>　　先由函數(shù)表</b></p><p>&

30、lt;b>　　作線(xiàn)性插值，即為</b></p><p>　　再注意到H (x)與P1 (x)在節(jié)點(diǎn)x0, x1上函數(shù)值相同，即：</p><p>　　于是，它們的差可以設(shè)為</p><p>　　其中為待定常數(shù)，上式又可記為：</p><p><b>　　(1-3)</b></p><

31、;p>　　為確定,對(duì)上式求導(dǎo)：</p><p>　　令x = x0，代入上式，并且注意到插值條件得：</p><p><b>　　于是有</b></p><p>　　將上式代入（1-3）得</p><p><b>　　(1-4)</b></p><p>　　可以驗(yàn)證（1

32、-4）所確定的H(x)確實(shí)滿(mǎn)足插值條件（1-1）.同時(shí)也可以看到，構(gòu)造牛頓——埃米爾特插值多項(xiàng)式，完全采用牛頓插值的構(gòu)造思想.</p><p>　　最后，也可以把（1-4）式整理成拉格朗日形式：</p><p><b>　　插值余項(xiàng)為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>

33、<b>　　在與之間.</b></p><p>　　第二章 Hermite插值的Matlab實(shí)現(xiàn)</p><p>　　§2.1 導(dǎo)數(shù)完全情形Hermite插值的Matlab實(shí)現(xiàn)</p><p>　　在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)用最廣也是最簡(jiǎn)單的Hermite插值情形即為導(dǎo)數(shù)完全的情況下，Hermite插值多項(xiàng)式的擬合.我們首先討論該情形下的Mat

34、lab程序.</p><p>　　在給出程序之前，我們首先給出該公式所應(yīng)用的Hermite插值公式.</p><p>　　定理2.1 設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中，則函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處處的Hermite插值多項(xiàng)式為</p><p><b>　　

35、其中 .</b></p><p>　　該定理的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn).</p><p>　　該情形下對(duì)應(yīng)的Matlab程序及流程圖詳見(jiàn)附錄B .</p><p>　　為驗(yàn)證該程序的正確性與有效性，下面給出例2.1.</p><p>　　例2.1 設(shè)有如下數(shù)據(jù)表:</p><p>　　在Matlab工作臺(tái)輸入如下命令

36、：</p><p>　　>> x0=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5];</p><p>　　y0=[0,0.4794,0.8415,0.9975,0.9093,0.5985,0.1411,- 0.3508];</p><p>　　y1=[1,0.8776,0.5403,0.0707,-0.4161,-0.8011,-0.9900,-0.

37、9365];</p><p><b>　　x=x0;</b></p><p>　　y=hermite(x0,y0,y1,x);</p><p><b>　　y</b></p><p><b>　　plot(x,y)</b></p><p>　　y2=si

38、n(x);</p><p><b>　　hold on</b></p><p>　　plot(x,y2,'*r')</p><p>　　則輸出結(jié)點(diǎn)處的插值：</p><p>　　y =0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093 0.5985 0.1411 -0.3508<

39、;/p><p>　　的Hermite插值多項(xiàng)式的擬合圖像如圖：</p><p>　　§2.2導(dǎo)數(shù)不完全情形Hermite插值的Matlab實(shí)現(xiàn)</p><p>　　在實(shí)際應(yīng)用中，并不是所有節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)都是已知的，為此，我們給出了更具一般性的Hermite 插值公式及其算法實(shí)現(xiàn)，已有的Hermite 插值公式成為本文所得結(jié)果的一個(gè)特例.</p>

40、<p>　　在此首先給出求解Hermite插值問(wèn)題的一般性公式。</p><p>　　定理2.1 設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中，則函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處處的Hermite插值多項(xiàng)式為</p><p><b>　　其中</b></p>

41、<p>　　該定理的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn).</p><p>　　由該公式得到的更具一般性的Hermite插值公式Matlab程序詳見(jiàn)附錄C.</p><p>　　為了驗(yàn)證該程序的一般性，首先給出導(dǎo)數(shù)完全情況下的例.</p><p>　　例2.2 已知數(shù)表：</p><p>　　根據(jù)所列的數(shù)據(jù)點(diǎn)求出其Hermite插值多項(xiàng)式，并計(jì)算當(dāng)x=2

42、.0 時(shí)的y 值.</p><p>　　在Matlab 中鍵入下面命令</p><p>　　x=1:0.2:1.8; y=[1, 1.0954, 1.1832, 1.2649, 1.3416];</p><p>　　x1=x; y1=[0.5, 0.4564,0.4226,0.3953,0.3727];</p><p>　　[h,yy]=He

43、rmiteInt1(x,y,x1,y1,2)</p><p>　　按回車(chē)鍵得到插值多項(xiàng)式：</p><p><b>　　h =</b></p><p>　　43215754781469129/1099511627776000-1145972591322841157/4398046511104000*t+163294776469783529843

44、/211106232532992000*t^2+1665485238488168375/60798594969501696*t^8+15318604908211965505/30399297484750848*t^6-4691451189851556625/30399297484750848*t^7-50392743046091368807/37999121855938560*t^3-63885352929874938617/60798

45、594969501696*t^5+441043429159790924983/303992974847508480*t^4-130567005823358125/60798594969501696*t^9</p><p><b>　　yy =</b></p><p><b>　　1.4112</b></p><p>　　該

46、例所得插值多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖如下圖所示：</p><p>　　顯然，在導(dǎo)數(shù)完全的情況下該程序能夠準(zhǔn)確的求得Hermite插值多項(xiàng).為了體現(xiàn)其一般性，給出例2.3.</p><p>　　例2.3 找出次數(shù)小于4的滿(mǎn)足數(shù)表</p><p>　　的Hermite插值多項(xiàng)式.</p><p>　　在Matlab 的命令窗口直接輸入以下命令: <

47、;/p><p>　　x=[0,1,2];y=[0,1,1];x1=[0,1];y1=[0,1];</p><p>　　h=HermiteInt1(x,y,x1,y1)</p><p>　　按回車(chē)鍵后得到插值多項(xiàng)式為:</p><p>　　h =1/4*t^4-3/2*t^3+9/4*t^2.</p><p>　　該例所得插

48、值多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖如下：</p><p>　　§2.3 Hermite插值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p>　　實(shí)際問(wèn)題 技術(shù)員為了描繪出車(chē)門(mén)的曲線(xiàn)，他得到數(shù)據(jù)</p><p>　　分析他如何用數(shù)值方法實(shí)現(xiàn). </p><p>　　首先用2.2節(jié)所得程序求得插值多項(xiàng)式。</p><p>　　在Matlb中

49、輸入以下命令：</p><p>　　x=[0,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9];</p><p>　　y=[2.51,5.80,3.30,4.04,4.70,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70];</p><p>　　x1=[0,10];</p><p>　　y1=[0.8,0.2];</p>

50、<p>　　h=HermiteInt1(x,y,x1,y1)</p><p>　　按回車(chē)鍵可得插值多項(xiàng)式為：</p><p>　　h=4/5*t-1132854469/317520000*t^2+251/100+4337490841/423360000*t^3-1714571473981/142884000000*t^4+10955247103/1428840000*t^5-57

51、148609549/19051200000*t^6+33010812389/43545600000*t^7-192428418647/1524096000000*t^8+419662093/30481920000*t^9+33910721/914457600000*t^11-432289699/457228800000*t^10-965039/1524096000000*t^12</p><p>　　為驗(yàn)證該He

52、rmite插值多項(xiàng)式的擬合程度下面將1，210將代入該多項(xiàng)式可得到擬合的值.</p><p>　　=2.5100,3.3000,4.0400,4.7000,5.2200,5.5400,5.7800,5.4000,5.5700,</p><p>　　5.7000, 5.8000</p><p>　　因此可以看出它與函數(shù)表完全擬合.</p><p&g

53、t;　　由插值多項(xiàng)式得到的車(chē)門(mén)曲線(xiàn)如圖2.4與圖2.5所示. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析.4 版［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2001:41-45.</p><p>　　[2]應(yīng)瑋婷，王潔.Hermite插值公式的推廣及其matlab 實(shí)現(xiàn).[A].浙江 臨海:臺(tái)州

54、學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,2010:03-0004-06</p><p>　　[3]黃明游，劉播，徐濤，數(shù)值計(jì)算方法[M]，北京：科學(xué)出版社.2005.</p><p><b>　　附錄A</b></p><p><b>　　附錄B</b></p><p>　　導(dǎo)數(shù)完全的情況下Hermite插值多項(xiàng)式

55、擬合Matlab程序:</p><p>　　function f = Hermite(x,y,y_1,x0) </p><p><b>　　syms t; </b></p><p><b>　　f = 0.0; </b></p><p>　　if(length(x) == length(y)) &l

56、t;/p><p>　　if(length(y) == length(y_1)) </p><p>　　n = length(x); </p><p><b>　　else </b></p><p>　　disp('y和y的導(dǎo)數(shù)的維數(shù)不相等！'); </p><p><b>　

57、　return; </b></p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　else </b></p><p>　　disp('x和y的維數(shù)不相等！'); </p><p><b>　　return; </b></p&

58、gt;<p><b>　　end </b></p><p>　　for i=1:n </p><p><b>　　h = 1.0; </b></p><p><b>　　a = 0.0; </b></p><p>　　for j=1:n </p>&

59、lt;p>　　if( j ~= i) </p><p>　　h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2); </p><p>　　a = a + 1/(x(i)-x(j)); </p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　end </b><

60、;/p><p>　　f = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i)); </p><p><b>　　if(i==n) </b></p><p>　　if(nargin == 4) </p><p>　　f = subs(f,'t',x0); </p>&l

61、t;p><b>　　else </b></p><p>　　f = vpa(f,6); </p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　end</b></p>&

62、lt;p><b>　　對(duì)應(yīng)流程程圖為：</b></p><p><b>　　附錄C</b></p><p>　　更具一般性的Hermite插值公式的Matlab程序：</p><p>　　function[h,yy]=HermiteInt1(x,y,x1,y1,xx)</p><p>　　%求

63、Hermite 插值.x 為插值節(jié)點(diǎn)，y 為相應(yīng)的函數(shù)值；在節(jié)點(diǎn)x1 的一階導(dǎo)數(shù)為y1；xx 為插值點(diǎn).</p><p>　　%輸出Hermite 插值函數(shù)的表達(dá)式h，若輸入?yún)?shù)中有插值點(diǎn)xx 時(shí)，再輸出xx 相應(yīng)的插值函數(shù)值yy.</p><p>　　n=length(x);m=length(x1);</p><p><b>　　syms t</

64、b></p><p><b>　　yy=0;</b></p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p>　　%下面求y（i）前的系數(shù)</p><p><b>　　I=0;</b></p><p>　　%下面這個(gè)循環(huán)是要找出x（

65、i）在數(shù)組x1 中的位置</p><p><b>　　for j=1:m</b></p><p>　　if x(i)==x(j)</p><p><b>　　I=j;</b></p><p><b>　　break;</b></p><p><b&

66、gt;　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　l1=1;l2=0;</p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　if j~=i</b></p><p>　　l

67、1=l1*(t-x(j))/(x(i)-x(j));</p><p>　　l2=l2+1/(x(i)-x(j));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　for j=1:m</b></p>

68、<p><b>　　if j~=I</b></p><p>　　l1=l1*(t-x1(j))/(x(i)-x1(j));</p><p>　　l2=l2+1/(x(i)-x1(j));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</

69、b></p><p><b>　　if I==0</b></p><p><b>　　l2=0;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　yy=yy+l1*(-l2*(t-x(i))+1)*y(i);</p><p>

70、;<b>　　end</b></p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p>　　%下面求y1（i）前的系數(shù)</p><p><b>　　l3=1;</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p>

71、<p>　　if x(j)~=x1(i)</p><p>　　l3=l3*(t-x(j))/(x1(i)-x(j));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　for j=1:m</b>&

72、lt;/p><p>　　if x1(j)~=x1(i)</p><p>　　l3=l3*(t-x1(j))/(x1(i)-x1(j));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　yy=yy+l3*(t-x1(i)

73、)*y1(i);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　h=simplify(yy);</p><p>　　if nargin==5</p><p>　　yy=eval(subs(h,'xx','t'));</p><p><b>