投資的收益與風險_數(shù)模課程設計

1、<p><b>　　《數(shù)學建模》</b></p><p><b>　　課程設計報告</b></p><p>　　題 目： 投資的收益與風險 </p><p>　　專 業(yè)： ********** </p><p>　　學 號：

2、********* </p><p>　　姓 名： ******* </p><p>　　指導教師： **** </p><p>　　成 績： </p><p>　　** 年 ** 月 ** 日</

3、p><p><b>　　一.問題的重述</b></p><p>　　市場上有n種資產（如股票、債券、…） 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這n種資產進行了評估，估算出這在這一時期內購買 的平均收益率為 ，并預測出購買 的風險損失率 ?？紤]到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產時，總體風險可用

4、所投資的 中最大的一個風險來度量。購買 要付交易費，費率為 ，并且當購買額不超過給定值 時，交易費按購買 計算（不買當然無須付費）。另外，假定同期銀行存款利率是 , 且既無交易費又無風險。（ =5%）（1）已知n = 4時的由給出的相關數(shù)據(jù)，試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小。（2）試就一般情況對以上問題進行討論，并利用給出數(shù)據(jù)進行計算。</p&

5、gt;<p>　　建立了正確的雙目標模型，并且把該模型通過控制總體風險合理地轉化為單目標線性規(guī)劃問題，還給出了計算結果。通過計算的收益——風險的一系列解，通過多次函數(shù)擬合建立了收益——風險的函數(shù)關系，并且根據(jù)函數(shù)的導數(shù)，二階導數(shù)的性質，結合本題的經濟含義，獲得了保守型，溫和型以及冒險型的區(qū)分及比較合理的投資區(qū)間。分析結論有一定的數(shù)學理論依據(jù)，而且也較符合實際。</p><p>　　應用多目標決策方法

6、建立模型，并通過簡化，成為一個單目標線性規(guī)劃問題。計算后得到了一個合乎公司要求的，凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小的最優(yōu)方案，如下所示：</p><p>　　問題1的最佳投資方案</p><p>　　對表中的數(shù)據(jù)進行同樣的計算和分析，也獲得了一個理想的投資方案，從而證明了我們的模型具有一般性。</p><p><b>　　二.問題分析</b>

7、</p><p>　　本題中的投資問題是利用所給數(shù)據(jù)，通過計算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案，并推廣到一般情況。下面是實際中要考慮的兩點情況：</p><p>　　在風險一定的情況下，取得最大的收益；</p><p>　　在收益一定的情況下，所冒風險最小。</p><p>　　不同的投資者對利益和風險的側重點不同，但在一定范圍內都是正常的

8、。所以我們只能要求選擇一種盡量好的方案。即風險盡量小，收益盡量大，這符合題意和一般投資者的心理。</p><p>　　表中給出的幾種投資項目各自的平均收益率，風險損失率以及交易費率各不相同，我們先以qi為橫坐標表示風險。以(ri-pi)為縱坐標表示收益建立一個粗略的圖形。從大體趨勢可以看出，qi越大，(ri-pi)也越大，即風險越大，期望收益越大。同理對表畫出圖，也可看出同樣的趨勢。雖然很粗糙，但符合一般的實際情

9、況。</p><p>　　題目中給出交易費的計算數(shù)額是一個分段函數(shù)，設為li=</p><p>　　ui ， xi≤ui</p><p>　　xi ， xi＞ui</p><p>　　在實際計算中，不容易處理，但我們注意到，在表1中，ui的數(shù)值非常小，∑ui=103+198+52+40=387元，對其中最大的ui來說，u2=198＜200

10、元，而已知M是一筆相當大的資金。同時交易費率pi的值也很小。即使在xi≤ui是，以ui來計算交易費與用xi直接計算交易費相差無幾。所以，后面我們具體計算是，為簡化暫時不考慮ui的約束，都已xi來代替ui計算交易費。這一小的誤差將在后面的討論中具體加以分析。</p><p>　　公司在問題一情況下可對五種項目投資，其中銀行無風險，收益r0=5%為定值，在投資期間不會變動。其它投資項目雖都有一定的風險，但收益可能大于

11、銀行利率。我們擬建立一個模型，這個模型對一般投資者都適用。并根據(jù)他們風險承受能力的不同提出多個實用于各種類型人的投資方案。（把投資者分為冒險型，溫和型和保守型，越積極冒險的人對風險損失的承受能力越強，用c作為指標來劃分。）</p><p>　　由前面的分析已經知道，風險越大，利益可能越大。所以，利益與風險是一對矛盾，我們根據(jù)公司要求，用多目標劃分來建模，力求利益大，風險小。尋找一種令公司滿意的方案。</p&

12、gt;<p>　　設計第i種資產投入錢數(shù)占總金額M的比例為xi，則投資期滿所得凈收益為∑（xiri-lipi）總風險以Si項中所冒風險的最大值來考慮。這是一個二目標線性規(guī)劃模型。</p><p>　　問題二擴大了投資范圍，首先我們根據(jù)問題一中所建模型對數(shù)據(jù)進行計算，去不同的中值，得到一組數(shù)據(jù)，這與前面的方法相同。</p><p>　　我們又對表2中的數(shù)據(jù)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)極有規(guī)則

13、，有些項目xi，qi，pi的數(shù)值明顯不符合投資要求，因而可在計算之前整體優(yōu)化，即對所給項目粗略去舍，再對剩余項目進行投資。這將在模型的優(yōu)化中加以討論。</p><p><b>　　三.模型的假設</b></p><p>　?。?）假設在交易額很小時，忽略交易費；</p><p>　　（2）假設投資越分散，總的風險越小，且總體風險可用所投資的資產

14、當中最大的一個風險來度量；</p><p>　?。?）假設交易費按購買計算，在不買的情形下當然無須付費；</p><p>　　（4）假設同期銀行存款利率保持定值不變，且既無交易費又無風險。</p><p><b>　　四.模型建立</b></p><p>　　當該公司對市場上的資產進行投資是，涉及到兩個衡量投資方案好壞的

15、標準，也即有兩個目標：1.凈收益大；2.風險小。</p><p>　　我們設z1為凈收益函數(shù)，則有</p><p>　　z1=收回資產時的總資產-投資時的總資產</p><p><b>　　因此：</b></p><p>　　z1=∑xi+∑xiri-1</p><p><b>　　又因

16、為</b></p><p>　　∑（xi+lipi）=1（同投資時交易費從M中扣去）所以</p><p>　　Z1=∑(xiri-lipi) 其中l(wèi)i=</p><p>　　ui ， xi≤ui</p><p>　　xi ， xi＞ui</p><p>　　同時，我們希望，所投第i項中最大風險越小越好。

17、以z2表示風險函數(shù)。</p><p>　　z2=max{xiqi∣i=0,1,2,…,n}</p><p>　　綜合以上分析，得出模型：模型A（雙目標決策模型）</p><p>　　max{z1=∑(xiri-lipi)}.min{z2=max(xiqi)}.</p><p>　　∑(xi+lipi)=1,s.t xi≥0.</p>

18、;<p>　　該模型的非劣解集可以用線性加權法求出，但對于雙目標決策來說，存在兩個問題：</p><p>　　兩目標各自的權重不好任意覺得；</p><p>　　對本模型目標函數(shù)z2難以處理，考慮到這兩種情況，我們對模型A進行下面的簡化：</p><p>　　引進一個參量c表示投資者風險的承受能力。由題意要求：xiqi≤c這樣迫使投資分散，風險也就相應

19、減小，從直觀上來講就是各個項目同時發(fā)生風險的概率不大。防止了盲目的追求利益，是對風險的一種量化。于是對</p><p>　　min{z2=max{xiqi}}</p><p>　　可以把目標函數(shù)z2變成約束條件</p><p><b>　　xiqi≤c</b></p><p>　　在問題分析中，已經證明不考慮ui的約束，

20、對投資方案影響不大。綜合各種情況把模型A整個簡化成以下模型：</p><p><b>　　模型B</b></p><p>　　maxzi=xi(ri-pi)</p><p>　　s.t:xiqi≤c</p><p>　　sumxi(1+pi)=1</p><p><b>　　xi≥0&l

21、t;/b></p><p>　　這個模型是一個單目標的線性規(guī)劃。在給定的c值下，很容易求出此時的最優(yōu)解，我們又根據(jù)各人的不同承受能力給出一系列c值，求出一系列最優(yōu)解。我們期望通過對這一系列點（c，z）的擬合，得出一個函數(shù)關系式z1=f（c）。從而由此擬合函數(shù)f（c），運用數(shù)學方法可以求得一個合理的投資方案。</p><p><b>　　五.數(shù)據(jù)計算與分析</b>

22、</p><p>　　對問題1的計算與分析</p><p>　　利用附表A的程序中mathmatica軟件包中解出對應于給定不同c的最優(yōu)解，列表如下：</p><p>　　從表中數(shù)據(jù)可以看出，c越大，z1越大。即風險越大，收益也大。這是合乎常理的。</p><p>　　通過對上述數(shù)據(jù)的分析，我們不妨把投資者大概分為三種類型，即保守型，溫和型，

23、冒險型。由上表，我們還可以看出，當投資越分散是，投資者所承擔的風險也越小，這與題意也是一致的，也即冒險型的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，而保守型的投資者則盡量分散的投資。</p><p>　　我們又對一系列坐標點（c，z）進行多項式擬合在六次的情況下，擬合狀況如下圖所示：</p><p>　　所得的z—c函數(shù)關系式為</p><p>　　z1=7.2-9.1c+162

24、.2c×c-301c×c×c+235c×c×c×c-83.7c×c×c×c×c+11.2c×c×c×c×c×c</p><p>　　由圖我們注意到：盡管c增大是，z1也同時增大，但其增長勢頭也即f′（e）在一定區(qū)間[c1,c2]內迅速減少。</p>&

25、lt;p>　　我們認為在f′（e）發(fā)生相對劇烈變化的區(qū)間投資是合理的。因為在現(xiàn)實生活中，正常人不會多冒相對較大的風險去求取相對很少的收益，即這也就是指c＞c2的投資區(qū)域，相反，也不會因為多冒相對很小的風險，而放棄相對增加很多的收益，這也就是指c＜c1的投資區(qū)域。在這里，f′（e）可以理解為每一個單位風險所能獲得的收益，又注意到f′（e）在經過急劇減少后，f′（e）將會保持相對穩(wěn)定，但f（e）趨向水平也即沒增加一個單位風險所能多獲得

26、的收益很小。</p><p>　　作為一個理性的投資者，我們確定以[c1,c2]區(qū)間上曲率最大（也即f（e）函數(shù)曲線最彎曲的點所對應的投資方案作為最佳的投資方案）。</p><p><b>　　即對于曲率公式</b></p><p>　　k=∣y〝∣/(1+y′×y′)</p><p>　　要求函數(shù)k最大值是所

27、對應的點，也就是最佳方案所對應的點。</p><p>　　從擬合曲線可估算出[c1,c2]區(qū)間為[0.4,1]區(qū)間，在Mathematica軟件上計算可得c=0.74。然而我們通過連接折線注意到擬合曲線在折線斜率急劇變化的區(qū)間擬合得不好，因而在這段區(qū)間上我們通過增加坐標點進行小區(qū)間擬合，又通過Mathematica軟件上計算出，當c=0 .592時，其曲率最大，所以我們選擇c=0.592作為最優(yōu)點，其對應方案如下

28、：</p><p>　　即在c=0.592是，有一個最佳的投資方案。</p><p><b>　　對表二的計算與分析</b></p><p>　　利用附錄程序B在Mathematica軟件下解出對應于給定c的最優(yōu)解z1，列表如下：</p><p>　　由上表數(shù)據(jù)也可以看出，風險承受能力越大，收益也越大，而投資越分散，其對

29、應的風險也就越小，這與表數(shù)據(jù)結果的分析結論是吻合的。同樣，我們也可以對（c,z）點集進行擬合函數(shù)為：</p><p>　　z1=3.43867+6.34598c-0.382283c×c+0.000923c×c×c+0.000674c×c×c×c-0.000022c×c×c×c×c+0.0000001c×c

30、×c×c×c×c</p><p><b>　　從而得到</b></p><p><b>　　c=7.40</b></p><p>　　在此情況下的最優(yōu)投資方案為</p><p>　　（0.0，0.1233，0.0123，0.0，0.1233，0.2216，0.

31、1388，0.185，0.0，0.1609，0.0）</p><p>　　對表2數(shù)據(jù)的計算與分析，驗證了我們的模型適合于一般情形。</p><p><b>　　六.模型的優(yōu)化</b></p><p>　　考慮到當投資項過多是，會使計算很復雜。因而我們在直接計算數(shù)據(jù)前對投資項目按一定標準進行估算，去掉一些明顯的劣項，進而簡化計算，我們這里以（ri

32、-pi）作為凈收益的估計值，以qi作為風險的估計值。給定值兩目標決策時凈收益與風險的權重分別為0.9和0.1，即0.9（ri-pi）-0.1qi作一個綜合的估計值。從而對表2的數(shù)據(jù)進行估算，由上面的數(shù)據(jù)可以得出（1），（11），（12），（15），這幾項是可以去掉的。然后，我們任選一c（c=1.5）通過計算，z=11.5269.對在簡化之前同等條件下z=11.8141。</p><p>　　我們可以得出，刪除一些

33、劣等投資項目后，會對z以及xi產生影響，但對收益z的影響不大，可計算出相對誤差為（11.8141-11.5269）/11.8141=0.024，而當投資項目眾多，而又有一定數(shù)量的劣等投資項目是，這種方法對計算的簡化是非常明顯的。</p><p><b>　　七.模型的討論</b></p><p>　　擬合狀況對最優(yōu)投資方案的影響</p><p>

34、;　　由于是一擬合曲線在一定范圍內曲率最大的點所對應的方案為最佳方案，但是考慮到在實際中擬合曲線存在一定的誤差，因而我們所選取的方案不一定是一般情況下最好的方案，但必定在最優(yōu)方案的附近。為了解決這個問題，我們可以將各坐標點用線段連接起來，通過分析可以得到各線段斜率變化相對劇烈的區(qū)間，進而在這個區(qū)間內通過減小c的步長來增加坐標點，然后再這個區(qū)間內進行第二次擬合，再用同樣的方法可以求出區(qū)間內的曲率最大的一點，從而得到一般情況下的最好方案。&

35、lt;/p><p><b>　　穩(wěn)定性的討論</b></p><p>　　靈敏度討論：在我們所建立的線性規(guī)劃模型B中，假定參數(shù)ri，qi都是常數(shù)，但實際上這些系數(shù)往往是估計值和預測值，市場和人為因素對這類參數(shù)的確定有一定影響，當ri,qi有微小變化是，目標函數(shù)的變化是否會很大？因此需要進行靈敏度分析，</p><p>　　不妨在c=0.05時，是r

36、i與qi有小的增長，求出目標函數(shù)f變化幅度并列表如下:</p><p>　　對該表數(shù)據(jù)進行分析可知，riqi微小變化對目標函數(shù)影響不大，表明我們的模型通過了靈敏度檢驗，具有實用價值。</p><p><b>　?。?）對ui的討論</b></p><p>　　在模型中，我們沒有考慮ui對交易費的影響，從而簡化了模型。有條件可知，當滿足xiM≥u

37、時，可以對ui忽略不計，通過對數(shù)據(jù)的計算可知，在M相當大的情況下，xi都能滿足上述條件，因為我們認為一般情況下ui對模型的影響非常小，所以在計算時忽略它是比較合理的。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]錢頌迪等 運籌學 清華大學出版社 北京 1990</p><p>　　[2]周漢良 范玉妹 數(shù)學規(guī)劃及其