測量數(shù)據(jù)及實驗誤差分析處理畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)</b></p><p><b>　　設(shè)計（論文）</b></p><p>　　測量數(shù)據(jù)及實驗誤差分析處理</p><p>　　姓 名： </p><p>　　學(xué) 號：

2、 </p><p>　　班 級： 應(yīng)用電子1001班 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師： </p><p>　　所 在 系 部： 信息工程系 </p><p>　　二○一三年六畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告</p><p&

3、gt;　　畢業(yè)論文（設(shè)計）成績評定</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　由于實驗方法和實驗設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測量程序等限制，實驗觀測值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對誤差、相對誤差或有效數(shù)字來說明一個近似值的準(zhǔn)確程度。為了評定實驗數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來源及其影響，需要對實驗的誤差進(jìn)行分析和討論

4、。由此可以判定哪些因素是影響實驗精確度的主要方面，從而在以后實驗中，進(jìn)一步改進(jìn)實驗方案，縮小實驗觀測值和真值之間的差值，提高實驗的精確性。</p><p>　　關(guān)鍵字：測量值 誤差 平均值 精確度</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　As a result of experimental methods a

5、nd equipment are not perfect, the surrounding environment, as well as people 's observation, measurement procedures and other constraints, the experimentally observed values and true values in between, there is some

6、difference. People often use absolute error, relative error or the effective figures to illustrate an approximation accuracy. In order to assess the accuracy of experimental data or error, recognize the error sources and

7、 their effects, the need fo</p><p>　　Key Words: measurement error average precision.目 錄</p><p><b>　　引 言5</b></p><p>　　第一章 測量誤差基本概念6</p><p>　　1.1 測量和誤差的比

8、較：6</p><p>　　1.2 誤差分類：6</p><p>　　1.3 算術(shù)平均值：7</p><p>　　第二章 實驗數(shù)據(jù)的誤差分析8</p><p>　　2.1 誤差的基本概念8</p><p>　　2.2 誤差的分類9</p><p>　　2.3 精密度、準(zhǔn)確度和精確度

9、10</p><p>　　2.4 誤差的表示方法11</p><p>　　第三章 誤差的基本性質(zhì)15</p><p>　　3.1 測量集合的最佳值16</p><p>　　3.2 函數(shù)誤差18</p><p>　　第四章 有效數(shù)字及其運算規(guī)則23</p><p><b>　　

10、結(jié)束語25</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)25</b></p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　測量是人類認(rèn)識事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過測量和實驗?zāi)苁谷藗儗κ挛铽@得定量的

11、概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性?？茖W(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實驗測量為基礎(chǔ)的。測量就是用實驗的方法，將被測物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定它的大小。</p><p>　　為了評定實驗數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來源及其影響，需要對實驗的誤差進(jìn)行分析和討論。從而在以后實驗中，進(jìn)一步改進(jìn)實驗方案，縮小實驗觀測值和真值之間的差值，提高實驗的精確性。</p><p>　　第一章 測量誤

12、差基本概念</p><p>　　1.1 測量和誤差的比較：</p><p><b>　　測量的方式：</b></p><p>　?。?）直接測量：米尺量桌子可直接知道桌子長度。</p><p>　?。?）間接測量：由直接測量的數(shù)據(jù)，通過一定的函數(shù)關(guān)系，計算求得結(jié)果的測量方法</p><p>　　靜

13、態(tài)測量與動態(tài)測量：按照被測量在測量過程中的狀態(tài)是否隨時間變化判斷靜態(tài)/動態(tài)，常規(guī)、穩(wěn)態(tài)/過程、瞬態(tài)</p><p>　　真值：在一定時空條件下，某物理量的理想值，表達(dá)為A。真值僅為理想概念。真值可以用修正過的測量值的算術(shù)平均值代替。</p><p><b>　　誤差的表達(dá)方法：</b></p><p>　　絕對誤差: 測量值與被測量物理量

14、的真值的差</p><p>　　示值相對誤差: 絕對誤差與真值的百分比</p><p>　　測量值相對誤差：絕對誤差與測量值x的百分比 </p><p>　　[例1] 儀表的精度用額定相對誤差（滿度誤差）表示。額定相對誤差：絕對誤差與儀器滿度值 A0的百分比。</p><p>　　A0——表盤上的最大值（滿度值）。儀器工作在滿度值2/3

15、以上區(qū)域 。</p><p><b>　　1.2 誤差分類：</b></p><p>　　系統(tǒng)誤差 ——多次測量同一被測量物體過程中，誤差的數(shù)值在一定條件下保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量。</p><p>　　來源于測量儀器本身精度、操作流程、操作方式、環(huán)境條件。 </p><p>　　隨機(jī)誤差 ——多次測量

16、同一被測量物體過程中，絕對值和符號以不可預(yù)知方式變化著的測量誤差的分量。</p><p>　　具有隨機(jī)變量特點，一定條件下服從統(tǒng)計規(guī)律的誤差。</p><p>　　來源于測量中的隨機(jī)因素：實驗裝置操作上的變動性、觀測者本人的判斷和估計讀數(shù)上的變動性等。</p><p>　　1.3 算術(shù)平均值：</p><p>　　最小二乘法指出：對等精度的多

17、個測量值，最佳值（可信賴值）是使各測量值的誤差的平方和為最小時所求的值。</p><p>　　推導(dǎo)： 絕對誤差： </p><p><b>　　概率：</b></p><p>　　誤差同時出現(xiàn)的概率是各個概率的乘積：</p><p>　　p最大則 最小 </p><p

18、>　　結(jié)論：足夠次數(shù)的等精度測量的算術(shù)平均值是測量最佳值</p><p>　　定義：誤差的均方根值</p><p>　　(1) 貝塞爾公式法求 </p><p><b>　　推導(dǎo)：</b></p><p><b>　　方差的基本預(yù)算法則</b></p><p>　　用殘

19、差 vi 代替絕對誤差 時，標(biāo)準(zhǔn)誤差 與 v 在N趨于無窮時才相等。</p><p>　　(2) 最大殘差法求 </p><p>　　由正態(tài)分布，獲得不同N次測量下的最大殘差ni的平均值，則任一次測量</p><p>　　殘差：真值A(chǔ)用算術(shù)平均值代替時的誤差</p><p>　　可查表（已知），由正態(tài)分布理論給出。 </p>

20、<p>　　第二章 實驗數(shù)據(jù)的誤差分析</p><p>　　由于實驗方法和實驗設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測量程序等限制，實驗觀測值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對誤差、相對誤差或有效數(shù)字來說明一個近似值的準(zhǔn)確程度。為了評定實驗數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來源及其影響，需要對實驗的誤差進(jìn)行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實驗精確度的主要方面，從而在以后實驗中，進(jìn)一步

21、改進(jìn)實驗方案，縮小實驗觀測值和真值之間的差值，提高實驗的精確性。</p><p>　　2.1 誤差的基本概念</p><p>　　測量是人類認(rèn)識事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過測量和實驗?zāi)苁谷藗儗κ挛铽@得定量的概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性。科學(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實驗測量為基礎(chǔ)的。測量就是用實驗的方法，將被測物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定它的大小。</p>&

22、lt;p><b>　　1.真值與平均值</b></p><p>　　真值是待測物理量客觀存在的確定值，也稱理論值或定義值。通常真值是無法測得的。若在實驗中，測量的次數(shù)無限多時，根據(jù)誤差的分布定律，正負(fù)誤差的出現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過細(xì)致地消除系統(tǒng)誤差，將測量值加以平均，可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實際上實驗測量的次數(shù)總是有限的。用有限測量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列

23、幾種:</p><p>　　(1) 算術(shù)平均值 算術(shù)平均值是最常見的一種平均值。</p><p>　　設(shè)、、……、為各次測量值，代表測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 (2-1)</p><p>　　(2) 幾何平均值 幾何平均值是將一組n個測量值連乘并開n次方求得的平均

24、值。即</p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　?。?）均方根平均值 </p><p><b>　　(2-3)</b></p><p>　　(4) 對數(shù)平均值 在化學(xué)反應(yīng)、熱量和質(zhì)量傳遞中，其分布曲線多具有對數(shù)的特性，在這種情況下表征平均值常用對數(shù)平均值。</p&

25、gt;<p>　　設(shè)兩個量、，其對數(shù)平均值</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　應(yīng)指出，變量的對數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值。當(dāng)/≤2時，可以用算術(shù)平均值代替對數(shù)平均值。</p><p>　　當(dāng)/=2，=1.443, 1.50, (-)／=4.2%, 即/≤2，引起的誤差不超過4.2%。</p&g

26、t;<p>　　以上介紹各平均值的目的是要從一組測定值中找出最接近真值的那個值。在化工實驗和科學(xué)研究中，數(shù)據(jù)的分布較多屬于正態(tài)分布，所以通常采用算術(shù)平均值。</p><p><b>　　2.2 誤差的分類</b></p><p>　　根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，一般分為三類：</p><p>　　（1）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是指在測

27、量和實驗中未發(fā)覺或未確認(rèn)的因素所引起的誤差，而這些因素影響結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個方向偏移，其大小及符號在同一組實驗測定中完全相同，當(dāng)實驗條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就獲得一個客觀上的恒定值。</p><p>　　當(dāng)改變實驗條件時，就能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。</p><p>　　系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測量儀器不良，如刻度不準(zhǔn)，儀表零點未校正或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏差等；周圍環(huán)境的改變，如溫度、壓力、濕度等偏離校

28、準(zhǔn)值；實驗人員的習(xí)慣和偏向，如讀數(shù)偏高或偏低等引起的誤差。針對儀器的缺點、外界條件變化影響的大小、個人的偏向，待分別加以校正后，系統(tǒng)誤差是可以清除的。</p><p>　　（2）偶然誤差 在已消除系統(tǒng)誤差的一切量值的觀測中，所測數(shù)據(jù)仍在末一位或末兩位數(shù)字上有差別，而且它們的絕對值和符號的變化，時而大時而小，時正時負(fù)，沒有確定的規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差或隨機(jī)誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明，因而無法控制和補(bǔ)償。但是

29、，倘若對某一量值作足夠多次的等精度測量后，就會發(fā)現(xiàn)偶然誤差完全服從統(tǒng)計規(guī)律，誤差的大小或正負(fù)的出現(xiàn)完全由概率決定。因此，隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多次測量結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值。</p><p>　?。?）過失誤差 過失誤差是一種顯然與事實不符的誤差，它往往是由于實驗人員粗心大意、過度疲勞和操作不正確等原因引起的。此類誤差無規(guī)則可尋，只要加強(qiáng)責(zé)任感、多方警惕、細(xì)心操作，過失誤

30、差是可以避免的。</p><p>　　2.3 精密度、準(zhǔn)確度和精確度</p><p>　　反映測量結(jié)果與真實值接近程度的量，稱為精度（亦稱精確度）。它與誤差大小相對應(yīng)，測量的精度越高，其測量誤差就越小?！熬取睉?yīng)包括精密度和準(zhǔn)確度兩層含義。</p><p>　　（1）精密度：測量中所測得數(shù)值重現(xiàn)性的程度，稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程度，精密度高就表示偶然誤差小

31、。</p><p>　?。?）準(zhǔn)確度 測量值與真值的偏移程度，稱為準(zhǔn)確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度，準(zhǔn)確度高就表示系統(tǒng)誤差小。</p><p>　?。?）精確度（精度） 它反映測量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。</p><p>　　在一組測量中，精密度高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高，但精確度高，則精密度和準(zhǔn)確度都高。</p>

32、<p>　　為了說明精密度與準(zhǔn)確度的區(qū)別，可用下述打靶子例子來說明。如圖2-1所示。</p><p>　　圖2-1(a)中表示精密度和準(zhǔn)確度都很好，則精確度高；圖2-1(b)表示精密度很好，但準(zhǔn)確度卻不高；圖2-1(c)表示精密度與準(zhǔn)確度都不好。在實際測量中沒有像靶心那樣明確的真值，而是設(shè)法去測定這個未知的真值。</p><p>　　學(xué)生在實驗過程中，往往滿足于實驗數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性

33、，而忽略了數(shù)據(jù)測量值的準(zhǔn)確程度。絕對真值是不可知的，人們只能訂出一些國際標(biāo)準(zhǔn)作為測量儀表準(zhǔn)確性的參考標(biāo)準(zhǔn)。隨著人類認(rèn)識運動的推移和發(fā)展，可以逐步逼近絕對真值。</p><p>　?。╝） （b） （c）</p><p>　　圖 2-1 精密度和準(zhǔn)確度的關(guān)系</p><p>　　2.4 誤差的表示方法<

34、/p><p>　　利用任何量具或儀器進(jìn)行測量時，總存在誤差，測量結(jié)果總不可能準(zhǔn)確地等于被測量的真值，而只是它的近似值。測量的質(zhì)量高低以測量精確度作指標(biāo)，根據(jù)測量誤差的大小來估計測量的精確度。測量結(jié)果的誤差愈小，則認(rèn)為測量就愈精確。</p><p>　?。?）絕對誤差 測量值和真值之差為絕對誤差，通常稱為誤差。記為：</p><p><b>　　(2-5)&l

35、t;/b></p><p>　　由于真值一般無法求得，因而上式只有理論意義。常用高一級標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實際值以代替真值。由于高一級標(biāo)準(zhǔn)儀器存在較小的誤差，因而A不等于，但總比更接近于。與之差稱為儀器的示值絕對誤差。記為</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p>　　與d相反的數(shù)稱為修正值，記為</p>

36、<p><b>　　(2-7)</b></p><p>　　通過檢定，可以由高一級標(biāo)準(zhǔn)儀器給出被檢儀器的修正值。利用修正值便可以求出該儀器的實際值。即</p><p><b>　　(2-8)</b></p><p>　　（2）相對誤差 衡量某一測量值的準(zhǔn)確程度，一般用相對誤差來表示。示值絕對誤差與被測量的實際

37、值的百分比值稱為實際相對誤差。記為</p><p><b>　　(2-9) </b></p><p>　　以儀器的示值代替實際值的相對誤差稱為示值相對誤差。記為</p><p><b>　　(2-10) </b></p><p>　　一般來說，除了某些理論分析外，用示值相對誤差較為適宜。</p

38、><p>　?。?）引用誤差 為了計算和劃分儀表精確度等級，提出引用誤差概念。其定義為儀表示值的絕對誤差與量程范圍之比。</p><p><b>　　(2-11)</b></p><p>　　-- 示值絕對誤差；</p><p>　　-- 標(biāo)尺上限值-標(biāo)尺下限值。</p><p>　　（4）算術(shù)平均

39、誤差 算術(shù)平均誤差是各個測量點的誤差的平均值。</p><p><b>　　(2-12)</b></p><p><b>　　—測量次數(shù)；</b></p><p>　　—為第 次測量的誤差。</p><p>　?。?）標(biāo)準(zhǔn)誤差 標(biāo)準(zhǔn)誤差亦稱為均方根誤差。其定義為</p><p

40、><b>　　(2-13)</b></p><p>　　上式使用于無限測量的場合。實際測量工作中，測量次數(shù)是有限的，則改用下式</p><p><b>　　(2-14)</b></p><p>　　標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個具體的誤差，的大小只說明在一定條件下等精度測量集合所屬的每一個觀測值對其算術(shù)平均值的分散程度，如果的值愈

41、小則說明每一次測量值對其算術(shù)平均值分散度就小，測量的精度就高，反之精度就低。</p><p>　　在化工原理實驗中最常用的形管壓差計、轉(zhuǎn)子流量計、秒表、量筒、電壓等儀表原則上均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對誤差計算值。</p><p><b>　　5、測量儀表精確度</b></p><p>　　測量儀表的精確等級是用最

42、大引用誤差（又稱允許誤差）來標(biāo)明的。它等于儀表示值中的最大絕對誤差與儀表的量程范圍之比的百分?jǐn)?shù)。</p><p><b>　　(2-15)</b></p><p>　　式中：δmax——儀表的最大測量引用誤差；</p><p>　　dmax——儀表示值的最大絕對誤差；</p><p>　　Xn——標(biāo)尺上限值—標(biāo)尺下限值。

43、</p><p>　　通常情況下是用標(biāo)準(zhǔn)儀表校驗較低級的儀表。所以，最大示值絕對誤差就是被校表與標(biāo)準(zhǔn)表之間的最大絕對誤差。</p><p>　　測量儀表的精度等級是國家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號去掉，剩下的數(shù)字就稱為儀表的精度等級。儀表的精度等級常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標(biāo)明在儀表的面板上。例如某臺壓力計的允許誤差為1.5%，這臺壓力計電工儀表的精度等級就是1.5，通常簡稱1.5級儀表。<

44、;/p><p>　　儀表的精度等級為a，它表明儀表在正常工作條件下，其最大引用誤差的絕對值δmax不能超過的界限，即</p><p><b>　　(2-16)</b></p><p>　　由式(2-16)可知，在應(yīng)用儀表進(jìn)行測量時所能產(chǎn)生的最大絕對誤差（簡稱誤差限）為</p><p><b>　　(2-17)<

45、;/b></p><p>　　而用儀表測量的最大值相對誤差為</p><p><b>　　(2-18)</b></p><p>　　由上式可以看出，用只是儀表測量某一被測量所能產(chǎn)生的最大示值相對誤差，不會超過儀表允許誤差a% 乘以儀表測量上限Xn與測量值X的比。在實際測量中為可靠起見，可用下式對儀表的測量誤差進(jìn)行估計，即</p>

46、;<p><b>　　(2-19)</b></p><p>　　[例2-1] 用量限為5A，精度為0.5級的電流表，分別測量兩個電流，I1 =5A,I2 =2.5A,試求測量I1和I2的相對誤差為多少？</p><p>　　由此可見，當(dāng)儀表的精度等級選定時，所選儀表的測量上限越接近被測量的值，則測量的誤差的絕對值越小。</p><p

47、>　　[例2-2] 想要測量90V的電壓，實驗室現(xiàn)有0.5級0-300V和1.0級0-100V的電壓表。問選用哪一種電壓表進(jìn)行測量為好？</p><p>　　用0.5級0-300V的電壓表測量90V的相對誤差為</p><p>　　用1.0級0-100V的電壓表測量90V的相對誤差為</p><p>　　上例說明，如果選擇得當(dāng)，用量程范圍適當(dāng)?shù)?.0級儀表進(jìn)行

48、測量，能得到比用量程范圍大的0.5級儀表更準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，在選用儀表時，應(yīng)根據(jù)被測量值的大小，在滿足被測量數(shù)值范圍的前提下，盡可能選擇量程小的儀表，并使測量值大于所選儀表滿刻度的三分之二，即X＞2Xn/3 。這樣就可以達(dá)到滿足測量誤差要求，又可以選擇精度等級較低的測量儀表，從而降低儀表的成本。</p><p>　　第三章 誤差的基本性質(zhì)</p><p>　　在化工原理實驗中通常直接測量或

49、間接測量得到有關(guān)的參數(shù)數(shù)據(jù)，這些參數(shù)數(shù)據(jù)的可靠程度如何？如何提高其可靠性？因此，必須研究在給定條件下誤差的基本性質(zhì)和變化規(guī)律。</p><p><b>　　1、誤差的正態(tài)分布</b></p><p>　　如果測量數(shù)列中不包括系統(tǒng)誤差和過失誤差，從大量的實驗中發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小有如下幾個特征：</p><p>　?。?）絕對值小的誤差比絕對值大的

50、誤差出現(xiàn)的機(jī)會多，即誤差的概率與誤差的大小有關(guān)。這是誤差的單峰性。</p><p>　?。?）絕對值相等的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)，即誤差的概率相同。這是誤差的對稱性。</p><p>　?。?）極大的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的概率都非常小，即大的誤差一般不會出現(xiàn)。這是誤差的有界性。</p><p>　?。?）隨著測量次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。這叫誤差

51、的低償性。</p><p>　　根據(jù)上述的誤差特征，可疑的出誤差出現(xiàn)的概率分布圖，如圖2-2所示。圖中橫坐標(biāo)表示偶然誤差，縱坐標(biāo)表示個誤差出現(xiàn)的概率，圖中曲線稱為誤差分布曲線，以表示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式有高斯提出，具體形式為：</p><p>　　(2--20)或 (2--21)</p

52、><p>　　上式稱為高斯誤差分布定律亦稱為誤差方程。式中σ為標(biāo)準(zhǔn)誤差，h為精確度指數(shù)，σ和h的關(guān)系為 (2--22)</p><p>　　若誤差按函數(shù)關(guān)系分布，則稱為正態(tài)分布。σ越小，測量精度越高，分布曲線的峰值越高切窄；σ越大，分布曲線越平坦且越寬，如圖1-3所示。由此可知

53、，σ越小，小誤差占的比重越大，測量精度越高。反之，則大誤差占的比重越大，測量精度越低。</p><p>　　3.1 測量集合的最佳值</p><p>　　在測量精度相同的情況下，測量一系列觀測值,,,……,所組成的測量集合，假設(shè)圖 2-2 誤差分布</p><p>　　其平均值為,則各次測量誤差為</p><p>　　, i=1、2…

54、n，</p><p>　　當(dāng)采用不同的方法計算平均值時，所得到誤差值不同，誤差出現(xiàn)的概率亦不同。若選取適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒?，使誤差最小，而概率最大，由此計算的平均值為最佳值。根據(jù)高斯分布定律，只有各點誤差平方和最小，才能實現(xiàn)概率最大。這就是最小乘法值。由此可見，對于一組精度相同的觀測值，采用算術(shù)平均得到的值是該組觀測值的最佳值。

55、圖2-3 不同σ的誤差分布曲線 </p><p>　　有限測量次數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的計算</p><p>　　由誤差基本概念知，誤差是觀測值和真值之差。在沒有系統(tǒng)誤差存在的情況下，以無限多次測量所得到的算術(shù)平均值為真值。當(dāng)測量次數(shù)為有限時，所得到的算術(shù)平均值近似于真值，稱最佳值。因此，觀測值與真值之差不同于觀測值與最佳值之差。</p>

56、<p>　　令真值為A，計算平均值為a，觀測值為M，并令d=M-a，D=M-A，則</p><p>　　…………… ……………</p><p><b>　　因為 </b></p><p><b>　　代入中，即得</b></p><p><b>　　（2—2

57、3）</b></p><p>　　將式（2—23）式代入di =Mi -a中得</p><p><b>　?。?—24）</b></p><p>　　將式（2—24）兩邊各平方得</p><p>　　…………… ……………</p><p><b>　　對i求和 <

58、;/b></p><p>　　因在測量中正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等，故將（ΣDi）2展開后，D1﹒D2、D1 ﹒D3…，為正為負(fù)的數(shù)目相等，彼此相消，故得</p><p>　　從上式可以看出，在有限測量次數(shù)中，自算數(shù)平均值計算的誤差平方和永遠(yuǎn)小于自真值計算的誤差平方和。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義</p><p>　　式中ΣDi2代表觀測次數(shù)為無限多時誤差的平方和，故當(dāng)觀測

59、次數(shù)有限時，</p><p><b>　?。?—25）</b></p><p>　　4．可疑觀測值的舍棄 </p><p>　　由概率積分知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線下的全部積分，相當(dāng)于全部誤差同時出現(xiàn)的概率，</p><p>　　即

60、 （2—26）</p><p>　　若誤差x以標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的倍數(shù)表示，即x=tσ，則在±tσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為2Φ(t)，超出這個范圍的概率為1-2Φ(t)。Φ(t)稱為概率函數(shù)，表示為</p><p><b>　　（2—27）</b></p><p>　　2Φ(t)與t的對應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊或?qū)Ｖ芯接写祟惙e分表，讀者需要時可自行

61、查取。在使用積分表時，需已知t值。由表2-1和圖（2-4）給出幾個典型及其相應(yīng)的超出或不超出|x|的概率。</p><p>　　由表2-1知，當(dāng)t=3, |x|=3σ時，在370次觀測中只有一次測量的誤差超過3σ范圍。在有限次的觀測中，一般測量次數(shù)不超過十次，可以認(rèn)為誤差大于3σ，可能是由于過失誤差或?qū)嶒灄l件變化未被發(fā)覺等原因引起的。因此，凡是誤差大于3σ的數(shù)據(jù)點予以舍棄。這種判斷可疑實驗數(shù)據(jù)的原則稱為3σ準(zhǔn)則。

62、</p><p>　　3.2 函數(shù)誤差 </p><p>　　上述討論主要是直接測量的誤差計算問題，但在許多場合下，往往涉及間接測量的變量，所謂間接測量是通過直接測量的量之間有一定的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)函數(shù)被測的量，如傳熱問題中的傳熱速率。因此，間接測量值就是直接測量得到的各個測量值的函數(shù)。其測量誤差是各個測量值誤差的函數(shù)。</p><p>　　圖 2-4 誤差分布

63、曲線的積分</p><p>　　表2-1 誤差概率和出現(xiàn)次數(shù)</p><p>　　函數(shù)誤差的一般形式：在間接測量中，一般為多元函數(shù)，而多元函數(shù)可用下式表示：</p><p>　　y= f (x1,x2,…,xn) （2—28）</p><p>

64、　　式中 y—間接測量值；</p><p><b>　　xi—直接測量值。</b></p><p><b>　　由臺勞級數(shù)展開得</b></p><p><b>　?。?—29）或 </b></p><p>　　它的最大絕對誤差為：</p><p>&

65、lt;b>　?。?—30）</b></p><p>　　式中 —誤差傳遞系數(shù)；</p><p>　　Δxi —直接測量值的誤差；</p><p>　　Δy — 間接測量值的最大絕對誤差。</p><p><b>　　函數(shù)的相對誤差δ為</b></p><p><b>　

66、?。?—31）</b></p><p>　　（2）某些函數(shù)誤差的計算</p><p>　　函數(shù)y=x±z絕對誤差和相對誤差 </p><p>　　由于誤差傳遞系數(shù)，則函數(shù)最大絕對誤差</p><p>　　Δy=±（|Δx|+|Δz|）

67、 （2—32）</p><p><b>　　相對誤差：</b></p><p><b>　　（2—33）</b></p><p>　?、诤瘮?shù)形式為，x、z、w為變量</p><p>　　誤差傳遞系數(shù)為： </p><p>　　函數(shù)的最大絕對誤差為</p>

68、;<p><b>　?。?—34）</b></p><p>　　函數(shù)的最大相對誤差為</p><p><b>　　（2—35）</b></p><p>　　現(xiàn)將某些常用函數(shù)的最大絕對誤差和相對誤差列于表2—2中。</p><p>　　[例2-3] 用量熱器測定固體比熱容時采用的公式

69、 </p><p>　　式中 M—量熱器內(nèi)水的質(zhì)量</p><p><b>　　m—被測物體的質(zhì)量</b></p><p>　　t0— 測量前水的溫度</p><p>　　t1— 放入量熱器前物體的溫度</p><p>　　t2— 測量時水的溫度</p><p>　　C

70、pH2O—水的熱容，4.187Kj/(kg.·K)</p><p><b>　　測量結(jié)果如下：</b></p><p>　　M=250±0.2g m=62.31±0.02g</p><p>　　t0=13.52±0.01℃ t1=99.32±0.04℃</

71、p><p>　　t2=17.79±0.01℃</p><p>　　試求測量物的比熱容之真值，并確定能否提高測量精度。</p><p>　　解：根據(jù)題意，計算函數(shù)之真值，需計算各變量的絕對誤差和誤差傳遞系數(shù)。為了簡化計算，令θ0=t2--t0=4.27℃, θ1=t1—t2=81.53℃,. </p><p>　　方程改寫為

72、 </p><p>　　表2-2 某些函數(shù)的誤差傳遞公式</p><p><b>　　各變量的絕對誤差為</b></p><p>　　各變量的誤差傳遞系數(shù)為</p><p><b>　　函數(shù)的絕對誤差</b></p><p>　　=3.52×10-3×0

73、.2—1.41×10-2×0.02+0.206×0.02—1.08×10-2×0.05</p><p>　　=0.704×10-3—0.282×10-3 + 4.12×10-3--0.54×10-3</p><p>　　=4.00×10-3 J/(g·K)</p>

74、<p><b>　　J/(g·K)</b></p><p>　　故真值 Cp=0.8798±0.0003 J/(g·K)</p><p>　　由有效數(shù)字位數(shù)考慮以上的測量結(jié)果清度已滿足要求。若不僅考慮有效數(shù)字位數(shù)，尚需從比較各變量的測量精度，確定是否有可能提高測量精度。則本例可從分析比較各變量的相對誤差著手。</p&g

75、t;<p>　　各變量的相對誤差分別為</p><p>　　其中以θ0的相對誤差為0.468%，誤差最大，是M的5.85倍，是m的14.63倍。為了提高Cp的測量精度，可改善θ0的測量儀表的精度，即提高測量水溫的溫度計精度，如采用貝克曼溫度計，分度值可達(dá)0.002，精度為0.001。則其相對誤差為</p><p>　　由此可見，變量的精度基本相當(dāng)。提高θ0精度后Cp的絕對誤差

76、為</p><p>　　ΔCp=3.52×10-3×0.2—1.41×10-2×0.02+0.206×0.002—1.08×10-2×0.05</p><p>　　=0.704×10-3—0.282×10-3 + 0.412×10-3--0.54×10-3</p>&

77、lt;p>　　=2.94×10-4J/(g·K)</p><p>　　系統(tǒng)提高精度后，Cp的真值為</p><p>　　Cp=0.8798±0.0003 J/(g·K)</p><p>　　第四章 有效數(shù)字及其運算規(guī)則</p><p>　　在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來表示測量或計算結(jié)果，總是

78、以一定位數(shù)的數(shù)字來表示。不是說一個數(shù)值中小數(shù)點后面位數(shù)越多越準(zhǔn)確。實驗中從測量儀表上所讀數(shù)值的位數(shù)是有限的，而取決于測量儀表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計數(shù)字。即一般應(yīng)讀到測量儀表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準(zhǔn)確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來決定。</p><p><b>　　有效數(shù)字</b></p><p>　　一個數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的“0”外，其他

79、數(shù)都是有效數(shù)字。如0.0037只有兩位有效數(shù)字，而370.0則有四位有效數(shù)字。一般要求測試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不一定都是可靠數(shù)字。如測流體阻力所用的U形管壓差計，最小刻度是1mm，但我們可以讀到0.1mm，如342.4mmHg。又如二等標(biāo)準(zhǔn)溫度計最小刻度為0.1℃，我們可以讀到0.01℃，如15.16℃。此時有效數(shù)字為4位，而可靠數(shù)字只有三位，最后一位是不可靠的，稱為可疑數(shù)字。記錄測量數(shù)值時只保留一位可疑數(shù)字。</p

80、><p>　　為了清楚地表示數(shù)值的精度，明確讀出有效數(shù)字位數(shù)，常用指數(shù)的形式表示，即寫成一個小數(shù)與相應(yīng)10的整數(shù)冪的乘積。這種以10的整數(shù)冪來記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。</p><p>　　如 75200 有效數(shù)字為4位時，記為7.520*105</p><p>　　有效數(shù)字為3位時，記為7.52*105</p><p>　　有效數(shù)字為

81、2位時，記為7.5*105</p><p>　　0.00478 有效數(shù)字為4位時，記為4.780*10-3</p><p>　　有效數(shù)字為3位時，記為4.78*10-3</p><p>　　有效數(shù)字為2位時，記為4.7*10-3</p><p>　?。?）記錄測量數(shù)值時，只保留一位可疑數(shù)字。</p><p>　　

82、（2）當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，其余數(shù)字一律舍棄。舍棄辦法是四舍六入，即末位有效數(shù)字后邊第一位小于5，則舍棄不計；大于5則在前一位數(shù)上增1；</p><p>　　等于5時，前一位為奇數(shù)，則進(jìn)1為偶數(shù)，前一位為偶數(shù)，則舍棄不計。這種舍入原則可簡述為：“小則舍，大則入，正好等于奇變偶”。如：保留4位有效數(shù)字 3.71729→3.717;5.14285→5.143;7.62356→7.624;9.37656→9.376

83、;</p><p>　?。?）在加減計算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同。例如將24.65 0.0082 1.632三個數(shù)字相加時，應(yīng)寫為 24.65 + 0.01 + 1.63 = 26.29。</p><p>　?。?）在乘除運算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，以各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)為準(zhǔn)；其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)亦應(yīng)與原來各數(shù)中有效數(shù)字最少的那個數(shù)相同。例如：0.01

84、21×25.64×1.05782應(yīng)寫成0.0121×25.64×1.06=0.328。上例說明，雖然這三個數(shù)的乘積為0.3281823，但只應(yīng)取其積為0.328。</p><p>　　（5）在對數(shù)計算中，所取對數(shù)位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　

85、　實驗數(shù)據(jù)的誤差的分析是人類認(rèn)識事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過誤差分析，能使人們對事物獲得定量的概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性。它在審核這一功能中能夠?qū)Σ煌闆r的資料進(jìn)行處理，對需要的信息進(jìn)行概述，在本論文的開發(fā)過程中，由于本人是初次接觸，在知識、經(jīng)驗方面都存在著不足。加上時間也比較倉促。因此，必然會存在一些缺陷和不足。雖然實驗數(shù)據(jù)誤差分析在文明實際生活中的應(yīng)用不是很多，但是它代表未來的發(fā)展方向。通過這次論文設(shè)計，不是掌握了更多的專業(yè)知識，而是

86、學(xué)會了設(shè)計系統(tǒng)的思維方法，以及與同學(xué)們之間相互幫助的精神。</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在論文即將完成之際，回顧緊張而又充實的學(xué)習(xí)過程，首先誠摯的感謝指導(dǎo)老師zz，我從老師身上學(xué)到了很多東西。他認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。他無論在理論上還是在實踐中，都給與我很大的幫助，使我得到很大的提高，這對于我

87、以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，在此感謝他耐心的輔導(dǎo)。在撰寫論文階段，老師幾次審閱我們的論文，提出了許多寶貴意見。</p><p>　　另外，我還要感謝在這幾年來對我有所教導(dǎo)的老師，他們孜孜不倦的教誨不但讓我學(xué)到了很多知識，而且讓我掌握了學(xué)習(xí)的方法。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]朱鶴年.基礎(chǔ)物理實

88、驗教程[M].北京:高等教育出版社,2003. </p><p>　　[2]權(quán)松.大學(xué)物理實驗中的誤差理論[J].吉林建筑工程學(xué)院學(xué)報,2007.</p><p>　　[3]孫海燕.測量誤差與測量不確定度表述方法的研究[J].測繪工程程,2003.</p><p>　　[4] 張瑾《定量分析物理中誤差的判斷方法》 山西教育學(xué)院學(xué)報 2000.</p>