畢業(yè)論文-留數(shù)與三角變換求定積分的比較

1、<p>　　各專業(yè)完整優(yōu)秀畢業(yè)論文設(shè)計圖紙</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　目錄……………………………………………………… ………………………………Ⅰ</p><p>　　摘要…………………………………………………………… …………………………Ⅱ</p><p>　　關(guān)鍵

2、詞…… ………………………………………………………………………………Ⅱ</p><p>　　1 引言… …………………………………… ……………………… ……………………1</p><p>　　2 預備知識 …………………………………………………………… …………………1</p><p>　　2.1基本定義及定理 ……………………… ……………………… ………………

3、…1</p><p>　　2.2三角變換公式 …………… ………………………………………………… ……1 </p><p>　　3 留數(shù)理論及三角變換在定積分中的應用 ………………………… …………………2</p><p>　　3.1 三角函數(shù)定積分的復數(shù)等價形式……………………………… …………………2

4、 </p><p>　　3.2 求三角函數(shù)定積分的比較探討 ……… …………………… …… ………………2</p><p>　　3.3 形如和定積分的復數(shù)等價形式…… ……6</p><p>　　3.4形如和定積分的比較探討 ………… ……7</p><p>　　4 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應用比

5、較小結(jié) …………………… ……………8</p><p>　　5 結(jié)束語……………………………………………………………………………………8</p><p>　　參考文獻……………………………………………………………………………………9</p><p>　　留數(shù)與三角變換求定積分的比較</p><p>　　摘 要:在計算某些三角有理函數(shù)的定積分

6、時，用三角變換公式等方法計算往往是十分麻煩的。或者不易求出這些三角函數(shù)的積分值，甚至有的定積分存在但求不出來。如果應用留數(shù)理論計算這些三角函數(shù)的積分就顯得比較簡潔，而且有助于定積分計算思路的擴展，促進數(shù)學計算方法之間的聯(lián)系。</p><p>　　關(guān)鍵詞:定積分;留數(shù);三角變換</p><p>　　Comparison of residue triangle transform to fin

7、d definite integrals</p><p>　　Gao Minggui</p><p>　　(grade 2009 class(1),Mathematics and applied mathematics,School of Mathematical Science ) </p><p>　　Abstract: In calculation the d

8、efinite integral of a rational function of some triangle, triangle transformation formula is often very troublesome. or difficult to find the integral value of these trigonometric functions ,and even some fixed integral

9、exists but demand does not come out. if the application to calculate these trigonometric integral residue theory is relatively simple, but also helps a the calculated integral extension of the idea to promote the connect

10、ion between the mathematical c</p><p>　　Key words: definite integral; residue ; trigonometrical transform</p><p><b>　　1 引言 </b></p><p>　　近年來為適應教育改革而提倡的研究性學習，可培養(yǎng)新時代學生的創(chuàng)新

11、能力產(chǎn)生新的學習方式[1]。也就是說對一些重點、熱點問題進行專題研究，對思維能力的培養(yǎng)、數(shù)學素養(yǎng)和綜合應用知識的能力的提高顯得尤為重要。</p><p>　　在求三角有理函數(shù)的定積分問題上，很多資料都是先用三角變換公式化為一般函數(shù)的定積分；然后再利用換元法、公式法、分部積分法等方法來計算。這些方法雖然都能達到計算目的也各有千秋，但是存在一個最大的缺點：計算量大且計算繁瑣，給學習帶來了不便，甚至有的定積分存在但求不

12、出來[1]。針對應用三角變換公式存在的缺點，通過對應用留數(shù)理論與三角變換求三角有理函數(shù)定積分的比較，發(fā)現(xiàn)解決三角函數(shù)定積分更為簡便的方法。從而對用一般方法很難求得的三角有理函數(shù)定積分應用留數(shù)理論進行求解。其要點是將定積分化歸為復變函數(shù)的圍線積分，然后利用留數(shù)理論進行求解。</p><p><b>　　2 預備知識</b></p><p>　　2.1基本定義及定理<

13、;/p><p>　　定義2.1設(shè)是的孤立奇點,在的洛朗展式為，稱這個展式的負一次的系數(shù)為在點的留數(shù)（residue），記為或[2]。</p><p>　　定理2.1設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限孤立奇點…外處處解析,是內(nèi)包含諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則:[2]。 2.2三角變換公式</p><p><b>　　令，則有</b>&l

14、t;/p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　[3]；其中是一條簡單的封閉曲線。 </p><p>　　3 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應用</p><p>　　3.1三角函數(shù)定積分的復數(shù)等價形式</p><p>　　這里是分母恒不為零的三角有理函數(shù)，并且在上連續(xù)。在進行此類函

15、數(shù)的定積分計算時要注意以下幾點:第一是積分上下限之差為，這樣當作定積分時從經(jīng)歷變到，對應的復變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周；第二是被積函數(shù)是以正弦或余弦函數(shù)為自變量。當滿足這兩個特點之后，可設(shè)，則</p><p><b>　　[4]</b></p><p>　　其中是一條簡單的封閉曲線，這里的關(guān)鍵一步是引進了變數(shù)代換。至于被積函數(shù)上的連續(xù)性不必先檢驗，只要看變換后的被

16、積函數(shù)在上是否有奇點。</p><p>　　3.2求三角函數(shù)定積分的比較探討</p><p>　　留數(shù)是與封閉曲線上的復積分相聯(lián)系的。因此定積分要想利用留數(shù)來計算就面臨兩個問題：一是要將定積分的被積函數(shù)中的實函數(shù)變?yōu)閺秃瘮?shù)，而且是解析函數(shù)，這一點是容易做到的。因為實積分的被積函數(shù)是初等函數(shù)，不難推廣到復數(shù)域內(nèi)；二是要將定積分的積分區(qū)間轉(zhuǎn)化為簡單閉曲線上的圍線積分，一般采用代換或者添加輔助曲

17、線[5]，并且輔以極限概念來實現(xiàn)。對于個別在實軸上存在奇點的，還需要對分數(shù)路稍作變化調(diào)整。為了能夠直觀形象的說明問題，下面以具體實例的形式來體現(xiàn)它在實際生活中的運用。</p><p><b>　　例1 計算</b></p><p><b>　　解法一：留數(shù)定理</b></p><p><b>　　令，則 <

18、/b></p><p>　　由于被積函數(shù)在內(nèi)只有一個一階極點，</p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　所以由留數(shù)定理得</b></p><p><b>　　解法二：三角變換法</b></p><p><b>

19、;　　則；所以</b></p><p>　　從上面兩種求解方法對比可以看到，解法一應用了留數(shù)理論進行積分求解，計算量較小，思路清晰；解法二運用了三角變換公式將三角函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為求無窮積分的解，計算量較大,思維量大。通過兩種解法的比較，顯然解法二的計算量遠遠大于解法一；這說明應用留數(shù)理論與三角變換計算三角函數(shù)定積分的效果是截然不同的。</p><p>　　例2 計算積分[5]

20、</p><p><b>　　解法一：留數(shù)定理</b></p><p><b>　　令時，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以：</b></p><p>　　且在圓內(nèi)被積函數(shù)只以z=p為

21、一階極點，在上</p><p>　　無奇點。從而有 </p><p><b>　　所以由留數(shù)定理得：</b></p><p><b>　　解

22、法二：三角變換法</b></p><p><b>　　令；所以 </b></p><p>　　由這個例子兩種解法的比較可以看出, 留數(shù)理論大大簡化了運算量。并且體現(xiàn)了思維的深刻性, 理論的縝密性，給人愉悅的感覺。這種方法和知識的滲透，往往會出現(xiàn)新的蹊徑。由于留數(shù)是與封閉曲線上的復積分相聯(lián)系的，因此有些定積分并不能直接應用留數(shù)理論應進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化；下面以實例

23、的形式進一步比較說明應用留數(shù)理論解決三角函數(shù)定積分的優(yōu)越性和在實際操作中的應用。</p><p><b>　　例3 計算積分</b></p><p><b>　　解法一：留數(shù)定理</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　被積函數(shù)在內(nèi)有兩個一級極點分別

24、是，；則 </p><p><b>　　故由留數(shù)定理得：</b></p><p><b>　　解法二：三角變換法</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　由于本例題的被積函數(shù)是關(guān)于的有理式的積分，在這里使用三角變換公式時做的

25、代換是，比令稍微簡單些。但是與留數(shù)理論比較還是略顯復雜，這進一步說明留數(shù)理論是解決三角函數(shù)定積分比較好的方法。</p><p>　　例4 計算積分[7] </p><p><b>　　解：令；則，</b></p><p>　　其中為實系數(shù)二次方程；</p><p>　　的兩個相異的實根由根與系數(shù)的關(guān)系，且顯然，故必有

26、。</p><p>　　于是被積函數(shù)在上無奇點，在單位圓內(nèi)只有一個二階極點z=0和一個一階極點，從而有</p><p>　　從這個例子的求解觀察可以發(fā)現(xiàn)，雖然運用三角變換公式代換進行求解也能夠求解出來。與前面三個例子對比，如果應用三角變換求解就顯得更為復雜。而運用留數(shù)理論則大大簡化了計算量，回避了計算量大的缺點；并且體現(xiàn)了思維的簡潔和思路的清晰性，給人一目了然的感覺，這進一步說明留數(shù)理論在

27、解決三角函數(shù)定積分問題有其獨特的地方。</p><p>　　3.3 形如和定積分的復數(shù)等價形式</p><p>　　這里是分母恒不為零的三角有理函數(shù)，并且是一條連續(xù)的簡單的封閉曲線;則</p><p><b>　　證明：令</b></p><p><b>　　再令</b></p>&l

28、t;p>　　設(shè)…為內(nèi)處處解析的有限孤立奇點，由留數(shù)定理得：</p><p>　　將上式的實部和虛部分開得： </p><p><b>　　[7]</b></p><p>　　設(shè)其中和為互質(zhì)的多項式，且滿足條件：(1)的次數(shù)較

29、的次數(shù)高，即；(2)在實軸上有，那么 </p><p>　　[8] 特別地，將上式實部和虛部分開可以得到形如 和。 </p><p>　　3.4形如和定積分的比較探討</p><p>　　對于三角

30、函數(shù)的定積分都可以用“三角變換”化為有理函數(shù)進行積分。但是對于形如和定積分，在求這類含三角函數(shù)定積分時，采用三角變換不再可行。對于這類問題的計算，留數(shù)理論卻為解決這類問題而提供了很好的工具。下面通過實例的形式來進行探討說明應用留數(shù)理論解決這類問題的可行性和簡潔性。</p><p><b>　　例5計算積分</b></p><p><b>　　，</b&

31、gt;</p><p><b>　　，， </b></p><p>　　由于只有一個一階極點，所以</p><p><b>　　，由留數(shù)定理得：</b></p><p>　　比較上式兩邊實部和虛部得：</p><p>　　由于上面的例子被積函數(shù)是含的三角函數(shù)有理式定積分，

32、如果運用三角變換公式進行代換求解，是無法進行計算的。這里運用留數(shù)理論大大減小了運算量，而且提升了計算積分的可行性。這就更充分說明了留數(shù)理論的獨到性，下面再以實例的形式說明其方法在求無窮積分中的重要應用。</p><p><b>　　例6計算積分[6]</b></p><p>　　解:被積分函數(shù)為偶函數(shù)，所以 </p><p>　　顯然函數(shù)在平面

33、上只有兩個一階極點且滿足3.3的條件（1）、（2）。</p><p>　　只有在上半平面內(nèi)，由留數(shù)定理有 </p><p>　　從而 </p><p>　　由上面的實例可以看出，雖然被積函數(shù)含有三角函數(shù)。如果應用數(shù)學分析中的一般方法或是三角變換對其積分值進行計算的話，就沒有一個統(tǒng)一、簡潔的公式。就算可以計算其計算也是比較繁瑣的

34、，如果利用留數(shù)理論就可以建立一個統(tǒng)一簡便的計算公式。問題就可以輕而易舉的得到解決，達到事半功倍的效果。</p><p>　　4 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應用比較小結(jié)</p><p>　　綜上所述，通過對以上六個例子的探討可以看出。應用三角變換法求三角函數(shù)定積分的顯著特點是都要經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為求無窮積分的解的過程，而計算無窮積分是一個很繁瑣的過程。通過兩種方法的比較探討可以發(fā)現(xiàn)應用留數(shù)理論與

35、三角變換法求含三角函數(shù)的定積分，其演算過程的繁雜程度是不盡相同的；而且對于含或的三角有理函數(shù)的定積分利用留數(shù)理論和三角變換法對其進行求解所收到的效果更是截然不同，有時甚至用三角變換法是根本行不通的。但是在計算有關(guān)三角函數(shù)的定積分的時候可以避免用三角變換法進行求解，而是根據(jù)具體情況選用更為簡便、可行的解法進行求解。從而簡化計算量，提升計算的可行性；讓人思路清晰，一目了然。而留數(shù)理論正是為解決這樣的問題而提供的一種重要的工具，這也體現(xiàn)數(shù)學理

36、論與方法的相互滲透和利用留數(shù)理論求解某些三角函數(shù)定積分的優(yōu)越性。</p><p><b>　　5 結(jié)束語</b></p><p>　　分析學中應用三角變換法與用復變函數(shù)的有關(guān)知識計算三角函數(shù)定積分是兩種不同的方法。通過上面幾個例子的探討可以看出他們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系， 操作起來有繁有簡。但讓人感到興奮的是，數(shù)學理論與方法的相互滲透可產(chǎn)生若干個令人拍案叫絕的結(jié)果，這也

37、給數(shù)學的學習指出了一個可以參考的蹊徑。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]王瑞蘋.論留數(shù)與定積分的關(guān)系——兼談發(fā)散性思維在數(shù)學分析中的應用[J].菏澤學院學報，2005.27(02):70-72.</p><p>　　[2]鐘玉泉.復變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004</p&g

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