教學(xué)案例 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

1、教學(xué)案例教學(xué)案例15留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用此定理，必須將實(shí)變函數(shù)化為復(fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是針對(duì)回路的積分，對(duì)定積分計(jì)算，就必須將定積分積分區(qū)間變?yōu)榛芈分械囊徊糠帧Ｈ鐖D，對(duì)于實(shí)積分，變量x定義在閉區(qū)間[ab]，此區(qū)間應(yīng)是回路的一部分。實(shí)積分要變?yōu)閺?fù)變函數(shù)回路積分，則實(shí)函數(shù)必須解析延拓到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中而實(shí)積分成為復(fù)變函數(shù)沿回

2、路積分的一部分。2()()()bllafzdzfxdxfzdz?????A1.形如20(sincos)Rd?????令，則?iez?izdzddiedzi??????，izz2sin1????2cos1???zz?其中是的有理分式，當(dāng)時(shí)，沿單位圓????cossinR??cossin??20??z的正向繞行一周，因此有1?zizdzizzzzRdRz)22()cos(sin20111????????????留數(shù)定理為1||1()d2πR

3、es[()]nkkzfzzifzz?????A0ab1l2l0?2?01?1ii???????????1212161213121zZdzzziizdzzzI被積函數(shù)在內(nèi)只有一階極點(diǎn)161)(2???zzzf1?z，由公式830??z241]16[1lim])([Re200???????zzzzfszz故由留數(shù)定理222412?????iiI2.形如型積分?????dxxR)(其中為有理分式函數(shù).??)()(zQzPzR?例3計(jì)算積分??

4、??0222)1(xdxx解因?yàn)楸环e分函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以?????????????2222220222)1()()1(21)1(zzzfdxxxxdxx它一共有兩個(gè)二階極點(diǎn)，在上半平面只有一個(gè)極點(diǎn)，由公式iz??iz?得??.)]()[(lim)!1(1][Res10100??????mmmzzdzzfzzdmzzf???)][Resizf4)(lim22iizziz?????????????故???????????????????