高等數(shù)學(xué)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　論文材料-5</b></p><p>　　密級： </p><p>　　學(xué) 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　THESIS OF BACHELOR</p><p>　　題 目 高等數(shù)學(xué)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2、 </p><p>　　系 別： 數(shù)學(xué)系 </p><p>　　專業(yè)年級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 20 級 </p><p>　　學(xué)生姓名： 學(xué)號：

3、 </p><p>　　指導(dǎo)教師： 職稱： 講師 </p><p>　　起訖日期： 2013年3月7日至5月27 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要…………………………………………

4、………………………………………………1</p><p>　　關(guān)鍵詞………………………………………………………………………………………1</p><p>　　Abstract……………………………………………………………………………………1</p><p>　　Key words …………………………………………………………………………………1</p>

5、<p>　　引言…………………………………………………………………………………………1</p><p>　　1 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系……………………………………………………………2</p><p>　　1.1 知識方面的聯(lián)系………………………………………………………………………2</p><p>　　1.2 思想方面的聯(lián)系………………………………………

6、………………………………3</p><p>　　2.高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………………………3</p><p>　　2.1 高等數(shù)學(xué)原理與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)………………………………………………………3</p><p>　　3 初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，二者有本質(zhì)的聯(lián)系……………………………………5</p><p>　　

7、4 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的指導(dǎo)作用…………………………………………………8</p><p>　　5 總結(jié)………………………………………………………………………………………8</p><p>　　參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………………………9</p><p>　　致謝 ………………………………………………………………………………………

8、9</p><p>　　高等數(shù)學(xué)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生 </p><p><b>　　指導(dǎo)教師：</b></p><p>　　摘要：高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,與初等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系.站在高等數(shù)學(xué)的角度來看中學(xué)數(shù)學(xué)的某些問題又會更深刻、更全面.本文就高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)

9、學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用問題進(jìn)行了簡要論述</p><p>　　關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 思想 應(yīng)用</p><p>　　The application of higher mathematics teaching in middle school</p><p>　　Student majoring in mathematics </p><p>&

10、lt;b>　　Tutor </b></p><p>　　Abstract：Higher mathematics is developed on the basis of elementary mathematics, they are closely linked. Standing in the perspective of higher mathematics of middle sc

11、hool mathematics problems will become more profound and comprehensive. In this paper, the application of higher mathematics in middle school mathematics teaching were described briefly</p><p>　　Key words：Hig

12、her mathematics; thought; application</p><p>　　引言 近幾年來高等師范院校數(shù)學(xué)系的不少大學(xué)生對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)存在不少看法如“現(xiàn)在學(xué)的高等數(shù)學(xué)好像與初等數(shù)學(xué)沒有多大聯(lián)系”,“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對今后當(dāng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師作用不大”,有的甚至提出“高等數(shù)學(xué)在中學(xué)教學(xué)里根本用不上”等等.這些看法正如著名數(shù)學(xué)家克萊因早已指出的那樣“新的大學(xué)生一入學(xué)就發(fā)現(xiàn)他面對的問題好像和中學(xué)里學(xué)過的東西一

13、點也沒有聯(lián)系似的，但是畢業(yè)以后當(dāng)了老師，他們又突然發(fā)現(xiàn)要他們按老師的教法來教傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)，卻由于缺乏指導(dǎo)，他們很難辨明當(dāng)前數(shù)學(xué)內(nèi)容和所受大學(xué)數(shù)學(xué)訓(xùn)練之間的聯(lián)系，于是很快墜入相沿成習(xí)的教學(xué)方法，而他們所受的大學(xué)訓(xùn)練至多成為一種愉快的回憶，卻對他們對教學(xué)毫無影響.”然而現(xiàn)在在新的數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)出現(xiàn)了一些基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)知識，這可以說是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種必然趨勢，所以現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教師必須掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識以適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展和教材改革.所以高等數(shù)

14、學(xué)知識在開闊視野、指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題、指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)、對初等數(shù)學(xué)問題加以詮釋等方面的作用就尤為突出了.本文針對這種情況探討了一些高等數(shù)學(xué)知識和方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.</p><p>　　1 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系</p><p>　　一般說來,數(shù)學(xué)史家把數(shù)學(xué)的發(fā)展分成四個階段(萌芽時期、初等數(shù)學(xué)時期、古典高等數(shù)學(xué)時期、現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)時期)或五個時期(再加上“當(dāng)代時期”).無論何種方法都把第二發(fā)展

15、時期叫做“初等數(shù)學(xué)時期”這個時期的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗就是“初等數(shù)學(xué)”,而把第三、第四或第三、四、五階段叫做“高等數(shù)學(xué)時期”,這些階段的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗就是“高等數(shù)學(xué)”理論意義下的初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)是按照恩格斯(Engles)的經(jīng)典分法所謂初等數(shù)學(xué)就是指常量數(shù)學(xué),高等數(shù)學(xué)就是指變量數(shù)學(xué),并把笛卡爾(RDescartes)1637年發(fā)明的解析幾何看成為出現(xiàn)高等數(shù)學(xué)或進(jìn)入高等數(shù)學(xué)時期的標(biāo)志,而教育意義下的初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)是依據(jù)教育的發(fā)展歷程和教育

16、的等級加以區(qū)分的即視普通初等、中等教育(即中、小學(xué)教育)階段的數(shù)學(xué)主要內(nèi)容為初等數(shù)學(xué),視高等教育階段的數(shù)學(xué)主要內(nèi)容為高等數(shù)學(xué).當(dāng)然由于社會和教育的思想、方法、手段尤其是教育內(nèi)容都在不斷發(fā)展“初等數(shù)學(xué)”和“高等數(shù)學(xué)”也是一個變化的客體對象兩者沒有嚴(yán)格的概念區(qū)別.事實上,數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的整體,它的生命力在于各部分之間的有機(jī)聯(lián)系,只從學(xué)科表面上看難以看清兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系,這就需要深入研究初等</p><p>

17、　　1.1 知識方面的聯(lián)系</p><p>　　高等代數(shù)在知識上是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高它能解釋許多中學(xué)數(shù)學(xué)未能說清楚的問題如多項式的根及因式分解理論、線性方程組理論等從以下幾個方面說明首先中學(xué)代數(shù)講多項式的加、減、乘、除運算法則.高等代數(shù)在拓寬多項式的含義嚴(yán)格定義多項式的次數(shù)及加法、乘法運算的基礎(chǔ)上接著講多項式的整除理論,最大公因式理論.中學(xué)代數(shù)給出了多項式因式分解的常用方法.高等代數(shù)首先用不可約多項式的嚴(yán)格定義

18、解釋了“不可再分”的含義,接著給出了不可約多項式的性質(zhì)、唯一因式分解定理及不可約多項式在三種常見數(shù)域上的判定.中學(xué)代數(shù)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.高等代數(shù)接著講一元n次方程根的定義,復(fù)數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個數(shù)實系數(shù)一元n次方程根的特點,有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)及求法,一元n次方程根的近似解法及公式解簡介.中學(xué)代數(shù)講二元一次、三元一次方程組的消元解法,高等代數(shù)講線性方程組的

19、行列式解法和矩陣消元解法、講線性方程組解的判定及解與解之間的關(guān)系.中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)為高等代數(shù)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子,中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為高等代數(shù)的向</p><p>　　1.2 思想方面的聯(lián)系</p><p>　　中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法主要體現(xiàn)為三個層次第一層次指數(shù)學(xué)各分科的具體解題方法和解題模式如代數(shù)中的加減消元法、代入消元法、韋達(dá)法、判別式法、公

20、式法、非負(fù)數(shù)法、放縮法、錯位相消法、復(fù)數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法等等,幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、相似、輔助線及輔助面的作法、面積方法、體積方法、圖形及幾何體的割補(bǔ)方法、三角形奠基法等等還有在解題教學(xué)中教師概括出來的具體解題模式、教科書給出的各種具體的解題程序和模式；第二層次指適用面很廣的一些“通法”如配方法、換元法、待定系數(shù)法、分離系數(shù)法、消元法、降次法、數(shù)形結(jié)合法、一般化與特殊化法、參數(shù)法、反證法、同一法、觀察與實驗、比較與分類、分解與組合、分

21、析與綜合、歸納與演繹、類比與聯(lián)想、抽象與概括等等；第三層次指數(shù)學(xué)觀念即人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識如推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、數(shù)學(xué)美的意識等等在高等數(shù)學(xué)教育活動中，上述數(shù)學(xué)思想和方法將得到進(jìn)一步強(qiáng)化.高等數(shù)學(xué)各分支學(xué)科中幾乎滲透了三個層次的思想和方法在空間解析幾何、高等幾何、微分幾何等學(xué)科中明顯滲透著第一層次的思想和方法,第二、第三層次的思想和方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的重要方法,在各層次的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中都應(yīng)該重</p&

22、gt;<p>　　2 高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　用高等數(shù)學(xué)的觀點、原理和方法認(rèn)識、理解和解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題是我們大多數(shù)人的共同目的,也是高等數(shù)學(xué)價值的一種體現(xiàn),尤其是在指導(dǎo)教學(xué)、指導(dǎo)解題、詮釋初等數(shù)學(xué)問題等方面體現(xiàn)非常明顯.</p><p>　　2.1 高等數(shù)學(xué)原理與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)</p><p>　　首先注重高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)

23、作用,運用原理把握本質(zhì).多數(shù)教育工作者在實踐中認(rèn)識到教師只有深人研究高等數(shù)學(xué)才能深刻把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)才能使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不失科學(xué)性.例如有這樣一道題目</p><p><b>　　例1.證明：</b></p><p>　　. （1） </p><p><b>　　證明 </b&

24、gt;</p><p><b>　　于是 函數(shù)</b></p><p><b>　　即（1）式得證. </b></p><p>　　特別，若在（1）式中，</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　若在（2）式中，

25、</b></p><p><b>　　若在（1）中，令</b></p><p><b>　　若在（1）中，令</b></p><p>　　通過這樣一個題目我們可以認(rèn)識到教師只有深人研究高等數(shù)學(xué)才能深刻把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)運用起來更自如.</p><p>　　3 初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的

26、基礎(chǔ)，二者有本質(zhì)的聯(lián)系</p><p>　　將高等數(shù)學(xué)的理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué),使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進(jìn)而去指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作是一個值得研究的課題.俗話說，站得高才能看得遠(yuǎn).因此筆者認(rèn)為,作為中學(xué)教師除掌握中學(xué)數(shù)學(xué)各種類型題的已熟知的初等方法外,還應(yīng)善于用高等數(shù)學(xué)方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題,特別是一些用初等數(shù)學(xué)方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁而用高等數(shù)學(xué)方法則易于解決的中學(xué)數(shù)學(xué)問題,從而拓廣解題思路和技巧,提高

27、教師專業(yè)水平,促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).下面略舉幾例說明.</p><p>　　例2.證明：當(dāng) （i=0,1,2,····,n）時，有不等式</p><p>　　（調(diào)和平均數(shù)） （幾何平均數(shù)） （算術(shù)平均數(shù)）</p><p>　　證明 分別證明兩個不等式，首先證明右端不等式.設(shè)，，，</p><p>　　

28、f(x)在內(nèi)為凸函數(shù)，由詹生不等式，令有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　或 </b></p><p>　　即 . </p><p>　　其次證明左端不等式，只須令，有</p><p><b&

29、gt;　　，</b></p><p><b>　　或 ，</b></p><p>　　即 </p><p>　　綜上所證有 .</p><p>　　例3.證明:當(dāng)時，有不等式. 證明 :設(shè)</p&g

30、t;<p><b>　　令 ，即，</b></p><p><b>　　解得駐點，且，有，</b></p><p>　　有，知函數(shù)在點取極小值，其極小值為</p><p>　　由于在上連續(xù)，且只有一個極小點，因此這個極小點就是最小點，則，有</p><p><b>　　.

31、</b></p><p><b>　　令，于是，</b></p><p>　　即 </p><p><b>　　例4.已知數(shù)列</b></p><p>　　解：設(shè) . （1）</p><p&g

32、t;<b>　　顯然 當(dāng)</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng).</b></p><p>　　對（1）式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得.</p><p>　　從而 </p><p><b&

33、gt;　　故的原函數(shù)為</b></p><p>　　. （2）</p><p><b>　　將</b></p><p>　　解此方程組，得并將其代入（2），且令，有</p><p>　　即 </p><p&

34、gt;　　高等數(shù)學(xué)的許多方法和技巧都能直接應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)解題,它常能起到以簡馭繁并能使問題得以深化和拓廣的作用.以上只是給出兩個實例說明高等數(shù)學(xué)能指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解決初等代數(shù)和初等幾何且收到了很好的效果.在教學(xué)過程中結(jié)合具體內(nèi)容不失時機(jī)地介紹給學(xué)生對于豐富學(xué)生的解題方法特別是作為教師在將來的數(shù)學(xué)教學(xué)中用它來預(yù)測答案確定初等解法的路線構(gòu)造習(xí)題檢驗結(jié)果都有重要的作用</p><p>　　4 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的指導(dǎo)作

35、用</p><p>　　微積分在高等數(shù)學(xué)里占有非常高的地位,它之所以能解決初等數(shù)學(xué)不能解決的問題其根本原因是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上它引進(jìn)了一種新的思想方法——極限法.俗話說,站得高才能看得遠(yuǎn).筆者認(rèn)為作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師利用微積分思想解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題特別是一些用初等數(shù)學(xué)方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁而用微積分思想則易于解決的中學(xué)數(shù)學(xué)問題,從而拓廣解題思路和技巧提高教師專業(yè)水平.</p><p>

36、;<b>　　例5：求的和.</b></p><p><b>　　解 已知二項式公式</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　對上式兩端分別關(guān)于從0到1進(jìn)行積分運算，得</p><p>　　即 </p>

37、<p><b>　　5 總結(jié)</b></p><p>　　加強(qiáng)用高等數(shù)學(xué)的思想方法來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)研究著眼研究，中學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的接軌處，立足于更高觀點，教學(xué)中用高等數(shù)學(xué)的方法去剖析初等數(shù)學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生面對新問題、新情境及綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，對提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義.中學(xué)數(shù)教師善于用高等數(shù)學(xué)的觀點處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題,不但體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)具有居高臨下的作用,而

38、且對中學(xué)數(shù)學(xué)中有些較難的題型通過用高等數(shù)學(xué)的理論與方法較易解決,充分現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性.高等數(shù)學(xué)能在更高層次上認(rèn)識初等數(shù)學(xué)特別是一些接軌處,不但讓中學(xué)數(shù)學(xué)教師能輕松駕馭數(shù)學(xué)課堂，還使學(xué)生感到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)存在聯(lián)系，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 數(shù)學(xué)分析(上冊)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.北京：高等教育

39、出版社，2001.</p><p>　　[2] 數(shù)學(xué)分析 下冊 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.北京：高等教育出版社，2001.</p><p>　　[3] 高等代數(shù)/北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.-3版.-北京：高等教育出版社，2003.9（2009重印）.</p><p>　　[4] 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程/魏宗舒等編.-版.-北京：高等教育出版社，2008

40、.4（2010重?。?</p><p>　　[5] 《解析幾何》(第三版),呂林根許子道等編,高等教育出版社,2001年6月.</p><p><b>　　致謝：</b></p><p>　　首先我要忠心感謝我的指導(dǎo)老師一一李老師.在我大學(xué)四年期間，李老師始終給予我嚴(yán)格的指導(dǎo)和不倦的教誨.在我的論文寫作過程中，自始至終都得到了李老師的悉心指導(dǎo)，