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文檔簡(jiǎn)介
1、<p><b> 畢業(yè)論文</b></p><p> 題 目: 數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用</p><p> 作 者: </p><p> 指導(dǎo)老師: </p><p> 師范學(xué)院
2、 學(xué)院 系</p><p> 數(shù)學(xué)教育 專業(yè) 09 級(jí)</p><p> 3 年制 2 班</p><p> 2012 年 4 月 23 日</p><p> 注:1.評(píng)語(yǔ)、成績(jī)由指導(dǎo)老師填寫(xiě)。</p><p>
3、 2.評(píng)語(yǔ)及總評(píng)意見(jiàn)應(yīng)包括學(xué)術(shù)價(jià)值、實(shí)際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)和論證有無(wú)錯(cuò)誤。</p><p> 數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用</p><p> 摘要 :“授人以魚(yú),不如授人以漁”,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,結(jié)合新課改要求,老師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)概念、公式等知識(shí)點(diǎn),更要教會(huì)學(xué)生自主解決問(wèn)題的方式方法。 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)
4、體現(xiàn),是形成數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁,是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的靈魂。主要類型有:轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的,數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用還要結(jié)合原理性的數(shù)學(xué)解題思想,原理性的數(shù)學(xué)解題思想主要包括:系統(tǒng)思想、辯證思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、建模思想、審美思想。</p><p> 關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)解題思想;數(shù)形結(jié)合;系統(tǒng)思想</p><p> 數(shù)
5、學(xué)思想在教學(xué)中的重要性</p><p> ?。ㄒ唬┬抡n改中的數(shù)學(xué)思想</p><p> 新課標(biāo)提出:“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)幾何中的性質(zhì)概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法”。這表明,數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)教學(xué)方法在本質(zhì)上是相互聯(lián)結(jié)的,在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想時(shí)刻都能得到體現(xiàn)和運(yùn)用。 </p><p> 長(zhǎng)期以來(lái),傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,只注重知
6、識(shí)的傳授,卻忽視知識(shí)形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)象非常普遍,它嚴(yán)重影響了學(xué)生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入,越來(lái)越多的教育工作者,特別是一線的教師們充分認(rèn)識(shí)到:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí),使學(xué)生掌握必備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí);另一方面,更要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體,挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,更好地理解數(shù)學(xué),掌握數(shù)學(xué),形成正確的數(shù)學(xué)觀和一定的數(shù)學(xué)意識(shí)。只有數(shù)學(xué)思想的形成,才能使學(xué)生受益終生,正所謂“授之以魚(yú),不如授之以漁”。不管
7、他們將來(lái)從事什么職業(yè)和工作,數(shù)學(xué)思想方法,作為一種解決問(wèn)題的思維策略,都將隨時(shí)隨地有意無(wú)意地發(fā)揮作用。</p><p> ?。ǘ?shù)學(xué)思想在教學(xué)中的重要性 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,要用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué),在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中培養(yǎng)思想方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)
8、的關(guān)鍵。 由于數(shù)學(xué)思想的存在,使得數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的學(xué)術(shù)知識(shí)點(diǎn),不能用刻板的套路解決各種不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題,只有充分理解掌握數(shù)學(xué)思想在各種問(wèn)題上的運(yùn)用,才能更有效地把知識(shí)運(yùn)用得靈活。由此可見(jiàn),要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,就必須重視數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力,使得學(xué)生更容易理解和更容易記憶數(shù)學(xué)知識(shí),讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)特定的事物本質(zhì)屬性,借助于基本的數(shù)學(xué)思想和方法理解可能遇到的其他類似問(wèn)題,有效促
9、進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為,數(shù)學(xué)不是教出來(lái)的,更不是簡(jiǎn)單地模仿出來(lái)的,而是靠學(xué)生自主探索研究出來(lái)的。要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法,應(yīng)將數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練視作教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)有機(jī)組成部分,而且不能脫離內(nèi)容形式去進(jìn)行孤立地傳授。在數(shù)學(xué)課上要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生自己主動(dòng)地去</p><p> (1)討論f(x)的單調(diào)性;</p>
10、;<p> (2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.</p><p> 解析:用函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸求f′(x)=0的根,比較兩根的大小、確定區(qū)間,討論f(x)的單調(diào)性;(2)將f(x)>0恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0.</p><p> (1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).</p&
11、gt;<p> 由已知a>1,∴2a>2,</p><p> ∴令f′(x)>0,解得x>2a或x<2,</p><p> ∴當(dāng)x∈(-∞,2)和x∈(2a,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,</p><p> 當(dāng)x∈(2,2a)時(shí),f(x)單調(diào)遞減.</p><p> 綜上,當(dāng)a>1時(shí),
12、f(x)在區(qū)間(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函數(shù),在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù).</p><p> (2)由(1)知,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)在x=2a或x=0處取得最小值.</p><p> f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a</p><p> ?。剑璦3+4a2+24a=-a(a-6)(a+3),</p>
13、<p><b> f(0)=24a.</b></p><p><b> 由題設(shè)知即</b></p><p> 解得1<a<6.故a的取值范圍是(1,6). </p><p> ?。ǘ?shù)形結(jié)合思想 所謂 數(shù)形結(jié)合思想就是抓住數(shù)與形之間在本質(zhì)上的聯(lián)系,然后以“形”
14、直觀表達(dá)“數(shù)”,以“數(shù)”精確地研究“形”。它可以把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形,或把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化具體的數(shù),從而達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的目的,數(shù)形結(jié)合思想在解題中的起著非常重要的作用。例如在課堂教學(xué)時(shí),很多問(wèn)題一旦教師出示了圖形或教具,就會(huì)使得困難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,學(xué)生很容易就從直觀上理解了問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念??傊?,僅有數(shù)的分析或形的直觀都不易單獨(dú)解決的問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn),又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。</p><p>
15、例:已知向量=(2,0),=(2,2),=(cosα,sinα),則向量與的夾角范圍為( )</p><p> A. B. </p><p> C. D.</p><p> 解析:為數(shù)配形。如圖所示,點(diǎn)A的軌跡是以C(2,2)為</p><p> 圓心, 為半徑的圓.過(guò)原點(diǎn)O作此圓的切
16、線,切點(diǎn)分別為</p><p> M,N.連CM、CN.∵||=2,∴||=||=.</p><p> 知∠COM=∠CON=.又 ∵∠COB=.∴∠MOB=,</p><p> ∠NOB=π.選D。(三)方程思想 方程的思想,是對(duì)于一個(gè)問(wèn)題用方程解決的應(yīng)用,也是對(duì)方程概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí),是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,構(gòu)建方程或
17、方程組,或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問(wèn)題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來(lái)觀察處理問(wèn)題。方程思想是動(dòng)中求靜,研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí),可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。例如證明柯西不等式的時(shí)候,就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式。 </p><p> 例:在水平線上一點(diǎn)C,測(cè)得山頂A的仰角為30°,向山沿直線前進(jìn)20米到D處,再測(cè)山頂A的仰角為4
18、5°,求山高AB。</p><p> 解析:(1)在Rt△ABC和Rt△ABD中,都沒(méi)有兩個(gè)已知元素,故不能直接解一個(gè)三角形來(lái)求出AB。(2)考慮到AB是兩直角三角形的直角邊,而CD是兩直角三角形的直角邊,而CD均不是兩個(gè)直角三角形的直角邊,但CD=BC=BD,啟以學(xué)生設(shè)AB=X,通過(guò) 列方程來(lái)解,然后板書(shū)解題過(guò)程。</p><p> ?。?)應(yīng)用未知數(shù),用方程的思想解決問(wèn)題。
19、</p><p> 解:設(shè)山高AB=x米</p><p> 在Rt△ADB中,∠B=90°∠ADB=45°</p><p> ∵BD=AB=x(米) </p><p> 在Rt△ABC中,tgC=AB/BC</p><p> ∴BC=AB/tgC=3(米)</p><p
20、><b> ∵CD=BC-BD</b></p><p> ∴3x-x=20 解得 x=10米</p><p> 答:山高AB是10米</p><p> ?。ㄋ模┓诸愑懻撍枷? 分類思想,即根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn),將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分成為不同種類的思想方法。在解題過(guò)程中,當(dāng)條件或結(jié)論不是唯一時(shí),就會(huì)產(chǎn)生幾種可
21、能性,需要進(jìn)行分類討論。分類要不重不漏,做到科學(xué)合理。 例:已知橢圓 的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.</p><p> ?。?)求橢圓C的方程;</p><p> ?。?)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求面積的最大值.</p><p> 解析:圓錐曲線方程的確定要了解其中參數(shù)字母具有的幾何意義,掌握字母間的基本關(guān)系.&
22、lt;/p><p> (1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,∴所求橢圓方程為.</p><p><b> ?。?)設(shè),.</b></p><p><b> ?、佼?dāng)軸時(shí),.</b></p><p> ?、诋?dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為.</p><p><b>
23、 由已知,得.</b></p><p> 把代入橢圓方程,整理得,</p><p><b> ,.</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),,綜上所述.</p><p> ∴當(dāng)|AB|最大時(shí),面積取最
24、大值.</p><p> 三、原理性的數(shù)學(xué)解題思想類型 (一)系統(tǒng)思想 從系統(tǒng)論來(lái)看,一道數(shù)學(xué)題可構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)。所以在系統(tǒng)論中的整體意識(shí)和“黑箱方法”在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。 1、整體意識(shí)在數(shù)學(xué)解題上的應(yīng)用,是指對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,應(yīng)該重點(diǎn)著眼于問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu),而不只是它的局部特征。然后應(yīng)通過(guò)全面而深刻的考察,從宏觀上去理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì),挖掘和發(fā)現(xiàn)出已有元素在整體結(jié)構(gòu)中的
25、地位和作用,以求找到求解問(wèn)題的思路。</p><p> 2、從解題角度而言,題目就是一個(gè)“黑箱”,解題就是通過(guò)對(duì)“黑箱”進(jìn)行信息輸入和輸出來(lái)探究出“黑箱”的內(nèi)部性態(tài)。比如待定系數(shù)法,反例法,歸納法等解題策略,以及用于解答開(kāi)放性或探索性問(wèn)題的探索結(jié)論過(guò)程,這些都是黑箱方法的典型運(yùn)用。 (二)辯證思想 辨證思想的運(yùn)用,往往會(huì)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:1、非線性結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換;2、已知與未知的轉(zhuǎn)換;3、常
26、量與變量的轉(zhuǎn)換;4、正面與反面的轉(zhuǎn)換;5、靜與動(dòng)的轉(zhuǎn)換;6、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換;7、有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)換。 (三)運(yùn)動(dòng)變化思想 在數(shù)學(xué)解題過(guò)程當(dāng)中,運(yùn)動(dòng)變化思想分為以下三種類型:1、化靜為動(dòng),從運(yùn)動(dòng)變化中理解數(shù)學(xué)對(duì)象的變化發(fā)展過(guò)程;2、動(dòng)中寓靜,從不變中把握數(shù)學(xué)對(duì)象變化的本質(zhì)特征;3、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化,充分揭示運(yùn)動(dòng)形態(tài)間的互相聯(lián)系。 (四)建模思想 這是指把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”處理,將實(shí)際問(wèn)題抽象為模型化的數(shù)學(xué)問(wèn)題,以
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