歸納與類比在中學數學教學中的應用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1</p><p>　　ABSTRACT．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1<

2、/p><p>　　第一章 緒論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　1.1前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　1.2歸納與類比法的作用．．．．．．．．．．．．．

3、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　1.2.1歸納法的作用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　1.2.2類比法的作用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　第二章

4、　歸納與類比法的定義及其特點．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　2.1歸納法與類比法的定義．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．．．．．2</p><p>　　2.1.1歸納法的定義．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p&

5、gt;<p>　　2.1.２類比法的定義．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　2.2歸納法與類比法的特點．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　2.2.1歸納法的特點．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

6、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　2.2.1類比法的特點．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　第三章　 歸納與類比的例題．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　3.1歸納與類比在代數中應用．．．．．．．．

7、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4</p><p>　　3.2歸納與類比在幾何中應用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5</p><p>　　3.3歸納與類比在函數中應用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6</p><p>　　3.4歸納與類比

8、的綜合應用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8</p><p>　　第四章 結論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9</p><p>　　參考文獻．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

9、．．．．．．．．．10</p><p>　　致謝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11</p><p>　　歸納與類比在中學數學教學中的應用</p><p><b>　　學生：指導教師：</b></p><p>　　摘要：

10、所謂數學歸納法，就是從特殊的具體的認識推進到一般的抽象的認識的一種思維方式,它是科學發(fā)現的一種常用的有效的思維方式. 類比法是根據兩個或兩類事物在某些屬性上相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的方法。</p><p>　　關鍵詞：歸納法；類比法；數學教學；特例；證明 </p><p>　　SUMMARIZE AND ANALOGY IN MIDDLE SCHOOL MATHEM

11、ATICS TEACHING APPLICATION</p><p>　　ABSTRACT : So-called mathematical induction, is from the special specific knowledge advances into general abstract know a way of thinking, it is of scientific discovery wi

12、th a long effective way of thinking. The analogy method is based on two or two things in some properties on the same or similar, and introduced them in other attributes on the same or similar</p><p>　　Key

13、Word: Induction , The analogy method , Mathematics teaching Exceptions , Proof</p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p><b>　　1.1 前言</b></p><p>　　歸納法和類比法是數學創(chuàng)新的基本方法。本

14、文在給出歸納法和類比法定義及其特點的基礎上分析了其在數學學科發(fā)展教學中的重要作用。并分別從歸納與類比在代數、幾何、函數等例題中再逐步體會歸納與類比在數學教學中的應用.</p><p>　　1.2歸納與類比法的作用</p><p>　　1.2.1 歸納法的作用</p><p>　　歸納法在數學上是證明與自然數n有關的命題的一種方法。它包括兩個步驟：(1)驗證當n取第一

15、個自然數值n=n1(n1=1，2或其他常數)時，命題正確；(2)假設當n取某一自然數k時命題正確，以此類推出當n=k+1時這個命題也正確。從而就可斷定命題對于從n1開始的所有自然數都成立。 </p><p>　　1.2.2類比法的作用</p><p>　　類比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是結論，那么類比思維的過程就是一個推理過程。古典類比法認為，如果我們在比較

16、過程中發(fā)現被比較的對象有越來越多的共同點，并且知道其中一個對象有某種情況而另一個對象還沒有發(fā)現這個情況，這時候人們頭腦就有理由進行類推，由此認定另一對象也應有這個情況?，F代類比法認為，類比之所以能夠“由此及彼”，之間是經過了一個歸納和演繹程序的即：從已知的某個或某些對象具有某情況，經過歸納得出某類所有對象都具有這情況，然后再經過一個演繹得出另一個對象也具有這個情況。所謂演繹就是。。。。</p><p>　　第二章

17、　歸納與類比法的定義及其特點</p><p>　　2.1 歸納法與類比法的定義</p><p>　　2.1.1 歸納法的定義</p><p>　　從許多個別事例中獲得一個較具概括性的規(guī)則。這種方法主要是從收集到的既有資料，加以抽絲剝繭地分析，最后得以做出一個概括性的結論。</p><p>　　2.1.2 類比法的定義</p>&

18、lt;p>　　類比法是根據兩個或兩類事物在某些屬性上相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法，它是一種從特殊到特殊的推理方法，屬于一種橫向思維</p><p>　　2.2歸納法與類比法的特點</p><p>　　2.2.1歸納法的特點</p><p>　　歸納法是依據若干已知的不完盡的現象推斷上屬未知的現象,因而結論具有猜測的性質；歸納法的前提

19、是單個事實、特殊情況,所以歸納是立足于觀察、經驗或實驗的基礎上的.</p><p>　　2.2.2類比法的特點</p><p>　　類比法是“先比后推”?！氨取笔穷惐鹊幕A，“比”既要共同點也要“比”不同點。對象之間的共同點是類比法是否能夠施行的前提條件，沒有共同點的對象之間是無法進行類比推理的。類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測問題答案或結論的一種有效的方法

20、。這對數學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要作用。</p><p>　　現在我先以歸納法為例簡單的說明一下：</p><p>　　多面體的面數F、頂點數V和棱數E之間有什么關系呢?應該從何處著手來研究這個問題呢?最容易下手的莫過于拿幾個多面體來看,具體地數一數它們的面、頂點和棱，于是產生了下面的表:</p><p>　　從分析這些特例的數據的基礎上

21、就可以歸納出一個結論:</p><p>　　.　　　　　　　　　　?。?-1） </p><p>　　盡管這時還不能認為這個結論是正確的,但是它畢竟為我們提供一個研究的方向,即根據這個結論再去證實它符合一般多面體的情形.在此就不證明了（這個很好的運用到了歸納法）</p><p>　　第三章 歸納與類比的例題</p><p>　　歸納與類比法在

22、中學數學中應用十分廣泛，代數幾何函數中都有所用到。下面我將從這幾方面的例題中逐一的介紹和論述。</p><p>　　3.1 在代數中應用</p><p>　　已知數列，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數學歸納法證明。</p><p>　　【解】 （就講其中的一種解法）：</p><p>　　計算得S＝，S＝，S＝，

23、S＝ ， </p><p>　　猜測S＝ (n∈N)。 （3-1-1） </p><p>　　當n＝1時，等式顯然成立；</p><p>　　假設當n＝k時等式成立，即S＝， （3-1-2）</p><p><b>　　當n＝k＋1時，</b

24、></p><p>　　S＝S＋ </p><p><b>　?。剑?lt;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　?。剑? （3-1-3）</p><p>　　由此可知，當n＝k＋1時等式也成立。&l

25、t;/p><p>　　綜上所述，等式對任何n∈N都成立。</p><p>　　【注】 把要證的等式S＝作為目標，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。這樣證明的過程簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法做出歸納猜想，再用數學歸納法進行嚴格證明，這是關于探索性問題的常見證法，在數列問題中經常見到。 假如

26、猜想后不用數學歸納法證明，結論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴密。必須要進行三步：試值 → 猜想 → 證明。</p><p>　　例 2：計算下列式子的值</p><p>　　① ② </p><p>　　分析：以上式子是有理數的除法的運算，其中含有整數和分數的運算。首先我們先看第一個式子 這是整數相除，我們可以把它轉化成分

27、數計算，根據小學學過的分數概念：兩數相除，可以表示成分數的形式，（運用到類比的方法：小學分數與初中有理數的除法） ，再看第二個式子這個式子是分數相除，，我們把它與乘法進行比較把轉化成 得出？=1，這是在上新課的時候用的方法即可以把看作得出有理數除法的法則。</p><p>　　【解】：① ② </p><p>　　在解的過程中，一定要注意進行類比的相同之處和不同之處

28、轉化為分數的要求是什么？分母不能為零和書寫的要求 </p><p>　　3.2 在幾何中的運用</p><p>　　例 3： n個半圓的圓心在同一條直線ｌ上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線ｌ的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少

29、段圓弧？</p><p>　　分析：設這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證．</p><p>　　當n=2時，由圖(1)．兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22．</p><p>　　當n=3時，由圖(2)．三個半徑交于三點，則分成9段圓弧，故f (3)=9=32．</p><p>　

30、　由n=4時，由圖(3)．三個半圓交于6點，則分成16段圓弧，故f(4)=16=42．</p><p>　　由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2．</p><p>　　用數學歸納法證明如下：</p><p>　　證明：①當n=2時，上面已證．</p><p>　?、谠On=k時，f (k)=k2，那么當n=k+1時，第k+

31、1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓弧；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓?。?lt;/p><p>　　∴ f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2</p><p>　　∴ 滿足條件的k+1個半圓被所有的交點最多分成(k

32、+1)2段圓?。?lt;/p><p>　　由①、②可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓?。?lt;/p><p>　　注意；增加一個半圓時，圓弧段增加了多少條？可以從f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現規(guī)律：</p><p>　　f(k+1)=f(k)+k+(k+1)．</p><p>　　例

33、4：已知P是△ABC所在平面外一點，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PH⊥平面ABC于H，求證：</p><p>　　證明：連CH延長交AB于D</p><p>　　∵ PC⊥PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面PAB</p><p>　　∴ PC⊥AB，又PH⊥平面ABC ∴ PH⊥AB</p><p>　　∴ AB⊥平面PCH，PD⊥AB&

34、lt;/p><p>　　又PA⊥PB，由三角形面積公式有</p><p><b>　　∴ ，</b></p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　　∴ </b></p><p><b>　　同理 </b>&

35、lt;/p><p><b>　　∴ </b></p><p>　　3.3 在函數中的運用</p><p>　　例 5 用數學歸納法證明等式：cos·cos·cos….cos＝</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　證畢。

36、</b></p><p>　　這是一道往年的高考題，我們觀察上式中的左邊可以發(fā)現一定的規(guī)律，如單個式子歸納猜想出從而一步一步的進行代換，最后剩下和右邊的式子相同。從而得到證明，在解此類題目的時候解題前的分析十分重要注意觀察題目中的關系。運用以前學過的方法公示等計算。</p><p>　　例 6：已知函數，試求它的反函數以及反函數的定義域和值域。</p><p

37、>　　(1-y)=y, （3-3-1）</p><p><b>　?。?-3-2）</b></p><p><b>　?。?-3-3）</b></p><p>　　反函數的定義域為(0，1)，值域為y∈R．</p><p>　　解析：

38、這道題主要運用類比的方法求反函數的定義域和值域，在學過反函數后我們都知道反函數和原函數的定義域和值域剛好相反，在解此類題時，我們只需求出原函數的定義域和值域那么反函數的定義域和值域就知道了。</p><p>　　3.4 歸納與類比的綜合運用</p><p>　　例 7：如果空間有n個平面，其中任何3個平面至少有1個公共點，任何3個平面不共一條直線，任何4個平面不共有同一點，那么這n個平面能

39、夠把空間分成幾個部分？</p><p>　　分析：把問題“退”到“平面問題”任何3條直線不相交于同一點，那么這n條直線能夠把平面分成幾個部分？</p><p>　　分1條、2條、3條…..直線的個別情況，運用歸納推理，有：</p><p>　　k=1,f(1)=f(0)+1=1+1=2； （3-4-1）&

40、lt;/p><p>　　k=2,f(2)=f(1)+2=2+2=4； （3-4-2） </p><p>　　k=3,f(3)=f(2)+3=4+3=7； （3-4-3）</p><p>　　k=4,f(4)=f(3)+4=7+4=11；

41、 （3-4-4）</p><p><b>　　…………………</b></p><p>　　推測：k=n,f(n)=f(n-1)+n. （3-4-5）</p><p>　　將以上幾個式子相加，得</p><p>　　f

42、(n)=f(0)+(1+2+3+4+……+n)=1+n(n+1)(nN). （3-4-6） </p><p>　　即平面內符合題意的n條直線將該平面分成1+n(n+1)個部分。</p><p><b>　　第四章 結論</b></p><p>　　通過以上幾個例子我們可以簡單的了解到歸納與類比在中學中的應用十分廣泛的，幾乎

43、可以在中學數學的所有內容中看到。本文結合實例，對數學歸納法進行了介紹和論述．</p><p>　　大量實踐表明：解數學問題時，首先必須按照問題的要求確立一個解題目標，然后比較初始條件、中間狀態(tài)、解題目標之間的差異，以此確定和控制解題方向，再進行推理運算，使差異逐步縮小，最終實現解題．眾所周知，數學歸納法與類比法是重要的證明方法，是數學教學中的一大難點，為了解決這一難點，可以將目標意識運用在數學歸納與類比法中。經過

44、多年的探索和嘗試,數學歸納與類比法在人類的各個領域內都有很大的貢獻，是科學研究最基本的方法.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　黃壽鈺．歸納與類比在高中數學學習中的應用．數學教學通訊，2 0 0 0，（ 1 1）</p><p>　　【 1 】</p><p>　　陳吉云，

45、郭朋貴，蔣永紅．數學創(chuàng)新方法漫談（二）——歸納法與類比法．《高等函授學報(自然科學版)》2006，（2） </p><p><b>　　【2】</b></p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　值此論文完成之際,謹向關心、幫助、支持和鼓勵我的老師致以最真誠的謝意和最衷心的祝福！在我們論文撰寫之初，我擬定

46、的論文提綱比較簡單，論文思路不是很清晰。我的指導老師xx教授，他淵博的專業(yè)知識，嚴謹科學的治學態(tài)度，精益求精的工作作風，一絲不茍、鍥而不舍的精神，和對數學研究的獨到見解， 在百忙中抽出時間，幫助我修改論文提綱，理清論文思路，指出不足、提出建議，對我產生了深遠的影響，使我終身受益.能夠成為袁南橋老師的學生，乃人生一大幸事. </p><p>　　在此成文之際，謹向導師xx教授致以我最崇高的敬意和衷心的感謝，并祝xx