一類反問(wèn)題—生物體發(fā)光斷層成像—的理論分析和數(shù)值模擬.pdf

1、近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，生物醫(yī)學(xué)成像得到了長(zhǎng)足的進(jìn)步．分子成像是在細(xì)胞和分子水平上研究活體生理和病理過(guò)程的一個(gè)快速發(fā)展著的生物醫(yī)學(xué)成像方法．它的目標(biāo)是非入侵地準(zhǔn)確描述活體細(xì)胞和分子過(guò)程．分子成像主要基于三種技術(shù)：核素成像技術(shù)，核磁共振成像技術(shù)和光學(xué)成像技術(shù)．與傳統(tǒng)的成像方法，如計(jì)算機(jī)層析成像(CT)、正電子發(fā)射斷層成像(PET)、核磁共振成像(MRI)以及它們的合成等，相比，作為光學(xué)成像模型，生物放光成像(BLI)有它獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)．對(duì)

2、于活體人體研究，由于組織的吸收與發(fā)散特性，光學(xué)成像主要局限于表層位置，此時(shí)MRI或PET是比較合適的選擇．然而，對(duì)于小動(dòng)物來(lái)說(shuō)，由于較短的路徑長(zhǎng)度，一大部分光子可以到達(dá)動(dòng)物的外表，從而能以比MRI和PET低得多的成本探測(cè)到生物光和熒光信號(hào)．對(duì)于活體應(yīng)用來(lái)說(shuō)，用生物光源進(jìn)行成像特別具有吸引力，因?yàn)樗⒉恍枰獠康拇碳す庠?，從而背景噪音低而靈敏性高．
　　 生物發(fā)光斷層成像(BLT)是一個(gè)非常有前途的BLI，因?yàn)樗軐?shí)時(shí)地揭示生物體

3、的分子和細(xì)胞活動(dòng)．幾年來(lái)，人們就BLT問(wèn)題做了大量的理論分析和數(shù)值仿真．BLT的主要任務(wù)就是利用邊界測(cè)量的光信號(hào)來(lái)決定小動(dòng)物體內(nèi)或一些大器官的表層的光子密度分布．利用它，我們能在三維空間中對(duì)小動(dòng)物內(nèi)部的光源進(jìn)行定位并定量計(jì)算出生物光源的強(qiáng)度密度分布．進(jìn)行BLT的第一步是確定組織的光學(xué)特性，這正是光學(xué)斷層攝影(DOT)問(wèn)題的的主要任務(wù)．因?yàn)楣庠谌魏螌?shí)體中的傳送都受到吸收和散射的影響，所以我們需要知道光子在生物組織中傳送的精確表達(dá)式．一般來(lái)

4、說(shuō)，生物光光子在組織中的傳播過(guò)程能被漫射轉(zhuǎn)移方程(RTE)或蒙特卡羅模型(MCM)準(zhǔn)確描述．然而，就當(dāng)前而言，兩者在計(jì)算上都是不可行的．因此，當(dāng)光的波長(zhǎng)在600 nm附近或更大時(shí)，人們通常用擴(kuò)散近似方程來(lái)代替RTE．從數(shù)學(xué)上來(lái)講，BLT是一個(gè)反問(wèn)題，通常需要對(duì)它進(jìn)行正則化處理．在這篇論文中，我們討論了BLT和多譜BLT的理論分析和數(shù)值求解等問(wèn)題．全文共分五章．
　　 在第一章里，我們首先簡(jiǎn)單介紹一下BLT問(wèn)題的生物醫(yī)學(xué)背景．然后

5、，在1.2節(jié)中，我們給出了BLT問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式．在1.3節(jié)，我們給出了一些主要符號(hào)，它們將會(huì)在接下來(lái)的章節(jié)里被反復(fù)地用到．
　　 第二章主要是關(guān)于經(jīng)典BLT的理論和數(shù)值方法的研究．2.1節(jié)陳述了經(jīng)典BLT的形式．然后，在2.2節(jié)里，在一些假定下，利用共軛方法，我們將一個(gè)正則化的最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程組．這為快速重構(gòu)光源甬?dāng)?shù)提供了可能．在第2.3節(jié)中，利用正則化方法，我們研究了BLT問(wèn)題的一個(gè)更為廣義框架．在這個(gè)框架下，我

6、們建立了問(wèn)題的適定性結(jié)果，考察了它與以前別人文章之間的關(guān)系．在第2.4節(jié)中，我們發(fā)展了BLT問(wèn)題的一個(gè)新的變分形式．利用該變分形式，我們可以從理論上證明光源函數(shù)并不連續(xù)依賴于測(cè)量數(shù)據(jù)．在這一節(jié)里，我們還給出了正則化有限元解最優(yōu)收斂階的證明．另外，利用伴隨方程，我們構(gòu)造了一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的迭代格式．
　　 第三章研究的是多譜BLT問(wèn)題．首先，在3.2節(jié)，基于一個(gè)懲罰策略，我們提出了關(guān)于多譜BLT的全新的方法．這個(gè)新的數(shù)學(xué)框架的特點(diǎn)是

7、其數(shù)值測(cè)量的使用涉及到兩個(gè)相關(guān)但并不相同的邊值問(wèn)題(BVPs)．該數(shù)學(xué)框架包含了通常的多譜BLT模型．然后，在第3.2節(jié)，我們改進(jìn)[1]中的誤差階．接著，在第3.3.2小節(jié)里，我們用線性而不是通常的常數(shù)有限元來(lái)離散光源函數(shù)空間．利用有效集策略，我們獲得更高階的有限元誤差估計(jì)．
　　 第四章我們繼續(xù)深入討論BLT問(wèn)題．首先，在4.2節(jié)，我們研究了具有隨空間改變折射率的BLT問(wèn)題．為此，利用Tikhonov正則化方法，我們介紹一個(gè)廣

8、義的框架，證明了它的適定性，并利用有限元方法(FEMs)，建立了數(shù)值解的誤差估計(jì)式．在第4.3節(jié)，我們提出了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它將BLT和DOT結(jié)合在一起，也就是說(shuō)，同時(shí)進(jìn)行兩種類型的重構(gòu)而不是一前一后．兇為在實(shí)際中，光學(xué)參數(shù)通常被假定是常數(shù)或分片光滑函數(shù)，因此我們?cè)O(shè)定光學(xué)參數(shù)的求解范圍是有界變差(BV)函數(shù)空間．我們證明了解的存在性和數(shù)值解的收斂性并給出了一個(gè)數(shù)值求解格式．
　　 最后，在第五章，我們作了總結(jié)并展望未來(lái)進(jìn)一步要做的