極小曲面造型中的相關(guān)問題研究.pdf

1、現(xiàn)代的產(chǎn)品設(shè)計和制造過程中的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為曲線曲面造型問題，例如汽車外形設(shè)計、飛機機身設(shè)計、服裝的設(shè)計和加工以及建筑物的外形設(shè)計等.而曲線曲面設(shè)計也是當前計算機輔助幾何設(shè)計的核心的研究內(nèi)容.特別是在實際應(yīng)用中，滿足某種性質(zhì)和功能的曲線曲面的設(shè)計更是尤其重要的.本文重點研究了一類在微分幾何和計算幾何中尤為重要的曲面-極小曲面，同時也給出了一種簡單的曲線細分格式，并考慮將極小曲面與細分格式這兩種曲面造型方法有效地結(jié)合起來.具體工作主要

2、包括以下幾個方面:
　　1.多項式是計算幾何輔助設(shè)計中曲線曲面的一種重要的表示形式，但是在CAGD領(lǐng)域中我們可以見到的參數(shù)多項式形式的極小曲面是非常少的，因此尋求參數(shù)形式的多項式極小曲面并將其引入到CAGD領(lǐng)域具有重要的意義.利用微分幾何中的一個經(jīng)典結(jié)論，我們給出了等溫參數(shù)多項式極小曲面的一般形式，得到了其系數(shù)需要滿足的充要條件，分析了它們具有的對稱性質(zhì)并給出了其共軛極小曲面的一般形式，同時也具體構(gòu)造了6、7、8、9次的參數(shù)多項式

3、極小曲面.
　　2.Bézier曲線曲面是計算機圖形學和計算機輔助幾何設(shè)計的一種基本的表示工具，而quasi-Bézier表示是Bézier表示的一種推廣，它所張成的函數(shù)空間不僅包含了多項式空間也包括了三角函數(shù)空間和雙曲函數(shù)空間.利用Dirichlet能量來代替面積泛函，我們考慮了在quasi-Bézier表示下的Plateau問題，即Plateau-quasi-Bézier問題，這時的邊界曲線不僅可以是多項式曲線也可以是圓弧曲線

4、和懸鏈線.同時，我們也討論了調(diào)和與雙調(diào)和的quasi-Bézier曲面.
　　3.Plateau問題一直是極小曲面領(lǐng)域的一個重要問題.而在Plateau問題中，要求給定的曲線是曲面的整個邊界，但在實際應(yīng)用中我們獲取的邊界信息可能只是部分邊界曲線.基于這一點，我們考慮了quasi-Plateau問題:在所有以給定的曲線為邊界且定義在矩形域的參數(shù)曲面中，找一個面積最小的曲面，這里的‘給定的曲線’可以是曲面的整個邊界亦可是部分邊界.利用

5、Dirichlet泛函來代替面積能量，并利用Ritz-Galerkin方法，這個問題轉(zhuǎn)化為了一個簡單的稀疏線性方程組的求解問題，并最終根據(jù)不同的邊界條件歸結(jié)為了四個算法.具體實例表明了我們的算法是簡單有效的.
　　4.在許多的曲面設(shè)計問題中，比如汽車車身、飛機外殼以及機器零部件設(shè)計，都要求構(gòu)造的曲面在給定的邊界處滿足一定的連續(xù)性條件.鑒于此，我們來考慮C1和C2的quasi-Plateau問題，即要求極小曲面不僅以給定的曲線為邊界

6、嗵線，同時在這些曲線處也要滿足C1或C2的連續(xù)性.同樣地利用Dirichlet能量和Ritz-Galerkin方法，我們得到了對應(yīng)于不同邊界條件的六種算法來求得該問題在不同層的逼近解.具體實例表明了這些算法是簡單有效的.
　　5.細分格式也是CAGD領(lǐng)域中曲線曲面的一種重要的表示方法.我們提出了一種形式簡單的二進制六點的曲線細分格式，這種細分格式不僅形式簡單，而且同時具有很多良好的幾何性質(zhì)，如多項式再生性、保凸性以及高階連續(xù)性.<