CAD系統(tǒng)中的極小曲面及其優(yōu)化方法的研究.pdf

1、極小曲面問(wèn)題的研究是微分幾何領(lǐng)域中最活躍的分支之一.由于極小曲面在工程領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用,因此將極小曲面引入CAGD(計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì))領(lǐng)域具有重要意義.本文圍繞著CAGD中的極小曲面造型這一主題,就以下幾個(gè)方面給出了研究成果： (1)極小曲面的控制網(wǎng)格表示與構(gòu)造控制網(wǎng)格是CAD系統(tǒng)中進(jìn)行交互設(shè)計(jì)的重要工具.首先構(gòu)造了空間｛sin t,cos t,sinh t,cosh t,l,t,t2,…,tn)中的擬非均勻B樣條基及相應(yīng)的曲

2、線曲面模型。由于節(jié)點(diǎn)情況比較復(fù)雜,我們利用行列式巧妙地把所有的節(jié)點(diǎn)情況統(tǒng)一到一個(gè)表達(dá)式之中.接著,基于該空間中的混合曲線曲面模型,給出了廣義螺旋面的控制網(wǎng)格的幾何構(gòu)造方法.最后,利用混合曲線曲面模型給出了平面曲率線極小曲面的控制網(wǎng)格表示.這些結(jié)果為將這些極小曲面模型引XCAGD造型系統(tǒng)提供了一個(gè)有力工具,從而可以利用細(xì)分算法生成這些極小曲面,并在CAGD系統(tǒng)中與其他的曲而統(tǒng)一處理。 (2)高次參數(shù)多項(xiàng)式極小曲面的挖掘與性質(zhì)參數(shù)多

3、項(xiàng)式形式是CAD系統(tǒng)中曲線曲面的標(biāo)準(zhǔn)形式。根據(jù)微分幾何中的一個(gè)經(jīng)典結(jié)論,給出了五次和六次調(diào)和參數(shù)多項(xiàng)式曲面為極小曲面的充分條件.基于這些條件,構(gòu)造出了幾類新的極小曲面,并深入研究了它們所具有的幾何性質(zhì),如對(duì)稱性、自交性、包含直線等.我們還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了兩類新的共軛極小曲面,并實(shí)現(xiàn)了共軛極小曲面之間的動(dòng)態(tài)變形.這些新的極小曲面不僅豐富了極小曲面的種類,而且可直接為當(dāng)前的CAD系統(tǒng)所采用；最后,提出了關(guān)于任意次參數(shù)多項(xiàng)式極小曲面的存在性及其性

4、質(zhì)的三個(gè)猜想。 (3)基于線性PDE的極小曲面逼近造型基于調(diào)和曲面與極小曲面的密切關(guān)系,首先利用方向?qū)?shù)研究了三角域上的調(diào)和B-B曲面的性質(zhì),給出了三角域上的B-B曲面為調(diào)和曲面的充要條件,并且證明了任何一個(gè)三角域上的B-B曲面調(diào)和面的控制網(wǎng)格均由它的第一層和第二層控制頂點(diǎn)完全決定.接著,研究了一類更廣泛的負(fù)高斯曲率曲面的構(gòu)造方法,得到了與調(diào)和曲面情形相類似的結(jié)果.最后,為了實(shí)現(xiàn)PDE曲面造型技術(shù)與CAD造型系統(tǒng)的數(shù)據(jù)交換,基于

5、約束優(yōu)化的思想,給出了PDE曲面的Bézier曲面逼近算法,并利用張量積Bézier曲面的細(xì)分性質(zhì)對(duì)該算法進(jìn)行了優(yōu)化。 (4)基于平均曲率平方能量的Platau-Bézier問(wèn)題求解Plateau-Bézier問(wèn)題是Plateau問(wèn)題在Bézier曲面形式下的推廣.它以內(nèi)部控制項(xiàng)點(diǎn)為求解目標(biāo).我們從平均曲率為零出發(fā),基于平均曲率平方能量來(lái)解決Plateau-Bézier問(wèn)題.主要研究了矩形域上的張量積Bézier曲面和三角域上的

6、B-B曲面兩種情形,分別給出了其內(nèi)部控制頂點(diǎn)所要滿足的充要條件,并與基于Dirichlet能量的方法進(jìn)行了比較,發(fā)現(xiàn)兩者各有千秋.可以證明,若在給定的邊界條件下,其所對(duì)應(yīng)的極小曲面為等溫參數(shù)多項(xiàng)式極小曲面,則按照本文方法所得到的Bézier曲面便是該等溫參數(shù)多項(xiàng)式極小曲面。 (5)極小曲面造型中的邊界優(yōu)化問(wèn)題如何選擇邊界曲線以滿足造型要求,是極小曲面造型中的一個(gè)重要問(wèn)題.首先基于拉伸能量、彎曲能量和jerk能量,研究如下問(wèn)題：給

7、定部分控制頂點(diǎn),如何構(gòu)造其余的控制頂點(diǎn)使得所產(chǎn)生的Bézier曲線具有極小能量.推導(dǎo)出了待定控制頂點(diǎn)所要滿足的充要條件.通過(guò)曲率圖和曲率梳,對(duì)三種能量極小Bézier曲線進(jìn)行了比較,并發(fā)現(xiàn)了四次能量最小Bézier曲線的共線性質(zhì).最后,對(duì)三次均勻B樣條曲線進(jìn)行了兩個(gè)方面的擴(kuò)展：首先,構(gòu)造出了五次和六次調(diào)配函數(shù),并以它們?yōu)榛A(chǔ)定義了兩種帶形狀參數(shù)的樣條曲線,提高了曲線與其控制多邊形的逼近程度；其次,構(gòu)造出了兩類三次和四次調(diào)配函數(shù),并以此為