關(guān)于凸體的Bonnesen型Aleksandrov-Fenchel不等式.pdf

1、經(jīng)典的等周不等式、Bonnesen型不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式是幾何學(xué)中非常重要的不等式.n維歐氏空間張域K的等周虧格△n(K)=An-nnωnVn-1。f其中A為凸體K的面積，V為K的體積，ωn為n維單位球的體積)刻畫了幾何體K和球之間的差別程度.Hadwiger、Osserman、Klain、Bottema、Zhou等都曾致力于用積分幾何的方法研究等周虧格的上界和下界.本文主要研究兩個(gè)問題.第一，研究常曲率

2、平面X2e中等周虧格的下界即Bonnesen型不等式.第二，利用著名的Aleksandrov-Fenchel不等式，研究歐氏空間Rn中兩凸體K，L的對稱混合位似虧格△i(K，L)和 Aleksandrov-Fenchel虧格△i(K).其中，Aleksandrov-Fenchel等周虧格是等周虧格的推廣，Bonnesen型Aleksandrov-Fenchel不等式即.Aleksandrov-Fenchel虧格的下界是Bonnesen型

3、不等式的推廣。
　　 常曲率平面X2e中域K的等周虧格為△e(K)=L2-4πA+eA2(其中A為區(qū)域K的面積，L為K的周長，e為常曲率平面的曲率，即e=0時(shí)為歐氏平面R2；e>0為射影平面PR2；e<0為雙曲平面H2e)，Klain、Zhou和Chen用不同的辦法得到了X2e中域K的等周虧格的下界.本文首先從一域包含另一域的包含測度思想出發(fā)，運(yùn)用積分幾何的基本運(yùn)動(dòng)公式，得到X2e中域K的等周虧格的兩個(gè)下界，這些下界加強(qiáng)了Zho

4、u，Chen的結(jié)果.主要結(jié)果如下：其中，ri和re分別為K的最大內(nèi)接測地圓半徑及最小外接測地圓半徑，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K為測地圓盤。
　　 定理3.3.11設(shè)K為常曲率平面X2e中面積為A，周長為L的嚴(yán)格凸區(qū)域，則下列不等式成立：其中，ri和re分別為K的最大內(nèi)接測地圓半徑及最小外接測地圓半徑，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K為測地圓盤。
　　 其中，tne，cte的定義參見(3-37)和(3-38)。
　　 著名的Aleksa

5、ndrov-Fenchel不等式是Brunn-Minkowski理論中的重要內(nèi)容。除經(jīng)典的Aleksandrov-Fenchel不等式之外，Lutwak、Yang、Zhang等還得到各種形式的Aleksandrov-Fenchel不等式.本文利用經(jīng)典的Aleksandrov-Fenchel不等式，探討Aleksandrov-Fenchel等周虧格△i(K)=W2i(K)-Wi-1(K)Wi+1(K)(其中Wi(K)為凸體K的第i階均質(zhì)積

6、分)和兩凸體K，L的對稱混合位似虧格△i(K，L)=V2i(K，L)-Vi一1(K，L)Vi+1(K，L)(其中Vi(K，L)為K，L的第i階混合體積)，獲得了Aleksandrov-Fenchel等周虧格的幾個(gè)下界估計(jì).作為它們的直接推論，得到了R2、R3中用投影體的寬度函數(shù)表示的等周虧格的下界.這有別于傳統(tǒng)的用最大內(nèi)接圓半徑和最小外接圓半徑表示的Bonnesen型不等式.本文最后根據(jù)混合體積的單調(diào)性，得到Aleksandrov-Fe

7、nchel等周虧格(等周虧格的推廣)的上界.事實(shí)上，到目前為止關(guān)于等周虧格的上界估計(jì)的結(jié)果比較少.我們所得主要結(jié)果如下：定理4.2.10設(shè)K為歐氏空間Rn中的凸體,Wi(K)為K的第i階均質(zhì)積分.則其中,u∈Sn-1,u⊥為與方向u垂直的線性子空間,Ku為凸體K向u上的正交投影,wn—1(Ku)為Ku的平均寬度,其最大和最小值分別記成Wmax(Ku)和Wmin(Ku). 定理4.3.2設(shè)K為歐氏空間Rn中的凸體,Wi(K)為K的第i階均