Bonnesen型對稱混合等似不等式與Lp混合質(zhì)心體.pdf

1、等周問題是幾何與凸幾何分析中的最經(jīng)典最重要的問題。等周不等式是幾何與分析中最重要的不等式之一。等周不等式與分析的Sobolev不等式等價(jià)。Bon-nesen型不等式是等周不等式的推廣和加強(qiáng)。平面Bonnesen型不等式最近已經(jīng)被推廣到2維常曲率平面上。高維Bonnesen型不等式的研究一直是積分幾何與幾何不等式的困難問題,最近已有進(jìn)展。
　　本文,將研究歐氏平面R2中等周不等式以及Bonnesen型不等式的另一推廣,即關(guān)于平面兩凸

2、域的Minkowski不等式以及Bonnesen型(Minkowski)對稱混合等似不等式。將估計(jì)歐氏平面R2中一個(gè)凸域包含另一凸域的位似域的平移包含測度,估計(jì)凸域K0與K1的對稱混合等似虧格?2(K0,K1)=A201?A0A1(其中A0,A1分別是R2中凸域K0,K1的面積,A01是K0與K1的混合面積)。獲得了R2中一個(gè)凸域包含另一凸域的位似域的充分條件,還得到了一些Bonnesen型對稱混合等似不等式和逆Bonnesen型對稱混

3、合等似不等式,位似Bol-Fujiwara定理.我們還將研究n維歐氏空間Rn中由凸體K1,...,Kn所構(gòu)造的Lp混合質(zhì)心體,得到了關(guān)于Lp混合質(zhì)心體的一些幾何不等式.本文得到的這些結(jié)果是最新的。
　　第3章主要研究平移包含測度。利用積分幾何中的運(yùn)動(dòng)公式,即Poincar′e平移運(yùn)動(dòng)公式和Blaschke平移運(yùn)動(dòng)基本公式,研究歐氏平面R2中一凸域包含另一凸域的位似域的包含測度。得到了位似包含測度定理和平移包含測度定理。
　　

4、第4章主要研究歐氏平面R2中兩凸域的對稱混合等似虧格?2(K0,K1)=A201?A0A1的上、下界。首先,定義一凸域關(guān)于另一凸域的內(nèi)半徑和外半徑,利用平移包含測度定理,得到一些Bonnesen型對稱混合等似不等式。特殊情況是:當(dāng)其中一個(gè)域?yàn)閳A盤時(shí),這些不等式就是歐氏平面R2中周知的Bonnesen型等周不等式。我們還定義了一卵形域關(guān)于另一卵形域的曲率內(nèi)半徑和曲率外半徑,利用平移包含測度定理,得到了一些逆Bonnesen型對稱混合等似不

5、等式。當(dāng)其中一個(gè)域?yàn)閳A盤時(shí),這些不等式就是歐氏平面R2中的逆Bonnesen型等周不等式.本文中所獲得到的對稱混合等似不等式是歐氏平面R2中關(guān)于兩凸域混合面積的Minkowski不等式的加強(qiáng)。我們還得到了位似Bol-Fujiwara定理。
　　第5章主要研究Lp混合質(zhì)心體。對n維歐氏空間Rn中以原點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的n個(gè)凸體K1,...,Kn,我們定義了Lp混合質(zhì)心體Γp(K1,...,Kn),并得到關(guān)于Lp混合質(zhì)心體Γp(K1,...,K