有限環(huán)（域）上若干類碼的理論及其應(yīng)用研究.pdf

1、隨著代數(shù)編碼理論以及糾錯(cuò)碼理論的飛快發(fā)展，而有限環(huán)上該理論基礎(chǔ)在理論和實(shí)際應(yīng)用中都有著越來越重要的研究意義，尤其是在信息安全方面的應(yīng)用逐漸被人們認(rèn)可.本文在已有環(huán)上編碼理論研究的前提下，進(jìn)一步研究有限環(huán)上線性碼的重量分布、MacWilliams恒等式、跡碼、常循環(huán)碼、二次剩余碼、自對(duì)偶準(zhǔn)扭碼、LCD準(zhǔn)扭碼以及有限域上自對(duì)偶雙（或4）-負(fù)循環(huán)碼、自對(duì)偶廣義準(zhǔn)循環(huán)碼.具體內(nèi)容如下:
　　1、研究了有限非鏈環(huán)F2[u,v]/

2、v3-v，uv-vu>上線性碼的重量分布和MacWilliams恒等式.定義了該環(huán)上的Gray映射和Lee重量、對(duì)稱重量、Hamming重量、完全重量計(jì)數(shù)器，首先研究了該環(huán)上線性碼的Gray像以及像碼與其對(duì)偶碼之間的關(guān)系.最后給出了該環(huán)上線性碼和其對(duì)偶碼之間關(guān)于完全重量計(jì)數(shù)器和對(duì)稱重量計(jì)數(shù)器的MacWilliams恒等式.
　　2、研究了有限非鏈環(huán)Fp+uFp+vFp+uvFp上的跡碼及其像碼.通過考慮兩種不同的定義集以及該環(huán)上的

3、Gray映射，利用高斯和計(jì)算該環(huán)上線性碼的重量分布情況，得到了兩類p-元2-重量碼和兩類p-元3-重量碼，并討論了這兩類碼在秘鑰共享方案中的應(yīng)用.
　　3、研究了有限非鏈環(huán)Z4[u]/和Fp[u，v]/上一類特殊的常循環(huán)碼.首先研究了環(huán)Z4[u]/上(1+2u)-常循環(huán)碼的一些非常有興趣的性質(zhì)以及生成多項(xiàng)式，定義了該環(huán)上的Gray映射，并且借助Magma數(shù)學(xué)軟件得到了比已有

4、文獻(xiàn)以及碼表中參數(shù)更好的線性碼.其次研究了環(huán)Fp[u，v]/上的(1-2v2)-常循環(huán)碼，利用中國剩余定理討論該環(huán)上常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu).通過給定的Gray映射，研究了該環(huán)上常循環(huán)碼的相關(guān)性質(zhì).
　　4、研究了有限非鏈環(huán)Fp+uFp+vFp+uvFp+v2Fp+uv2Fp上的二次剩余碼，利用中國剩余定理和冪等生成元定義了該環(huán)上的二次剩余碼，進(jìn)一步討論了該環(huán)上二次剩余碼與其擴(kuò)展碼之間的關(guān)系.
　　5

5、、研究了有限域上指數(shù)為2（或4）的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼.首先研究了xn+1（n是奇數(shù)的兩倍）在域Fq上的一類特殊分解.其次，給出自對(duì)偶雙負(fù)循環(huán)碼和自對(duì)偶4-負(fù)循環(huán)碼的準(zhǔn)確計(jì)數(shù).最后討論了這兩類碼的漸近性.
　　6、研究了有限鏈環(huán)Fq[u]/上長度為2m的自對(duì)偶準(zhǔn)扭碼和LCD準(zhǔn)扭碼.首先，通過研究xm-λ的特殊分解，得到自對(duì)偶雙-λ循環(huán)碼和LCD雙λ-循環(huán)碼的精確計(jì)數(shù).最后，針對(duì)不同的分解，得到四類自對(duì)偶準(zhǔn)扭碼和四類LCD準(zhǔn)扭碼，