幾類微分方程的分支計(jì)算與穩(wěn)定性問(wèn)題.pdf

1、關(guān)于平面上光滑自治系統(tǒng)極限環(huán)的分支問(wèn)題已有很豐富的理論，如Hopf分支，Poincaré分支，同、異宿分支等，并且所得的研究結(jié)果在具體的方程中已得到很好的應(yīng)用。當(dāng)所研究系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的原點(diǎn)是初等中心時(shí)，通過(guò)計(jì)算該系統(tǒng)的Liapunov數(shù)可以討論中心-焦點(diǎn)和極限環(huán)分支問(wèn)題。在考慮平面近Hamiltonian系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題時(shí)要用到它的一階Melnikov函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于平面上的非光滑系統(tǒng)的極限環(huán)分支理論的研究剛剛起步，當(dāng)一般非光滑系統(tǒng)

2、的線性系統(tǒng)在原點(diǎn)是焦點(diǎn)-焦點(diǎn)型時(shí)，已有學(xué)者給出了該系統(tǒng)的前幾個(gè)Liapunov數(shù)的表達(dá)式.最近文獻(xiàn)[33]考慮了擾動(dòng)閉軌族可以分支出極限環(huán)的個(gè)數(shù)問(wèn)題。
　　 本論文主要討論了兩個(gè)方面的內(nèi)容，一方面是關(guān)于平面上非光滑動(dòng)力系統(tǒng)的極限環(huán)分支問(wèn)題，它體現(xiàn)在文章的二、三章中；另一方面討論了幾個(gè)時(shí)滯捕食被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分支等問(wèn)題，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，見(jiàn)本文的四—七章。
　　 具體內(nèi)容如下:
　　 在第二章中研究的是一類平面

3、非光滑Liénard系統(tǒng)的原點(diǎn)處分支出的極限數(shù)目問(wèn)題，通過(guò)引入變換和構(gòu)造Poincaré回歸映射給出一種計(jì)算該類系統(tǒng)的Liapunov數(shù)的一種算法.通過(guò)閱讀文獻(xiàn)[21]，[23]，結(jié)合一些新的技巧和方法，利用Liapunov數(shù)的表達(dá)式，給出可以判定某些系統(tǒng)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的一些定理.然后利用這些定理，討論了幾個(gè)具體的例子。
　　 第三章里，類似于應(yīng)用平面上的光滑Hamiltonian擾動(dòng)系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)表達(dá)式，可以

4、討論該系統(tǒng)可以分支出極限環(huán)的個(gè)數(shù)，應(yīng)用新的技巧推導(dǎo)出了一類分段Hamiltonian擾動(dòng)系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)表達(dá)式，對(duì)一些具體系統(tǒng)應(yīng)用本文算出的表達(dá)式，可以知道加小擾動(dòng)后系統(tǒng)可以分支出的極限環(huán)的數(shù)目。
　　 在第四章里文獻(xiàn)[42]和[43]考慮了一類具有收獲和年齡結(jié)構(gòu)的捕食被捕食系統(tǒng)，它們對(duì)系統(tǒng)的特殊情形進(jìn)行了討論，討論了一般情形下系統(tǒng)正平衡位置的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性問(wèn)題。
　　 第五、六章是通過(guò)構(gòu)造合適的L

5、iapunov函數(shù)和泛函，討論了兩類捕食被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。
　　 第七章考慮的是一個(gè)具有時(shí)滯和被捕食者帶有擴(kuò)散和避難的生物數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用Routh-Hurwitz引理，分析了系統(tǒng)正平衡位置的局部穩(wěn)定性和分支出周期解的條件，把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型并應(yīng)用中心流形定理，給出了判斷Hopf分支的方向和分支出周期解的穩(wěn)定性的表達(dá)式。
　　 最后應(yīng)用數(shù)值模擬的方法，考慮了系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)下的分支現(xiàn)象。
　　 本文的主要?jiǎng)?chuàng)新之