量子邏輯的內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)?pdf

1、量子力學(xué)和相對(duì)論是二十世紀(jì)兩項(xiàng)最偉大的科學(xué)成就.它們的創(chuàng)立和發(fā)展不僅導(dǎo)致了一系列重大技術(shù)發(fā)明,而且使得人們對(duì)客觀世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有了基本正確的革命性的理解.自上世紀(jì)九十年代以來,與量子理論相關(guān)聯(lián)的量子計(jì)算機(jī)、量子信息、量子通訊等理論和技術(shù)更是得到了迅猛發(fā)展.然而要最終實(shí)現(xiàn)有價(jià)值的量子計(jì)算、量子通訊等,不僅在實(shí)用化中存在著巨大困難,而且有的困難甚至是原理性的.從一般原則上講,這些困難的根源是量子力學(xué)的測量問題.經(jīng)典的馮·諾伊曼測量理論是將每

2、個(gè)測量看做一個(gè)Hilbert空間上的正交投影算子,從而將研究測量問題轉(zhuǎn)化為研究Hilbert空間上的正交投影算子格.但此格僅能描述可精確測量的量子現(xiàn)象.1994年,Foulis等人引進(jìn)了用于描述不可精確測量現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),即效應(yīng)代數(shù),這是量子理論的數(shù)學(xué)公理化問題的一個(gè)重大進(jìn)展.眾所周知,自從扎德創(chuàng)立不確定性數(shù)學(xué)即模糊數(shù)學(xué)以來,其思想和方法在計(jì)算機(jī)、人工智能、控制論等領(lǐng)域得到了重要應(yīng)用.具有不精確性的效應(yīng)代數(shù)理論有可能將模糊數(shù)學(xué)與量子理論

3、統(tǒng)一起來.鑒于拓?fù)淅碚撛谟?jì)算機(jī)科學(xué)、邏輯推理、Domain理論中的基礎(chǔ)性和核心性作用,本文研究了效應(yīng)代數(shù)的幾類典型內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞娜舾尚再|(zhì)及運(yùn)算連續(xù)性問題,主要工作包括如下幾方面:
　　1.在格效應(yīng)代數(shù)中,關(guān)于效應(yīng)代數(shù)運(yùn)算⊕和在區(qū)間拓?fù)湎碌囊辉B續(xù)性已經(jīng)得到證明,而⊕和的二元連續(xù)性及格運(yùn)算∧和∨的連續(xù)性是否成立仍未知.我們給出例子說明在區(qū)間拓?fù)湎滦?yīng)代數(shù)運(yùn)算⊕的二元連續(xù)性不成立,格運(yùn)算的一元連續(xù)性也不成立.本文通過對(duì)網(wǎng)在區(qū)間拓?fù)湎率諗康?/p>

4、刻劃,證明了在格效應(yīng)代數(shù)框架下⊕和滿足二元連續(xù)性的必要條件是其上的區(qū)間拓?fù)涫荋ausdorff拓?fù)?同時(shí),給出了效應(yīng)代數(shù)運(yùn)算和格運(yùn)算滿足二元連續(xù)性的充分條件.在第二章的最后,證明了標(biāo)度效應(yīng)代數(shù)上區(qū)間拓?fù)涫荋ausdorff拓?fù)?運(yùn)算⊕和關(guān)于區(qū)間拓?fù)涫嵌B續(xù)的.
　　2.在效應(yīng)代數(shù)E中,網(wǎng)的序收斂與序拓?fù)涫諗渴莾蓚€(gè)不同概念,當(dāng)兩者一致且E序-連續(xù)時(shí),該效應(yīng)代數(shù)稱為是序-拓?fù)涞?本文得到,在完備的原子格效應(yīng)代數(shù)E中,下面條件等價(jià):(

5、1)E序-連續(xù),(2)E是序-拓?fù)涞?(3)E是完全序不連通的拓?fù)涓?(4)E是代數(shù)的.該結(jié)論不但從代數(shù)觀點(diǎn),更從拓?fù)浣嵌日f明了原子的格效應(yīng)代數(shù)的性質(zhì)比一般格效應(yīng)代數(shù)要好得多.此結(jié)果將Erne等人的工作從正交模格提升到格效應(yīng)代數(shù)上.同時(shí),本文改進(jìn)了標(biāo)度效應(yīng)代數(shù)在序拓?fù)湟饬x下的一個(gè)基本矩陣定理,擴(kuò)大了該定理的應(yīng)用范圍.關(guān)于格效應(yīng)代數(shù)運(yùn)算在序拓?fù)湎碌囊辉B續(xù)性已經(jīng)得到證明,而二元連續(xù)性是否成立還沒有結(jié)論.本文給出了在完備的序-連續(xù)格效應(yīng)代數(shù)

6、上,運(yùn)算⊕滿足二元連續(xù)性的必要條件是其上的序拓?fù)涫荋ausdorff拓?fù)?并舉例說明了即使在完備的布爾代數(shù)上,⊕在序拓?fù)湎乱膊粷M足二元連續(xù)性.同時(shí),給出了一系列使得運(yùn)算⊕和滿足二元連續(xù)性的充分條件.標(biāo)準(zhǔn)算子效應(yīng)代數(shù)是效應(yīng)代數(shù)的典型代表,在量子力學(xué)中有重要應(yīng)用,效應(yīng)代數(shù)一詞正是來源于此.標(biāo)準(zhǔn)算子效應(yīng)代數(shù)上的弱算子拓?fù)浜蛷?qiáng)算子拓?fù)涠际羌捌渲匾耐負(fù)?研究它們和內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞年P(guān)系是一個(gè)有趣的重要內(nèi)容.本章最后研究了標(biāo)準(zhǔn)算子效應(yīng)代數(shù)上的區(qū)間拓?fù)?、?/p>

7、拓?fù)?、弱算子拓?fù)浼皬?qiáng)算子拓?fù)渲g的關(guān)系,得到如下結(jié)果:設(shè)WOT和SOT分別是標(biāo)準(zhǔn)算子效應(yīng)代數(shù)E(H)上的相對(duì)弱算子拓?fù)浜拖鄬?duì)強(qiáng)算子拓?fù)?τi和τo分別是E(H)上的區(qū)間拓?fù)浜托蛲負(fù)?則τi≤WOT≤SOT≤τo.
　　3.Frink理想拓?fù)涫瞧蚣碚撝幸活愔匾膬?nèi)蘊(yùn)拓?fù)?特別地,Frink指出它是鏈上及有限鏈乘積上的一類恰當(dāng)拓?fù)?但由于其定義的抽象性,Frink理想拓?fù)湓谛?yīng)代數(shù)上的研究遠(yuǎn)沒有區(qū)間拓?fù)浜托蛲負(fù)湟粯訌V泛、深入,甚至

8、關(guān)于⊕和的一元連續(xù)性也沒有得到證明.本文在分配格效應(yīng)代數(shù)上研究了Frink理想拓?fù)湎碌倪\(yùn)算連續(xù)性問題,通過對(duì)完全不可約理想和對(duì)偶理想的一個(gè)直觀刻劃,用非常巧妙的方法證明了運(yùn)算∧和∨的二元連續(xù)性及、⊕和的一元連續(xù)性.本結(jié)果蘊(yùn)含了在布爾代數(shù)上,效應(yīng)代數(shù)運(yùn)算⊕和在Frink理想拓?fù)湎聺M足二元連續(xù)性,而本文分別舉例說明了此結(jié)論對(duì)于區(qū)間拓?fù)浜托蛲負(fù)涠疾怀闪?因此,我們有理由相信,在效應(yīng)代數(shù)理論中,Frink理想拓?fù)涫潜葏^(qū)間拓?fù)浜托蛲負(fù)涓鼮楹线m的拓

9、撲.偏序集的Frink理想拓?fù)渲瓾ausdodrff性是一個(gè)有趣而困難的問題,引起了眾多學(xué)者的廣泛興趣.本文給出了格效應(yīng)代數(shù)上Frink理想拓?fù)涫荋ausdodrff拓?fù)涞囊粋€(gè)充分條件.關(guān)于序拓?fù)浜虵rink理想拓?fù)涞年P(guān)系,本文證明了如下結(jié)論:設(shè)E是完備的原子分配格效應(yīng)代數(shù),則Frink理想拓?fù)鋸?qiáng)于序拓?fù)?并且下列條件等價(jià):(1)Frink理想拓?fù)渑c序拓?fù)湎嗤?(2)1是有限元,(3)E中每個(gè)元都是有限元,(4)Frink理想拓?fù)渑c序拓