若干經(jīng)典命題邏輯問題的拓?fù)淇坍?pdf

1、數(shù)理邏輯的特點(diǎn)在于形式化和符號化，它和計(jì)算數(shù)學(xué)有著截然不同的風(fēng)格，前者注重形式推理而后者注重數(shù)值計(jì)算；前者強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格論證而后者允許近似求解，如果說數(shù)理邏輯具有刻板的一絲不茍的形象，那么計(jì)算數(shù)學(xué)具有靈活的張弛有度的特征。一個自然的問題是：能不能把數(shù)值計(jì)算的思想融入到數(shù)理邏輯當(dāng)中以使其具有某種靈活性從而擴(kuò)大其可能的應(yīng)用范圍呢?回答是肯定的。王國俊教授從基本概念的程度化入手，建立了一種計(jì)量邏輯學(xué)<'[4]>,從而對上述問題給出了肯定的回答。

2、 計(jì)量邏輯學(xué)所涉及的邏輯系統(tǒng)包括經(jīng)典的二值命題邏輯系統(tǒng)L，Lukasiewicz多值命題邏輯系統(tǒng)L<,n>與Luk以及命題演算系統(tǒng)L<'*>和L<,n><'*>等．文獻(xiàn)[4]在二值命題邏輯中，將重言式概念進(jìn)行了程度化，引入了公式的真度概念，在此基礎(chǔ)之上將邏輯等價概念程度化，引入了公式之間的相似度概念；并從而在L的全體公式集F(S)上引入了偽距離，得到了邏輯度量空間(F(S)，p)，并證明了邏輯連接詞，→和∨等關(guān)于p的連續(xù)性。另一方面

3、，二值命題邏輯中理論的發(fā)散性與相容性等邏輯性質(zhì)與它們在空間(F(S)，p)中的拓?fù)湫再|(zhì)之間的聯(lián)系如何?邏輯度量空間(F(S)，p)自身的細(xì)致結(jié)構(gòu)如何?關(guān)于這些深層次的問題尚未及討論，本文就上述問題進(jìn)行研究．得到了如下結(jié)果： (1)證明了F(S)中各理論的發(fā)散度充滿了單位區(qū)間[0，1]。 (2)證明了F(S)中一個邏輯閉理論г是相容的當(dāng)且僅當(dāng)它在邏輯度量空間(F(S)，p)中不包含任一半徑小于1的圓，從而我們?nèi)菀椎玫紽(S

4、)中一個邏輯閉理論г是相容的當(dāng)且僅當(dāng)它在邏輯度量空間(F(S)，p)中不含內(nèi)點(diǎn)。 (3)證明了一個邏輯理論г是全發(fā)散的當(dāng)且僅當(dāng)全體г結(jié)論之集D(г)在邏輯度量空間(F(S)，p)中稠密。 (4)證明了任一有限理論г的全體結(jié)論之集在邏輯度量空間(F(S)，p)中是閉集，從而推出了任一有根邏輯閉理論在邏輯度量空間(F(S)，p)中也為閉集。 (5)證明了邏輯度量空間(F(S)，p)是零維空間，證明了(F(S)，p)具