小波及小波集的構(gòu)造.pdf

1、小波分析是近年來出現(xiàn)的一個新的數(shù)學(xué)分支，自它誕生之日起，一直是數(shù)學(xué)工作者和其他領(lǐng)域的專家學(xué)者研究和關(guān)注的熱點(diǎn)。小波基的構(gòu)造問題是小波研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容。本文構(gòu)造了Fourier變換支撐在區(qū)間In上的一類小波，并且這類小波構(gòu)成的小波子空間V0在平移算子gn={Tm/2n:m∈Z},n∈N下是不變的；研究了實(shí)數(shù)集上小波集的構(gòu)造問題；基于框架小波與小波相比所具有的更大的靈活性，還構(gòu)造了框架小波，研究了框架小波集與小波集之間的關(guān)系。本文共分為四

2、部分：
　　第一部分介紹了小波發(fā)展的歷史及現(xiàn)狀，小波基在理論研究及實(shí)際應(yīng)用中的重要作用，小波基的構(gòu)造這一課題的發(fā)展歷程，最后介紹了本文的結(jié)構(gòu)及主要結(jié)果。
　　第二部分基于廣義多分辨分析構(gòu)造了一類Fourier變換具有緊支撐的小波。給定一個小波，它的小于某一尺度的所有平移系構(gòu)成了L2(R)的一個子空間，叫小波子空間，這些子空間就構(gòu)成了一個廣義多分辨分析。本章中構(gòu)造了一個區(qū)間In，給出了一個Fourier變換支撐在區(qū)間In上的函

3、數(shù)是小波的充分必要條件，并且這樣的小波所構(gòu)成的小波子空間V0在平移算子gn={Tm/2n:m∈Z},n∈N下是不變的。
　　第三部分是關(guān)于小波集的構(gòu)造。由定理3.1知道，判斷一個集合W是不是小波集是看它的伸縮系{2nW:n∈Z}和平移系{W+2kπ:k∈Z}是不是實(shí)數(shù)集的一個分割。本文中建立了集合W和已知小波集E之間的映射，通過判斷映射是否是雙射來判斷W是否是小波集。對定理3.1中的平移集Γ={2kπ:k∈Z}和伸縮集D={2n:

4、n∈Z}，本文作了推廣，得出結(jié)論：如果Ω是R的一個區(qū)域，(Ω,Γ)是一個譜對，同時Ω是R的一個乘積D-覆蓋，那么ψ=XΩ是一個(D,Γ)小波；反之，如果0∈Γ,ψ=XΩ是一個(D,Γ)小波，那么(Ω,Γ)是一個譜對，同時Ω是R的一個乘積D-覆蓋。本章中還利用兩個小波集W1,W2，通過定義兩個映射h1,h2，利用ψ=h1ψW1+h2ψW2構(gòu)造了一個ψ小波。
　　第四部分是關(guān)于框架小波集。首先介紹了有關(guān)的基本概念，包括希爾伯特空間中的