QF環(huán)的研究.pdf

1、Quasi-Frobenius(QF)環(huán)起源于上世紀(jì)初Frobenius代數(shù)的研究． QF 環(huán)已具有的美妙刻畫吸引著眾多環(huán)論專家展開深入的研究，并已有相關(guān)著作問世．在QF環(huán)的研究過程中，涌現(xiàn)出許多懸而未決的問題，例如Faith-Menal猜測：右noetherian、左 FP-內(nèi)射環(huán)為QF環(huán)． QF環(huán)的研究已成為近期國際代數(shù)學(xué)界研究的熱點． 本文通過強Goldie維數(shù)、small內(nèi)射性、極小內(nèi)射性、單內(nèi)射性等內(nèi)射性及鏈條件給出了

2、 QF 環(huán)的新刻畫，同時給出了Faith-Menal猜測成立的一些新條件．這些結(jié)果改進(jìn)了Wisbauer、Nicholson、Yousif、Osofsky、Chen、Zhou等人的結(jié)果． 通過商模Goldie維數(shù)的上確界引入模的強Goldie維數(shù)，并給出了強Goldie維數(shù)為 n的模的性質(zhì)刻畫．同時用該維數(shù)給出了artinian環(huán)的一個新刻畫．在研究過程中還意外證明了：如果環(huán)R為右F-內(nèi)射環(huán)，則R為semilocal環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R

3、為右有限維環(huán)．改進(jìn)了2001年Nicholson與Yousif的結(jié)論：如果環(huán)R為右FP-內(nèi)射、右Kasch環(huán)，則R為semilocal環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為右有限維環(huán)．(由定義知右FP-內(nèi)射環(huán)必為右F-內(nèi)射環(huán)) 通過對環(huán)的small內(nèi)射性的研究，進(jìn)一步揭示了small內(nèi)射性與其他內(nèi)射性之間的聯(lián)系．證明了如果R為semilocal環(huán)，則R為右small內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為右自內(nèi)射環(huán)；R為右單內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為右單J-內(nèi)射環(huán)．極大改進(jìn)了200

4、4年Yousif與Zhou的結(jié)果，將他們的條件由“semiperfect環(huán)、S<,r> <'ess> R<,R>”減弱至“semilocal環(huán)”(semiperfect環(huán)=semilocal環(huán)+冪等元模J可提升)．并由此得如果R為左perfect、左右small內(nèi)射環(huán)，則R為QF環(huán)．改進(jìn)了1966年Osofsky的結(jié)論：如果R為左perfect、左右自內(nèi)射環(huán)，則 R 為 QF 環(huán)．(右自內(nèi)射環(huán) 右small內(nèi)射環(huán)) 通過對特定條

5、件下環(huán)的Jacobson根 J 的冪零性的研究證明了：如果R為左P-內(nèi)射、左CS環(huán)，且R的本質(zhì)右(或左)理想滿足升鏈條件，則R為QF環(huán)．改進(jìn)了1989年Wisbauer等人的結(jié)論：如果R為左自內(nèi)射環(huán)，且R的本質(zhì)右(或左)理想滿足升鏈條件，則R為QF環(huán)．(左自內(nèi)射環(huán) 左P-內(nèi)射、左CS環(huán))同時改進(jìn)了2004年Chen與Li在Communication in Algebra，上發(fā)表的結(jié)果：如果R為左P-內(nèi)射、左CS、右noetherian環(huán)

6、，則R為QF環(huán)． 通過對特定條件下R/J的von Neumann正則性的研究證明了： (1)如果R為左右極小內(nèi)射環(huán)，右零化子滿足升鏈條件且S<,r> <'ess> R<,R>，則R為QF環(huán)； (2)如果R為右單內(nèi)射環(huán)，右零化子滿足升鏈條件，且S<,r> <'ess>R<,R>，則R為QF環(huán)； (3)如果R為右small內(nèi)射環(huán)，右零化子滿足升鏈條件，且S<,r> <'ess> R<,R>，則R為QF環(huán)．其

7、中(1)與(2)改進(jìn)了2000年Nicholson與Yousif的結(jié)果：(i)如果R為semilocal、左右極小內(nèi)射環(huán)，右零化子滿足升鏈條件且S<,r> <'ess> R<,R>，則 R為QF環(huán)；(ii)如果R為左右極小內(nèi)射環(huán)，右零化子滿足升鏈條件且R為右有限上生成環(huán)，則 R為QF環(huán)．(右有限上生成環(huán)=右有限維環(huán)+S<,r> <'ess> R<,R>)(iii)如果R為右單內(nèi)射、右Goldie環(huán)，且S<,r> <'ess> R<,R>