超復(fù)數(shù)廣義J集構(gòu)造方法研究.pdf

1、“分形”一詞的創(chuàng)始人Ma nd lebro t曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“事實(shí)上，無(wú)論是從美學(xué)的觀點(diǎn)還是從科學(xué)的觀點(diǎn)，許多人在第一次見(jiàn)到分形時(shí)都有新的感受”。自然、復(fù)雜、優(yōu)雅、玄妙的分形圖讓許多數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、藝術(shù)家為其著迷。在眾多的分形圖大家族中，復(fù)迭代分形圖最能凸顯分形的本質(zhì)和特征。J集是復(fù)迭代分形圖的典型代表，對(duì)其構(gòu)造方法的研究從一定程度上代表了對(duì)分形圖、特別是對(duì)復(fù)迭代分形圖相應(yīng)研究的整體思路。
　　傳統(tǒng)的復(fù)迭代分形圖是基于對(duì)復(fù)平面上

2、常規(guī)復(fù)數(shù)進(jìn)行迭代運(yùn)算而形成的，常規(guī)復(fù)數(shù)包含一個(gè)虛部和一個(gè)實(shí)部，是“二元”的。如果將復(fù)數(shù)擴(kuò)展為多于一個(gè)虛部，則形成了所謂三元數(shù)、四元數(shù)等，我們將這樣的復(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為超復(fù)數(shù)?；诔瑥?fù)數(shù)的迭代運(yùn)算構(gòu)造復(fù)迭代分形圖，將涉及到許多新的算法和技術(shù)，也會(huì)產(chǎn)生一些新穎的、特別是三維的復(fù)迭代分形圖。本項(xiàng)研究目的是構(gòu)造出能體現(xiàn)出自相似性、自放射性、精細(xì)結(jié)構(gòu)等分形本質(zhì)特征的三維J集分形圖。
　　影響J集分形圖的因素很多，不同的超復(fù)數(shù)定義、不同的繪圖方法或者

3、不同色彩方案，都會(huì)影響到最后形成的J集分形圖的形態(tài)和色彩。本文在超復(fù)數(shù)定義、三維J集分形圖繪制方法、色彩方案等方面進(jìn)行了研究，并實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)模擬。在經(jīng)過(guò)大量研究、實(shí)驗(yàn)后，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了初步分析。具體地，論文的研究主要涉及下述幾個(gè)方面：
　　(1)超復(fù)數(shù)的定義
　　超復(fù)數(shù)的不同定義對(duì)最后生成的分形圖的結(jié)構(gòu)形態(tài)都會(huì)有一定的影響。本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)性研究，確定了3種不同的三元數(shù)定義，相對(duì)來(lái)說(shuō)，它們通過(guò)復(fù)迭代在屏幕可視區(qū)域中比較容易產(chǎn)生

4、具有較為明顯分形特征的圖形，并且不同的三元數(shù)之間產(chǎn)生圖形的差異性也比較大。
　　(2)分形圖的繪制過(guò)程
　　分形圖的繪制過(guò)程包括繪制方法、色彩方案與參與迭代的復(fù)數(shù)空間。本文基于傳統(tǒng)的“逃逸半徑法”，做了一定程度的改進(jìn)。對(duì)逃逸“半徑”的設(shè)定不再是固定不變，而是可以自主設(shè)定，并且使繪制方法與色彩方案實(shí)現(xiàn)結(jié)合。在迭代復(fù)數(shù)空間的設(shè)置方面，本文分別采取基于坐標(biāo)軸等量劃分、基于中心點(diǎn)擴(kuò)散的復(fù)數(shù)點(diǎn)選取方法，使生成的三維分形圖以立方體型或線

5、型等形狀呈現(xiàn)。
　?。?）色彩方案
　　一是利用三元數(shù)中的多余“元”來(lái)攜帶色彩信息?；趯?duì)常規(guī)復(fù)數(shù)的色彩方案研究，最直觀且最易想到的就是此方案。用此“元”來(lái)攜帶色彩因子，為了得到多種多樣的圖形，對(duì)此“元”的初值進(jìn)行了不同的定義。
　　二是基于主題色的配色方案。所謂“主題色”就是分形圖的全部配色由幾個(gè)指定的顏色來(lái)確定。在繪制三維 J集的時(shí)候，三個(gè)實(shí)數(shù)部全部徑向映射到了立體坐標(biāo)中。為了使顏色之間的過(guò)渡不會(huì)太過(guò)突兀，本文采用

6、了“顏色漸變算法”來(lái)得到具有柔和顏色過(guò)渡的J集分形圖，并對(duì)算法中關(guān)鍵量的選擇進(jìn)行了獨(dú)特的定義。
　　三是始于基色的配彩方案。所謂基色是指在繪圖開(kāi)始（迭代取初始值）時(shí)即隨機(jī)或由用戶(hù)指定一種顏色，然后在迭代過(guò)程中，通過(guò)顏色變換函數(shù)，得到第二種、第三種顏色。這種賦色方案對(duì)顏色的控制非常簡(jiǎn)單，并且不同的顏色變換函數(shù)，可以產(chǎn)生截然不同的效果，有時(shí)其效果可以是“出人意料”的。
　　(4)模擬系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)
　　在前面研究的基礎(chǔ)上