量子度量學(xué).pdf

1、經(jīng)過近百年的發(fā)展，量子力學(xué)已經(jīng)從純粹的思辨科學(xué)走向了技術(shù)領(lǐng)域。近年來，由量子力學(xué)衍生出的新型技術(shù)已經(jīng)滲透到通訊，電子等諸多應(yīng)用科學(xué)中并逐步發(fā)揮作用。量子度量學(xué)，作為量子技術(shù)的一個(gè)新興分支，也逐步顯露出巨大的發(fā)展?jié)摿?。在此背景下，本文以Cramér-Rao理論為核心進(jìn)行了量子度量學(xué)理論的相關(guān)研究。
　　在第一章中，我們首先簡要介紹了量子度量學(xué)的發(fā)展，回顧了經(jīng)典參數(shù)估計(jì)中的Cramér-Rao不等式并介紹了其證明過程。在此基礎(chǔ)上，我們

2、利用矩陣形式的柯西-施瓦茲不等式，詳細(xì)推導(dǎo)了量子情形下單參數(shù)與多參數(shù)估計(jì)中的Cramér-Rao不等式。在單參數(shù)估計(jì)中，參數(shù)精度的下限為量子Fisher信息的倒數(shù)，而在多參數(shù)估計(jì)中，這一下限為量子Fisher信息矩陣的逆矩陣。正是由于這些不等式的存在，量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣成為了量子度量學(xué)理論中評(píng)價(jià)具體物理系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)潛力的重要指標(biāo)。
　　在第二章中，我們介紹了量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣

3、的具體計(jì)算方法。與過去多數(shù)只討論密度矩陣滿秩情況的推導(dǎo)不同地是，在這一章的推導(dǎo)中我們強(qiáng)調(diào)了含參數(shù)密度矩陣可以是不滿秩的，也就是說，它可以有零本征值存在。對(duì)于這樣非滿秩的密度矩陣，我們證明量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣均可以僅用密度矩陣支集內(nèi)的本征值與本征態(tài)表示，而無需支集外的本征態(tài)。緊接著，我們討論了對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。從Lyapunov表示出發(fā)，我們推導(dǎo)出了一種新型的基于密度矩陣反對(duì)易子的對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)表示方法。與Lya

4、punov表示一樣，該表示方法是與表象無關(guān)的，無需強(qiáng)制在密度矩陣本征空間中計(jì)算。另外，在某些情況下，比如密度矩陣與其偏導(dǎo)數(shù)的n階反對(duì)易呈現(xiàn)出周期性或可截?cái)鄷r(shí)，這一表示方法會(huì)顯示出極大的便利性。利用這一方法，我們給出了所有二能級(jí)系統(tǒng)下對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)以及量子Fisher信息的表象無關(guān)的一般表示方法。
　　幺正參數(shù)化是量子度量學(xué)中的一種常見的參數(shù)化方式。它廣泛存在于以光學(xué)或原子干涉儀為平臺(tái)的度量學(xué)過程中。在本文第三章中，我們著重討論了幺正

5、參數(shù)化下的量子度量學(xué)理論。我們首先引入了一個(gè)僅與參數(shù)化過程以及待估計(jì)參數(shù)相關(guān)的系統(tǒng)特征算符H。在H算符的幫助下，量子Fisher信息及量子Fisher信息矩陣的計(jì)算被拆分為兩個(gè)過程，首先是H算符的計(jì)算，其次是該算符在初態(tài)本征空間中的矩陣元。對(duì)于初態(tài)為純態(tài)的情況，量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣可簡單地表示為該算符在初態(tài)下的方差與協(xié)方差矩陣。在詳細(xì)討論了H算符的計(jì)算之后，我們將該方法應(yīng)用于兩個(gè)不同的情境中。第一個(gè)情景是初態(tài)為

6、指數(shù)形式的量子態(tài)。對(duì)于這一類型的量子態(tài)，我們給出了H算符以及量子Fisher信息的解析表達(dá)式。第二類情景為一系列的物理系統(tǒng)，他們的共同特征是系統(tǒng)中存在一個(gè)V算符，該算符為常數(shù)或守恒量。對(duì)于這類系統(tǒng)，我們?cè)敿?xì)介紹了H算符的計(jì)算方法并給出其解析解。為了更加形象地展示這一情景，我們以自旋系統(tǒng)和光力(Optomechanics)系統(tǒng)為例進(jìn)行了研究，討論了其中的度量學(xué)問題。
　　在第四章中，我們主要討論了光學(xué)干涉儀中的量子度量學(xué)問題。首先我

7、們?cè)敿?xì)介紹了Mach-Zehnder干涉儀的基本構(gòu)成及其量子表示。然后，我們?cè)敿?xì)討論了一種初態(tài)情景，該情景中干涉儀的一個(gè)輸入端口輸入的是具有奇偶性的態(tài)，而另一端則可以是任意的量子態(tài)。我們給出了該情境下量子Fisher信息的解析表達(dá)式。利用此解析表達(dá)式，可以得到優(yōu)化參數(shù)估計(jì)精度的初態(tài)相位匹配條件。在該條件下，量子Fisher信息對(duì)于初態(tài)相位可以達(dá)到最大值。除此之外，我們也討論了非平衡分束器以及干涉儀中有光子損耗下的相位匹配條件。
　

8、　干涉儀中的多相位估計(jì)問題一直以來都是量子度量學(xué)中的一類重要問題。除了單相位估計(jì)，第四章也討論了多相位估計(jì)問題。我們首先將糾纏相干態(tài)進(jìn)行了多模推廣，隨后以這一廣義糾纏相干態(tài)為初態(tài)進(jìn)行了多相位估計(jì)。通過計(jì)算線性與非線性參數(shù)化下的量子Fisher信息矩陣，我們得到了待估計(jì)相位總方差下限的解析解。跟利用糾纏相干態(tài)進(jìn)行獨(dú)立相位估計(jì)的方案相比，廣義糾纏相干態(tài)給出的精度下限對(duì)相位數(shù)量的敏感性更低，這意味著廣義糾纏相干態(tài)在相位數(shù)量比較龐大時(shí)比獨(dú)立估計(jì)