構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法(同名7749)

1、構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例 【例 1】 已知函數(shù) ，求證：當(dāng) 時(shí)，恒有 x x x f

2、 ? ? ? ) 1 ln( ) ( 1 ? ? xx x x ? ? ? ? ? ) 1 ln( 11 1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。 1 11 ) 1 ln( ) ( ? ? ? ? ? x x x g【解】1 1 11 ) ( ? ? ? ? ? ? ?xxx x f∴當(dāng) 時(shí)， ，即 在 上為增函數(shù) 0 1 ? ? ? x 0 ) ( ? ? x f ) (x f ) 0

3、, 1 (? ? x當(dāng) 時(shí)， ，即 在 上為減函數(shù) 0 ? x 0 ) ( ? ? x f ) (x f ) , 0 ( ?? ? x故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間 ( ) f x ) 0 , 1 (? ) , 0 ( ??于是函數(shù) 在 上的最大值為 ，因此，當(dāng) 時(shí)， ( ) f x ) , 1 ( ?? ? 0 ) 0 ( ) ( max ? ? f x f 1 ? ? x，即 ∴（右面得證） ， 0 ) 0 ( ) ( ?

4、 ? f x f 0 ) 1 ln( ? ? ? x x x x ? ? ) 1 ln(現(xiàn)證左面，令 ， 1 11 ) 1 ln( ) ( ? ? ? ? ? x x x g 2 2 ) 1 ( ) 1 (111 ) ( ? ? ? ? ? ? ?xxx x x g 則當(dāng)， 0 ) ( , ) , 0 ( ; 0 ) ( , ) 0 , 1 ( ? ? ?? ? ? ? ? ? x g x x g x 時(shí) 當(dāng) 時(shí)即 在 上為減函數(shù)，在

5、 上為增函數(shù)， ) (x g ) 0 , 1 (? ? x ) , 0 ( ?? ? x故函數(shù) 在 上的最小值為 ， ) (x g ) , 1 ( ?? ? 0 ) 0 ( ) ( min ? ? g x g∴ 當(dāng) 時(shí)， ，即 1 ? ? x 0 ) 0 ( ) ( ? ? g x g 0 1 11 ) 1 ln( ? ? ? ? ? x x∴ ，綜上可知，當(dāng)11 1 ) 1 ln( ? ? ? ? x x x x x x ? ? ?

6、? ? ? ? ) 1 ln( 1 11 , 1 有 時(shí)【警示啟迪】如果 是函數(shù) 在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有 （或 ( ) f a ( ) f x ( ) f x ? ( ) f a ( ) f x ? ( ) f a） ，那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過 就可得證． 02、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例 2】已知函數(shù)求證：在區(qū)間 上，函數(shù) 的圖象在函數(shù) . ln 21 ) ( 2 x x x f ? ? ) , 1 ( ? ? )

7、(x f 332 ) ( x x g ?的圖象的下方；第 3 頁 共 6 頁的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在 可導(dǎo)的前提下，只要證明 ０即可． ( ) F x '( ) F x ?4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例 4】若函數(shù) y= 在 R 上可導(dǎo)且滿足不等式 x >－ 恒成立，且常數(shù) a，b 滿足 a>b，求 ) (x f ) (x f ? ) (x f證：．a(chǎn) >b ) (a f ) (b f【解】由已知 x

8、 + >0 ∴構(gòu)造函數(shù) ， ) (x f ? ) (x f ) ( ) ( x xf x F ?則x + >0， 從而 在 R 上為增函數(shù)。 ? ) ( ' x F ) (x f ? ) (x f ) (x F∴即 a >b ? b a ? ) ( ) ( b F a F ? ) (a f ) (b f【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后 ，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù) ) ( ) ( x f x f x ?

9、 ?，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為 ，則移項(xiàng)后 ) ( ) ( x xf x F ? ) ( ) ( x f x f x ? ?，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)。 ) ( ) ( x f x f x ? ?5、主元法構(gòu)造函數(shù)例． （全國）已知函數(shù) x x x g x x x f ln ) ( , ) 1 ln( ) ( ? ? ? ?(1) 求函數(shù) 的最大值； ) (x f(2) 設(shè) ,證明 ： . b a ?

10、? 0 2 ln ) ( ) 2 ( 2 ) ( ) ( 0 a b b a g b g a g ? ? ? ? ? ?分析：對于（II）絕大部分的學(xué)生都會望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.證明如下：證明：對 求導(dǎo)

11、,則 . x x x g ln ) ( ? 1 ln ) ( ' ? ? x x g在 中以 b 為主變元構(gòu)造函數(shù), ) 2 ( 2 ) ( ) ( b a g b g a g ? ? ?設(shè) ,則 . ) 2 ( 2 ) ( ) ( ) ( x a g x g a g x F ? ? ? ? 2 ln ln )] 2 ( [ 2 ) ( ) ( ' ' ' x a x x a g x g x F ? ?

12、? ? ? ?當(dāng) 時(shí)， ,因此 在 內(nèi)為減函數(shù). a x ? ? 0 0 ) ( ' ? x F ) (x F ) , 0 ( a當(dāng) 時(shí), ,因此 在 上為增函數(shù). a x ? 0 ) ( ' ? x F ) (x F ) , ( ?? a從而當(dāng) 時(shí), 有極小值 . a x ? ) (x F ) (a F因?yàn)?所以 ,即 , , 0 ) ( a b a F ? ? 0 ) ( ? b F . 0 ) 2 ( 2 ) (