三類高維系統(tǒng)的分岔、混沌及控制研究

1、西南交通大學博士學位論文三類高維系統(tǒng)的分岔、混沌及控制研究姓名：鄭小武申請學位級別：博士專業(yè)：固體力學指導教師：謝建華2012-04第| | 頁 西南交通大學博士研究生學位論文4 ．研究了一個平面兩自由度雙擺力學模型，先根據(jù)拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的運動微分方程，當端點作給定運動情況下，利用運動過程中的幾何邊角關(guān)系、微分關(guān)系將運動微分方程中的微分變量分別用端點的坐標及它們的各階導數(shù)表示，得到系統(tǒng)的周期運動，并推導出非顯示形式的擾動運動微分

2、方程。采用漸近逼近法i 逐步確定擾動運動微分方程一階、二階和三階近似，最終可以得到擾動運動微分方程的任意階近似。這樣將原系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性與分岔的分析就轉(zhuǎn)化為對擾動運動微分方程n 階近似的平衡點的穩(wěn)定性與分岔的分析。對于擾動運動微分方程來講，其平衡點的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)后的分岔類型一般是由其前三階項確定的，即4 階及以上高階非線性項一般不會在本質(zhì)上影響分析其局部動力學行為，本文最終推導出擾動微分方程的六階近似，并且通過數(shù)值計算，比較了相同參

3、數(shù)下擾動運動微分方程6 階近似和擾動運動微分方程3 階近似在分岔過程上的差異，驗證結(jié)果表明除運算時間外兩者是一致的。5 ．介紹了線性周期系數(shù)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性與常系數(shù)微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。介紹了非線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與對應(yīng)線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的關(guān)系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。將周期系數(shù)微分系統(tǒng)經(jīng)過一系列‘= O 一1 ) x T - - ．- > i x T( f _ 1 ，?，n ) 積分可以確定n 個狀態(tài)點， 其在

4、P o i n c a r 6 截面( 仃= { ( 仇o ，咖o ，緲2 0 ，痧2 0 ，f ) ∈R 4 ×s i t = 丁} ) 上形成的對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成P o i n c a r 6 映射，利用映射分岔條件給出了周期系數(shù)微分系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)后可能發(fā)生的幾種分岔的分岔條件。介紹了周期系數(shù)系統(tǒng)發(fā)生H o p f 分岔的解析分析過程。最后通過調(diào)整系統(tǒng)參變量進行數(shù)值計算，最終得到F l i p 分岔、非共振H o p f 分岔(

5、 弼( ‰) ≠1 ，n ≠1 , 2 ，3 ，4 ，?) 、強共振( 岔= l 、；t 2 = 1 ) H o p f 分岔、H o p f - F l i p 分岔等行為，從結(jié)果來看周期系數(shù)系統(tǒng)與常系數(shù)微分方程或差分方程有基本類似的分岔行為。給出了兩種不同情形的H o p f - F l i p 分岔結(jié)果：一種情形是平衡點失穩(wěn)后可形成穩(wěn)定2 階H o p f 圈或高階周期點，而另一種情形是平衡點一旦失穩(wěn)后不能穩(wěn)定于H o p f 圈

6、或周期n 點。對于強共振( 刀= 1 ) H o p f 分岔，是一種特殊情形，在此種情況中，隨參數(shù)不斷變化特征根在臨近一1 穿越單位圓時，4 個負實根突然分解為2 個模小于1 的負實根和一對復共軛特征根，最終是一對復特征根在很小參數(shù)區(qū)間穿越單位圓( 另2 個仍為模小于1 的負實根) ，穿越后為一對一1 根( 另2 根仍為模小于l 的負實根) ，正是由于特征根穿越單位圓周的特殊性，導致分岔結(jié)果的特殊性：穩(wěn)定不動點一周期2 焦點一穩(wěn)定的H