第五節(jié)__條件分布與條件期望

1、第五節(jié) 條件分布與條件期望,設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,其分布律為 P{X=xi,Y=yj}=pij , i, j=1,2,…. (X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為 P{X=xi}=pi· i=1,2,…. P{Y=yj}=p·j j=1,2,…. 設(shè)pi·>0,p·j>0，考慮在事件{Y=yj

2、}已發(fā)生的條件下事件{X=xi}發(fā)生的概率,即 {X=xi|Y=yj}, i=1,2,….的概率,由條件概率公式,,一、離散型隨機變量的條件分布律,顯然，上述條件概率具有分布律的特性(1).P{X=xi|Y=yj}≥0；,1．定義 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,對于固定 的j，若P{Y=yj}>0，則稱,為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律。,同理，對于

3、固定的i，若P{X=xi}>0，則稱,為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律。,2. 條件分布函數(shù),同理：,例 二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律如表,求條件分布律P{X=xi|Y=2}.,解：X與Y的邊緣分布如表：,P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4；,P{X=1|Y=2}=p23/p.3=1/4；,P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0；,又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等；,設(shè)(X,Y)是二維

4、連續(xù)型隨機變量,這時由于對任意x,y有P{X=x}=0 , P{Y=y}=0 ,因此不能直接用條件概率公式引入條件分布函數(shù)P{X≤x|Y＝y(tǒng)}.下面我們用極限的方法來處理. 給定y,設(shè)對于任意固定的正數(shù)ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}>0 ,于是對于任意x有,上式給出了在任意y-ε＜Y≤y+ε下X的條件分布函數(shù),現(xiàn)在我們引入以下的定義.,二、連續(xù)型隨機變量條件分布的定義,1.條件分布函數(shù)的定義：給定y,設(shè)對于任意實數(shù)x,若極限

5、,存在,則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù), 記為P{X≤x|Y=y}或記為FX|Y(x|y).,2．公式： 設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為p(x,y).若在點(x,y)處p(x,y)連續(xù),且pY(y)>0,則有,3.條件概率密度 定義,同理，,稱為在Y=y條件下X的條件概率密度，且滿足概率密度的兩個性質(zhì)。,稱為在X=x條件下X的條件概率密度，且滿足概率密度的兩個性質(zhì)。,例: 設(shè)(X,Y)服從

6、二維正態(tài)分布 N(µ1,µ2,σ12,σ22,?),求在X=x的條件下,Y的條件密度函數(shù)pY|X(y|x).解: (X,Y)的密度函數(shù)為,由以前的例子知道,所以X=x條件下Y的條件概率密度為,這正是正態(tài)分布,例: 設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機地取值,當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時,數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機取值.求Y的概率密度pY(y).,解: 按題意X具有概率密度,對于任意的x(0<x<1

7、),在X=x的條件下,Y的條件概率密度,于是得關(guān)于Y的邊緣概率密度為,,,三、連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式,由條件概率密度定義知,,故,全概率公式的密度函數(shù)形式,代入條件概率密度定義式,即得,貝葉斯公式的密度函數(shù)形式,例,設(shè)X～,在X=x的條件下,求Y的概率密度,解,根據(jù)題意,有,故,,按x 配方積分,即 Y仍服從正態(tài)分布 .,二、條件數(shù)學(xué)期望,1 定義:,X在Y=y的條件下的條件分布的

8、數(shù)學(xué)期望(若存在)稱為X在Y=y的條件下的條件期望.,具體定義式:,(1) 當(dāng)(X,Y)為離散隨機向量時,,(2) 當(dāng)(X,Y)為連續(xù)隨機向量時,,同樣地可定義Y在X= x的條件下的條件期望.,若記,可以看出,X在Y=y的條件下的條件期望是y的函數(shù),它是一個,變量.,這不同于無條件期望E(X).,,Y取確定值y的條件下,,Y取值隨機的條件下,,,則,作為隨機變量Y,的函數(shù), 我們可稱之為在給定Y的條件下X的條件期望, 它是隨機變量.,

9、,2.重期望公式,定理:,設(shè)(X,Y)為二維隨機向量, 且E(X)存在, 則,證明:略.,特殊的情形,(1) Y離散情形下,(2) Y連續(xù)情形下,給定Y=y時算X的條件期望,然后按Y=y的可能性大小進(jìn)行加權(quán)平均,條件期望的應(yīng)用,設(shè)在一個指定的時間內(nèi)供給一水電公司的電能ξ是一個隨機變量,且 ξ 在[10, 30]上服從均勻分布.該公司對于電能的需要量η也是一個隨機變量,且 η 在[10, 20] 上服從均勻分布.對于所供給的電能,公司取得

10、每千瓦0.03元利潤,如果需要量超過所能供給的電能,公司就從另外的來源取得附加的電能加以補充,并取得每千瓦0.01元利潤,問在所考慮的指定時間內(nèi),公司所獲得的利潤的期望值是多少?,例,解:設(shè) T 是公司所獲得的利潤,則,當(dāng) 時,,當(dāng) 時,,由全概率公式,得,(隨即個隨機變量和的數(shù)學(xué)期望),例,設(shè),為一列獨立同分布的隨機變量, N是只取,正整數(shù)的隨機變量, 且