4-6-定積分的幾何應(yīng)用

1、《微積分A》習(xí)題解答習(xí)題習(xí)題4.6(P262)1.求由拋物線42xy=與直線0423=??yx所圍圖形的面積.xyo0423=??=??yx22xy=24解：聯(lián)立曲線方程?????=??=042342yxxy得交點(diǎn))12(，，選取做為積分變量，)44(x則dxxxdA)4223(2??=，故31)12243()4223(4232422=??=??=∫xxxdxxxA2.求正弦曲線在區(qū)間xysin=]20[π上的一段與軸所圍圖形的面積.x

2、xyoxysin=ππ2解：設(shè)為曲線1Axysin=在]0[π上的面積，則，由對(duì)稱性得：xdxdAsin1=4)cos(2sin22001=?===∫ππxxdxAA3.求由拋物線與圍成的圖形的面積.)1(42??=xy)2(22??=xy解：聯(lián)立曲線方程得交點(diǎn)?????=??=)2(2)1(422xyxyy)20(?，，選取)20(y做為積分變量，x)2(22??=xy)1(42??=xy122)2(22??=xy?設(shè)為兩條曲線在第一

3、象限圍成的圖形的面積則1AdyyydA)]14()22[(221???=，dyy)14(2?=由對(duì)稱性，第4章一元函數(shù)積分學(xué)第6節(jié)定積分的幾何應(yīng)用17《微積分A》習(xí)題解答∫∫∫∫====202022sin4212ππππθθθρθθθρddA42cos220=?==?=πθ7.求圓1=ρ與心形線θρsin1==所圍圖形公共部分的面積解：設(shè)為心形線與軸在第四象限圍成的圖形的面積，則1Ax0xyθθθθddA21)sin1(21==，由對(duì)稱

4、性12AA=半圓的面積半圓的面積∫??=?=0222)sin1(212121πθθπθθπd∫?==022)sinsin21(2πθθθπθθθπd245?=?=π08.已知塔高為，距離其頂點(diǎn)m80x米處的水平截面是邊長為2)40(4001x（單位為）的正方形，求塔的體積.m解：如圖建立坐標(biāo)系，則42)40(4001)(==xxAx∫=800)(dxxAVxdx∫==80042)40()40(4001xdx803800253097654